高中数学第一章1.2.11.2.2第2课时导数的运算法则优化练习新人教A版选修28.doc
1.2.1-1.2.2 第2课时 导数的运算法则
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．设函数y ＝e x
cos x ，则y ′等于( ) A ．e x
cos x B ．－e x
sin x C ．e x
cos x ＋e x
sin x
D ．e x
cos x －e x
sin x
解析：y ′＝(e x
)′cos x ＋e x
(cos x )′＝e x
cos x －e x
sin x . 答案：D
2．曲线f (x )＝13x 3－x 2
＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )
A.π6
B.3π4
C.π4
D.
π3
解析：∵f ′(x )＝x 2
－2x ，∴f ′(1)＝1－2＝－1， ∴在x ＝1处的切线的倾斜角为3π
4.
答案：B
3．曲线y ＝e x 在(2，e 2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2
C ．e 2
D.e
2
2
解析：y ′＝e x
，∴y ′|x ＝2＝e 2
，
∴切线方程为y －e 2
＝e 2
(x －2)，即y ＝e 2
x －e 2
. 当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴三角形的面积S ＝12×1×|－e 2
|＝e 2
2，故选D.
答案：D
4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：y′＝a－1
x＋1
，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
5．设函数f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1
f n
}(n∈N*)的前n项和是 ( )
A.
n
n＋1
B.
n＋2
n＋1
C.
n
n－1
D.
n＋1
n
解析：∵f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即
f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1
f n
}(n∈N*)的前n项和为：
S n＝
1
1×2
＋
1
2×3
＋
1
3×4
＋…＋
1
n n＋
＝
?
?
??
?
1－
1
2
＋
?
?
??
?
1
2
－
1
3
＋…＋
?
?
??
?
1
n
－
1
n＋1＝1－
1
n＋1
＝
n
n＋1
.
答案：A
6．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．
解析：f′(x0)＝3x20＝3，x0＝±1.
答案：±1
7．函数f(x)＝2x＋x2的导数为________．
解析：设u＝2x＋x2，
故f(x)＝2x＋x2就由f(u)＝u，u＝2x＋x2复合而成，
∴f′(x)＝f u′·u x′＝
1
2
u
1
2
-
·(2＋2x)＝u
1
2
-
(1＋x)＝
1＋x
2x＋x2
.
答案：
1＋x
2x＋x2
8．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴
f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案：－2
9．(1)设函数f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；
(2)设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．
解析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3，
∴f ′(x )＝18x 2
＋22x ＋5， ∴f ′(－1)＝18－22＋5＝1. (2)∵f (x )＝x 3
－2x 2
＋x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，
由f ′(x 0)＝0，得3x 2
0－4x 0＋1＝0， 解得x 0＝1或x 0＝1
3
.
10．曲线y ＝e 2x
cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．
解析：y ′＝(e 2x
cos 3x )′＝(e 2x
)′cos 3x ＋e 2x
(cos 3x )′ ＝2e 2x
cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )
y ′|x ＝0＝2.
则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.
若直线l 与切线平行可设直线l 方程为2x －y ＋c ＝0， 两平行线间距离d ＝|c －1|
5＝5?c ＝6或c ＝－4.
故直线l 方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.
[B 组 能力提升]
1．已知f (x )＝14
x 2
＋cos x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )
解析：函数f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )＝x
2
－sin x ，
f ′(－x )＝
－x 2－sin(－x )＝－? ??
??x 2－sin x ＝－f ′(x )， 故f ′(x )为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B ，D ，
f ′? ????π6
＝12·π6
－sin π6＝π12－12
<0.故C 不对，答案为A.
答案：A
2．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2
＋154
x －9都相切，则a 等于( )
A ．－1或－25
64
B ．－1或21
4
C ．－74或－2564
D ．－7
4
或7
解析：设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3
相切于点(x 0，x 3
0)，则切线方程为y －x 3
0＝3x 2
0(x －x 0)，即y ＝3x 2
0x －2x 3
0.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝3
2.
当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.
由y ＝0与y ＝ax 2
＋154x －9相切，可得a ＝－2564.
当x 0＝32时，直线方程为 y ＝274x －27
4
.
由y ＝274x －274与y ＝ax 2
＋154x －9相切，可得a ＝－1.
答案：A
3．函数y ＝x ＋1
x
在点(1,2)处的切线斜率等于________．
解析：y ′＝(x ＋1x )′＝1－1
x
2，
∴k ＝y ′|x ＝1＝1－1
12＝0.
答案：0
4．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.
解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，
f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ?
??
??
3x ＋φ＋
5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ?
????φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π
6.
答案：π6
5．抛物线C 1：y ＝x 2
－2x ＋2与抛物线C 2：y ＝－x 2
＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．
(1)求a ，b 之间的关系；
(2)若a >0，b >0，求ab 的最大值． 解析：(1)设两抛物线的交点为M (x 0，y 0)， 由题意知x 2
0－2x 0＋2＝－x 2
0＋ax 0＋b ， 整理得2x 20－(2＋a )x 0＋2－b ＝0①
由导数可得抛物线C 1，C 2在交点M 处的切线斜率为k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a .因两切线互相垂直，则有k 1k 2＝－1，即(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，
整理得2[2x 20－(2＋a )x 0]＋2a －1＝0② 联立①和②，消去x 0，得a ＋b ＝5
2.
(2)由(1)知a ＋b ＝5
2，又a >0，b >0，
∴ab ≤(a ＋b 2)2＝(5
22)2＝25
16
.
当且仅当a ＝b ＝54时，取等号，故ab 的最大值为25
16.
6．设函数f (x )＝ax ＋1
x ＋b
(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f ′(x )＝a －1x ＋b
2
，
于是?????
2a ＋1
2＋b ＝3，a －1
＋b
2
＝0.解得?
??
??
a ＝1，
b ＝－1，或?????
a ＝94，
b ＝－8
3.
因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋
1x －1
. (2)证明：在曲线上任取一点?
?
?
??
x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－
1
x 0－
2
知，过此点的切线方程为
y －x 20－x 0＋1x 0－1＝?
???
??1－
1x 0－2
(x －x 0)．
令x ＝1，得y ＝
x 0＋1
x 0－1
， 切线与直线x ＝1的交点为?
??
??
1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，
切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；
直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12??
????
x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝
12????
??2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.