量子力学中的隧穿效应的原理及其应用

量子与统计物理课题论文

论文名称：量子力学中隧穿效应的原理及其应用

所在班级：材料物理081

小组成员：黄树繁（08920107）

蒋昌达（08920108）

摘要：量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过它们本来无法通过的“墙壁”的现象。这是一种特殊的现象，这是因为根据量子力学，

微观粒子具有波的性质，而有不为零的几率穿过位势障壁。本文主要介绍量子隧穿效应的基本原理、简单和稍微复杂一点的情况的推导过程，然后介绍下隧穿效应在实际中的应用—扫描隧道显微镜（STM）。

关键词：量子力学；隧穿效应；STM

Abstract:Tnneling effect is a property of quantum,is a effect of Microscopic particles ,for example electrons,can get through “barriers” which they cannot used to.It is a unique phenomenon in Quantum mechanics which do not exist in classical mechanics. This paper mainly introduce the basic principle of QM,and conduct the mathematical derivation of the modle. Finally,we introduce an important application in practice of quantum tunneling effect—Scanning Tunneling Microscope.

Key Word: Quantum mechanics;Tunneling effect;STM

0.引言

对于一个经典粒子(具有一定的有效质量)在外加电磁场中的行为服从牛顿力学，同时还受到声子、杂质等的散射，无须考虑量子效应 ( 尺寸引起的量子化、量子力学隧穿透效应、量子相干效应等)。然而当空间尺寸小到一定程度时。量子效应就不能忽略。隧道效应是指粒子在能量 E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。它很难用经典力学来解释，它完全是由于微观粒子具有波动的性质而来。我们现在就是就是对量子尺寸下所具有的隧道效应非常感兴趣，下面做一个具体的说明。

1.简单情况下的隧穿效应

1.1基本概念

C量子隧穿效应(Quantum tunneling effect)，是一种衰减波耦合效应，r

其量子行为遵守薛定谔波动方程。假若条件恰当，任何波动方程都会显示出出衰减波耦合效应。数学地等价于量子隧穿效应的波耦合效应也会发生于其它状况。

例如，遵守麦克斯韦方程的光波或微波；遵守常见的非色散波动方程的绳波或声波。

图一：量子隧穿效应示意图

如上图所示，为最常见的一维的量子隧穿效应示意图。若要使隧穿效应发生，必须有一个2型介质的薄区域，像三明治一般，夹在两个1型介质的区域。2型介质的波动方程必须容许实值指数函数解答（上升指数函数或下降指数函数），而1型介质的波动方程则必须容许行进波解答。在光学里，1型介质可能是玻璃，而2型介质可能是真空。在量子力学里，从粒子运动这方面来说，1型介质区域是粒子总能量大于位能的区域，而2型介质是粒子总能量小于位能的区域（称为位势垒）。

假若条件恰当，从1型介质区域入射至2型介质区域，行进波的波幅会穿透过2型介质区域，再以进行波的形式，出现于第二个1型介质区域。在量子力学里，穿透过的波幅可以合乎物理地解释为行进粒子。遵守薛定谔波动方程，穿透波幅的绝对值平方和入射波幅的绝对值平方的比率给出了粒子隧穿的透射系数，也就是其透射几率。对于遵守其它种波动方程的光波、微波、绳波、声波等等，穿透波幅可以物理地解释为行进能量，而穿透波幅的绝对值平方和入射波幅的绝对值平方的比率则给出了穿透能量和入射能量的比率。

1.2数学推导

我们考虑一个入射波A r e ikx，遇到处于x=0与x=a之间的位势 V(x)。入射波的一部分会反射回去，成为反射波 A l e-ikx；另一部分则会穿透过位势 V(x) ，成为透射波C r e ikx。那么，在位势垒的左边与右边，波函数分别是

ψA(x)=A r e ikx+A l e-ikx，ψc(x)=C r e ikx

图二：一个具有不规则位势垒的量子隧穿效应示意图

而在位势垒的内部，根据 WKB 近似，波函数大约为

x x

,,00p(x )dx /p(x )dx /B x e p p h h r

r

ψ-??≈+，，

（） 其中，P (x)=))((m 2x V E -是动量。通过边界条件的匹配，可以设定常数A l ,B l B r ,C r 对于A r 的比例。一个粒子穿透过位势垒的概率等于透射系数，定义为T=C r 2/B r 2

又强，那么，指数递增项目必定很小，可以忽略。所以， x

,0p(x )dx /B x p h r ψ-?≈，（）毛

估r C 对于r A 的比例为γ-≈e A C r r /，其中0

( |)|/a p x dx γ''=?h 所以，粒子穿透过位势垒的概率为T=e -2γ

1.3 量子力学中“隧穿效应”的形象例子

对于量子力学中的隧穿效应，我们可以做两个很形象的类比，一是崂山道士的“穿墙术”。在量子力学中，电子像崂山道士一样穿墙而过，但是，崂山道士的“穿墙术”有不灵的时候，就是在持有“穿墙术”的人有不善之念时。崂山道士曾经收过一个徒弟，此人心术不正，学穿墙术纯属为了从别人家偷东西。此人很快就学会了穿墙术，在下山时，崂山道士千叮咛，万嘱咐，不要有不善之念。下山后，他就忘了老师的叮嘱。念咒穿入邻人家中，进去时非常顺利，当他拎着东西要从墙而出时，咒语不灵，撞了个头破血流，被当场抓获。从这个形象的例子我们可以更好地理解量子隧穿效应。

二是当小石子放在碗中时，石子不会出来，除非石子的能量很大，大过碗壁的能量时，它就会从碗的上面跳出来。但是量子物理学上有一个非常奇怪的效应，当碗壁足够矮，非常薄，即便碗壁的能量依然大于石子的能量，石子也会莫名其妙地跑出来，究竟它是怎么出来的谁也不知道，就像变魔术一样。而这个跑出来的“石子”实际上是通过一个隧道跑出来的，这就是量子的隧穿效应。

2.复杂情况下的隧穿效应

2.1 一维双势垒结构的谐振隧穿效应

谐振隧穿效应足指电子接连隧穿过靠得很近的两个势垒时，隧穿几率随入射电子能量的变化会出现数个极大值。虽然电子对单个势垒隧穿几率可能很小，但在谐振发生时。电子对双势垒的隧穿几率(最大隧穿几率)可以很大。发生谐振隧穿的物理机制来自两个势垒之间的势阱内电子能量的量子化。当入射电子能量等于势阱中电子的量子化能级时，共振现象就会发生。

2.2 谐振隧穿效应条件和透射几率 以r ij 和t ij 分别代表电子隧穿单个势垒时的反射波和透射波复振幅，i 代表

入射区，j 代表出射区。实际上r ij 和t ij 就是电子隧穿单个势垒问题的解。如上

图所示的双势垒结构中，设电子从左边入射，连续隧穿过两个势垒后从右边射出，出射波的 复振幅为S 。另一方面可以设想，入射波首先隧穿过左边单个势垒，其射入势阱的波的复振幅为t 13，这个波在势阱中来回反射，每在右边势垒反射

一次都有一部分t 35从右边势垒射出。.总的出射波(振幅为S)可以看作多束波隧

穿过右边单个势垒后的出射波的叠加，从而得到下面的等式：S=S 1+S 2+S 3+∧=t 13t 35+t 13r 13r 35t 35+t 13r 13r 35r 13r 35t 35+∧=t 13(1+r 35+r 35r 31r 35r 31+∧)t 35=t 13t 35/(1-r 35r 13) 总的透射几率(出射波几率流与入射波几率流之比)为T=k 5/K 1SS *=K 5/k 1? (t 13t 35t 13*t 35*)/(1-r 35r 13)/(1-r 35r 13)= k 5/K 1T 13T 35/(1+R 13R 35-21335R R Cos θ35θ13)。

其中T ij =∣t ij ∣,R ij =∣r ij ∣, θ35和θ13分别是r 13，r 35的立体角它们与势垒的高度、宽度及势阱。在一般情况下，T≈CT 31T 35,其中C 的数量级为1，此即相继隧穿过程，两个势垒问量子阱的存在对隧穿影响不大。但对于电子能量的某些特殊值，θ35+θ13=2n π，此时隧穿几率达到最大值，即发生谐振隧穿，其透射几率为

在单个势垒的透射几率ij T 很小时，其反射几率R ij 很大。因而谐振隧穿几率

比相继隧穿几率1335T CT T ≈要大得多。

把上面得到的结果运用到一维对称双势垒(两势垒的高和宽都相同，势阱底也等高，如图三所示)以得到一个重要的结论：在发生谐振隧穿时，双对称势垒对入射电子足完全透明，无反射波。