高等数学练习题附答案
高等数学练习题附答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020
《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.
（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.
（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数
),(y x f z =在（00,y x ）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且
1)0()0(+'=''f f , 则)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设2)1(x x f =-，则=+)1(x f .
2. 若1
21
2)(11+-=
x x
x f ，则=+→0
lim x .
3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
=')3(g .
4. 设y
x
xy u +
=, 则=du . 5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .
6. 设)(x f 为可导函数,)()1
()(,1)1(2x f x
f x F f +==',则
=')1(F .
7. 若),1(2)(0
2x x dt t x f +=?
则=)2(f .
8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分=-+∞?
dx e x 20
.
10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D
5221,1 .
三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算))
2(1
)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2. 求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分dx x x ?-)
1(1.
4. 计算定积分dx x x ?
-π
53sin sin .
5. 求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值.
6. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy y
y
D
??
sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y
x
y y 2-
='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）
1.
证明：tan arc x =)(+∞<<-∞x .
2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f
dt t f dt t f x F x
x b
??
+=0)
(1)()(
证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；
2.× ；
3.×；
4.× ；
5.×；
6.× ；
7.× ；
8.× ；
9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.442++x x ；
2. 1；
3. 1/2；
4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++；
5. 2/3 ；
6. 1 ；
7. 336 ；
8. 8 ；
9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为
21(2)n n +22
211
1(1)(2)n n n <+++
<+2
1
n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，21
lim
n n n →∞+=0 由迫敛性定理知： ))
2(1
)1(11(
lim 222n n n n ++++∞
→ =0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y
10
10
22111++++++='∴
x x x y y )(
10()1(++='∴x x y )10
10
2211++++++x x x 3.解：原式=?-x d x
112
=?
-x d x 2
)
(112
=2c x +arcsin
4.解：原式=dx x x ?
π
23cos sin
=?-
20
2
3sin cos π
xdx x ?
ππ
2
2
3sin cos xdx x
=?-
20
2
3sin sin π
x xd ?
ππ
2
2
3sin sin x xd
=2025
][sin 52πx ππ2
25
][sin 52
x -
=4/5 5.解： 02832=--='y x x f x 022=-='y x f y
故 ???==00y x 或???==2
2
y x
当 ???==0
y x 时8)0,0(-=''xx
f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--?-=? 且A=08<-
∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f
当 ???==2
2
y x 时4)2,2(=''xx
f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--?=? ∴无法判断
6.解：D={}
y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(
????=∴102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
=dy x y y y y 2][sin 10? =dy y y y )sin (sin 1
?-
=?+-1
10cos ]cos [y yd y
=?-+-1
10
cos ]cos [1cos 1ydy y y
=1sin 1- 7.解：令xy u =，x
y
v =
；则21≤≤u ，31≤≤v v v
u
u v
v v u
uv y y x x J v u
v
u 212221
=-
==
∴ 3ln 21
2131===????D
dv v du d A σ 8.解：令 u y =2，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222c dx xe e y u dx
dx
+?
-?
==?-
)4(22c dx xe e x x +-=?-
)2(222c e xe e x x x ++=--
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设 2
1arcsin
arctan )(x
x x x f +-=
2
2
2
2
2
2
2
11111111
)(x x x x x x x x f ++-+?
+--
+=' =0
c x f =∴)( +∞<<∞-x
令0=x 0000)0(=∴=-=c f 即：原式成立。
2.解： ],[)(b a x F 在 上连续 且 dt t f a F a b
?
=)
(1
)(<0,dt t f b F b a ?=)()(>0
故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.
又 )
(1
)()(x f x f x F +
=' 0)(>x f
2)(≥'∴x F
即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增
∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.
《高等数学》
专业 学号 姓名
一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）
1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.
2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.
3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.
4. 方程0=xyz 和0222=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5. 设*y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则
*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .
2. 设x
x x f 3arcsin )
21ln()(+=
，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.
3. 设xt t t
x x f 2)1
1(lim )(+=∞→，则)(x f '' .
4. 已知)(x f 在a x =处可导，且A a f =')(，则=--+→h
h a f h a f h )
3()2(lim
.
5. 若2)]([cos )(2x f dx
d
x x f =
，并且1)0(=f ，则)(x f .
6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<， 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g
7. 若2sin x y =，则=)(2
x d dy ；=dx
dy
. 8. 设?=x x tdt x f 2ln )(，则=')2
1
(f .
9. 设y
x e
z 2=，则=)
1,1(dz
.
10. 累次积分dy y x f dx x R R
)(20
20
22-?
?-化为极坐标下的累次积分
为 .
三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）
1.
??+→x
x t
x dt
t t dt
t 0sin 0
1
sin )1(lim ; 2. 设1
ln 22-=x x
e e y ，求y '; 3.
dx x x x ?+-2sin 1cos sin ;
4. ?-2
2
2
4dx x x
; 5. 设22y x x
z +=
, 求 y x z
y z ?????2,. 6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy .
7. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy y y
D ??sin . 8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y x ==1
下的特解.
四、（7分）
已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.
五、应用题（每题7分，共14分）
1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小
2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
六、证明题（7分）
设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明
x
x f x g )
()(=
在a x <<0上单调增加.
高等数学参考答案
一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.
二、填空题
1. 36 ；
2. 3
2
； 3. x e x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<；
7. 22cos 2,cos x x x ； 8. 2ln ； 9. dy dx +2 ；
10.??20
)2cos (π
θθR
rdr r f d .
三、计算题
1. 原式x
x
x
x x
x sin cos )sin 1(lim
sin 10+=→
e e
==
1
2.2
222222222)1(2)1(21
21
11-?--?
-?
-=
'x x
x x x x
x
x
x
e e e e e e e e e y 22222)1(221--?-=x
x
x x e e e e x
e
211
-=
3．原式=dx x x x
x ?+-2
)
cos (sin cos sin )cos (sin )
cos (sin 1
2
x x d x x ++-=? C x
x ++=
cos sin 1
4．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2= 原式=???20
2cos 2cos 2sin 4π
tdt t t
??=20
22cos sin 16π
tdt t
??-==20
20
2
)4cos 1(22sin 4π
π
dt t tdt
ππ
=-=20)4sin 4
1(2t t 5．2
3222
222)
(22y x xy y x y x y x y
z +-
=++?
-=??
32221
222
32
2
2
)
(2)(23
)(y x x y x xy y x y y x z +?+?-+-=??? 3
222
232)()2(y x y x y y x ++-=
6．两边同时微分得：
)(1
)
()ln()(2dy dx y
x y x y x dy dx dx dy ---+--=- 即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=- 故 dx y x y x dy )
ln(3)
ln(2-+-+=
（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）
7．????=102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
?-=1
)sin (sin dy y y y
?-+-=1
1
010cos cos cos ydy y y y
1
0sin 1cos 1cos 1y -+-=
1sin 1-=
8．原方程可化为 y x y y dy dx 1
ln 1=+
通解为 ]1[ln 1
ln 1
C dy y
e e
x dy y y dy
y y +???=?-
]1
[ln ln ln ln C dy y
e e y y +?=?-
]ln 1[ln 1C ydy y y +=
?])(ln 21[ln 12C y y += y
C y ln ln 21+=
e y x ==1代入通解得 1=C 故所求特解为： 01ln 2)(ln 2=+-y x y 四、解： b ax x x
f ++='23)(2 因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点
故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f
解得： 3,0-==b a
于是 x x x f 3)(3-= )1(3)(2-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而
06)1(>=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f 五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为
)96(1
3+=
kx x
y 又10=x 时，6103=?k 故得006.0=k ， 所以有
)96006.0(1
3+=
x x
y ，),0(∞+∈x 令 0)8000(012.03
2
=-=
'x x y ， 得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处
可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为
)/(20h km 时，每航行km 1的耗费最少，其值为2.720
96
20006.02min =+
?=y （元）
2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为
1
00
-x y ， 又因为22-=x y 上的切线斜率满足12='?y y ，在),(00y x 上即有120='y y 所以11
200
0=-?
x y y ，即1200
-='x y 又因为),(00y x 满足202
0-=x y ，解方程组
?????-=-=2
1
2020020x y x y 得 ???==1300y x
所以切线方程为 )1(2
1
-=
x y 则所围成图形的面积为：
6
1
)]12(2[1
02=
+-+=?dy y y S
（2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：
6)2()1(41321
02π
ππ=---=??
dx x dx x V 六、证： 2
2)]
0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-
代入上式得 2
)
()(])([x
f x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>',
于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([
>'x x f ，故
x
x f )
(在),0(a 内单调增加.
《高等数学》试卷
专业 学号 姓名
一、填空题（每小题1分，共10分）
1．函数
y =的定义域为_______________。
2．函数x y x e =+ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 3．设()f x 在0x 可导且0()f x A '=，则000
(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--＝ _______。
4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)x y 的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是_________。 5．4
1x
dx x -?
＝_____________。 ６．1
lim sin x x x
→∞＝___________。
7．设(,)sin f x y xy =，则(,)x f x y ＝____________。
8．累次积分220
()R
dx f x y dy +?化为极坐标下的累次积分为________。
9．微分方程322
323()0d y d y dx x dx
+=的阶数为____________。
10．设级数 1
n n a ∞
=∑发散，则级数
1000
n n a ∞
=∑
_______________。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．设函数 1
(),()1f x g x x x
==-，则(())f g x ＝ （ ） ①11x -
②11x + ③11x
- ④ｘ 2．0x → 时，1
sin 1x x
+ 是 （ ）
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 3．下列说法正确的是 （ ）
①若()f x 在 0x x =连续， 则()f x 在0x x =可导 ②若()f x 在0x x =不可导，则()f x 在0x x =不连续 ③若()f x 在 0x x =不可微，则()f x 在0x x =极限不存在 ④若()f x 在 0x x =不连续，则()f x 在0x x =不可导
4．若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''<>，则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为
（
）.
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧 5．设()()F x G x ''=，则 （ ）
①()()F x G x + 为常数 ②()()F x G x -为常数 ③()()0F x G x -= ④
()()d d
F x dx
G x dx dx dx =??
ｘ 6．1
1
x dx -? ＝
（ ）
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
7．方程231x y ==在空间表示的图形是 （ ）
①平行于xOy 面的平面 ②平行于Oz 轴的平面 ③过Oz 轴的平面 ④直线
8．设332(,)f x y x y x y =++，则(,)f tx ty = （ ）
①(,)tf x y ②2(,)t f x y ③3(,)t f x y ④
21
(,)f x y t
9．设0n a ≥，且1
lim n n n
a a →∞+ ＝ｐ，则级数 1n n a ∞
=∑
（ ）
①在1p >时收敛，1p <时发散 ②在1P ≥时收敛，1p <时发散 ③在1p ≤时收敛，1p >时发散 ④在1p <时收敛，1p >时发散
10．方程236y xy x y '+=是 （ ）
①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程
11．下列函数中为偶函数的是 （ ）
①x y e = ②31y x =+ ③3cos y x x = ④ln y x =
12．设()f x 在(,)a b 可导，12a x x b <<<，则至少有一点(,)a b ξ∈使 （ ）
①()()()()f b f a f b a ξ'-=- ②21()()()()f b f a f x x ξ'-=-
③21()()()()f x f x f b a ξ'-=- ④2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 13．设()f x 在 0x x = 的左右导数存在且相等是()f x 在0x x = 可导的 （ ）
①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件
14．设22()cos [()]d
f x x f x dx
= ，则(0)1f =，则()f x = （ ）
①cos x ②2cos x - ③1sin x + ④1sin x -
15．过点（１，２）且切线斜率为 34x 的曲线方程为ｙ＝ （ ）
①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④34x
16．设幂级数 0
n
n n a x ∞=∑在0x （00x ≠）收敛， 则 0
n n n a x ∞
=∑ 在0x x <
（ ）
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与n a 有关
17．设Ｄ域由2,y x y x ==所围成，则 sin D
x
d x
σ=??
（ ）
①1
1
0sin x x
dx dy x ??；
②10sin y x dy dx x
?；
③10
x
x
dx dy x ?；
④10sin x x dy dx x
?.
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．设y =求 y ' .
２．求 243sin(916)
lim 34x x x →-- .
３．计算 2
(1)x dx
e +?.
４．设10(cos )arctan ,(sin )arctan t t x u udu y u udu ==??，求 dy dx
.
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.
６．设
sin x z
u e =，求 ｄｕ .
７．计算sin 0
sin x a r drd θ
θθ??
.
８．求微分方程 2
1()1
y dy dx x +=+的 通解 . ９．将 3
()(1)(2)
f x x x =
-+ 展成的幂级数.
四、应用和证明题（共15分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为0k > ）求速度与时间的关系。
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1时，1
3x
>- 。
高等数学参考答案
一、填空题（每小题1分，共10分）
１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2＋１
５．21
arctan 2
x c + ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
８．220
()d f r rdr π
π
θ?? ９．三阶 １０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分） 1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③