数学必修二综合测试题_(两份)

x y

O x y

O x y

O x

y

O

B

P

C

A

D

数学必修二

一． 选择题

1.下列叙述中，正确的是（ ）

（A ）因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α （B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ?=PQ （C ）因为AB α?，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α

（D ）因为AB α?,AB β?,所以()A αβ∈?且()B αβ∈? 2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）．

(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）． (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2 4.如图,在四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， AD DC ⊥，2PD AD DC AB ===，则异面直线PA 与BC 所成角的

余弦值为

A.

15

5 B. 105 C. 105- D. 10

4

5.棱长为a 的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A 、2a π B 、22a π C 、32a π D 、a π24

6.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在

7.已知n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①,,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥； ②若//,//,,m n m n αβ⊥则//αβ； ③若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβ；④若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥． 其中正确的命题的序号是

A. ① ③

B. ② ③

C. ①④

D. ②④

8.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）．

主视图 左视图

9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ ）． (A)

4π (B) 54π(C) π (D) 3

2

π 10.直线1:220l x y --=关于直线2:0l x y +=对称的直线3l 的方程为 A.220x y --= B. 220x y -+= C. 210x y --= D. 210x y -+= 11.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）

A 、34k ≥或4k ≤-

B 、34k ≥或14k ≤-

C 、434≤≤-k

D 、44

3≤≤k

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

13.如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．

14.在正方体ABCD -1111A B C D 中，直线1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为_______.

15．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是 16.将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．

对角线BD 折成四面体ABCD ，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确

的命题序号全填上）． ①//EF AB ； ②EF 与异面直线AC 、BD 都垂直；

③当四面体ABCD 的体积最大时，6AC =； ④AC 垂直于截面BDE 三．解答题：

17．如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(

2,0)C 。

（1）求直线CD 的方程；（2）求AB 边上的高CE 所在直线的方程。

E

C

B

A

O y x

18．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V －ABCD 中，AC BD M VM 与交于点，是棱锥的高，若6cm AC =，5cm VC =，求

正四棱锥V -ABCD 的体积．

19．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；

（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．

（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点。 （1）求证：//EF 平面PAB ；

（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?，求证：平面PEF ⊥平面PBC 。

20. （本小题满分12分）

如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A -1111中，

A B

C D

A

B 1

C 1

D E

F

A

B

C D V

M

F

E B

C A P

（1）作出面11A BC 与面ABCD 的交线l ，判断l 与线11AC 位置关系，并给出证明； （2）证明1B D ⊥面11A BC ； （3）求线AC 到面11A BC 的距离；

参考答案

一.选择题 DBACA BDCCD AB

二.填空题 13. )2,1(- 14. 2a 3π 15. 相离 16.

3

7(1)2

a -

三.解答题 17. 解: (1)

点O （0，0），点C （1，3），

∴ OC 所在直线的斜率为30310

OC k -==-.

（2）在OABC 中，//AB OC

,

CD ⊥AB ，∴ CD ⊥OC .

∴ CD 所在直线的斜率为13

CD k =-.

∴CD 所在直线方程为1

3(1)3

y x -=--，3100x y +-=即.

18. 解法1：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，

111

63222

MC AC BD ∴===?=(cm). 且11

661822ABCD S AC BD =??=??=(cm 2).

VM 是棱锥的高,

∴Rt △VMC 中，

2222534VM VC MC =-=-=(cm).

A

B

C D

V

M

∴正四棱锥V －ABCD 的体积为111842433

ABCD S VM ?=??=(cm 3).

解法2：

正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，

∴ 11163222

MC AC BD ===?=(cm).

且2

322

AB BC AC ==

=(cm) . ∴22(32)18ABCD

S AB ===(cm 2). VM 是棱锥的高,

∴Rt △VMC 中，2222534VM VC MC =-=-=(cm).

∴正四棱锥V -ABCD 的体积为11

184243

3

ABCD S VM ?=??=(cm 3).

19. （1）证明:连结BD .

在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴.

11//EF B D ∴. 又B 1D 1?≠ 平面11CB D ，EF ?平面11CB D ，

∴ EF ∥平面CB 1D 1.

（2）

在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1?≠ 平面A 1B 1C 1D 1，

∴ AA 1⊥B 1D 1.

又

在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，

∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又

B 1D 1?≠ 平面CB 1D 1，

∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 20. 解：（Ⅰ）1l 与 2l 分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，∴ 1l 与 2l 的交点

必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆： 0)1y (y )2x (x =-+- 即

0y x 2y x 22=--+王新敞

（Ⅱ）由（1）得1P （0,0）、2P （2,1），

∴⊿21P PP 面积的最大值必为4

5

r r 221=??．

此时OP 与12PP 垂直，由此可得m=3或1

3

-．

O

P 2(2,1)

y

x

P

P 1

21.解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE 即为直线l ， ∵AC ∥11AC ，AC ∥l ，∴l ∥11AC .

（2）易证11AC ⊥面11DBB D ，∴11AC ⊥1B D ，同理可证1A B ⊥1B D ， 又11AC ?1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .

（3）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BAC -中有

111111B BA C B A B C V V --=，即1111111133A BC A B C S h S BB ???=?，∴33

a

h =

. （4）1(,,0),(,,)C a a C a a a 22. 解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定

理有

222

PQ OP OQ =-.

又由已知PQ PA =，故2

2

PQ PA =. 即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.

化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.

22221(23)1PQ a b a a =+-=+-+-25128a a =-+=2645()55

a -+故当6

5a =

时，min 2

5.5

PQ =

即线段PQ 长的最小值为2 5.5 解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | P A |min ，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min =

| 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2

= 25

5 .

（3）设圆P 的半径为R ，

圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1，

1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.

而222226

9(23)5()55

OP a b a a a =+=+-+=-+， 故当6

5a =

时，min

3 5.5

OP =

2

2

O

P

Q

x

y

A

x y O x y O x y O x

y

O

此时, 3

235b a =-+=

，min 3515

R =-. 得半径取最小值时圆P 的方程为222633()()(51)555

x y -+-=-．

解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.

r = 32 2 + 1 2

－1 = 35

5 －1.

又 l ’：x －2y = 0,

解方程组20,230x y x y -=??+-=?，得6,535x y ?

=????=??.即P 0( 65 ,35 ).

∴ 所求圆方程为222633()()(51)555x y -+-=-.

数学必修二综合测试题 2

一、选择题；（每题5分，共60分）

1．若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为（ ） A ．3 B ．3- C ．

33 D ．3

-3

2．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）

A ．524=+y x

B ．524=-y x

C ．52=+y x

D ．52=-y x

3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．

4. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c

2 2 O P Q

x

y A

P 0 l

的值 为（ ） A ．－1

B ．2

C ．3

D ．0

5. 下列说法不正确的．．．．

是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；

C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

6.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A.223π

+ B. 423π+

C.

2323

π+ D.

2343

π+

7.已知直线01:1=++ay x l 与直线22

1

:2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．

21 D ．2

1- 8．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）

A ． 相交

B ． 异面

C ． 平行

D ．异面或相交

9．已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（ ） Ａ．2

Ｂ．22-

Ｃ．21-

Ｄ．12+

10．如果ac ＜0，bc ＜0，那么直线ax+by+c=0不通过 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

11．若()21P -，为圆()2

2125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．30x y --= B ．30x y -+= C ．30x y ++= D ．30x y +-= 12．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）

A . 3

22R B .

343R π C . 3839R D . 3

39

R

2

2 2 正(主)视图

2

2

侧(左)视图

俯视图

二、填空题：（每题5分，共20分）

13．求过点（2，3）且在x 轴和y 轴截距相等的直线的方程 ． 14.已知圆2x －4x －4＋2y ＝0上的点P （x,y ）,求22y x +的最大值 ．

15．已知圆 422=+y x 和圆外一点 )3,2(--p ，求过点 p 的圆的切线方程为 16．若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，

β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l ∥α，l ⊥β，则α⊥β.④

若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线。其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确．．命题的序号都．．．．．．

填上） 三、解答题（共70分）

17、 (本小题满分12分)

已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线

210x y --=.

（Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .

18、（15分）已知圆C ：()2

219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于

A 、

B 两点.

（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；

（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； （3）当直线l 的倾斜角为45o时，求弦AB 的长.

.

19、(14分) 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y=x 上截得弦长

为27;③圆心在直线x －3y=0上. 求圆C 的方程.

20、 (14分) 如图，四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中

心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．

A

B

C

D

O

P

E

求证：（Ⅰ）PA ∥平面BDE ；

（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE .

21. (本小题满分15分)

已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线

43290x y +-=相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)P -，

若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

高一数学必修2检测试题答案

一、选择题；（每题5分，共60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B

B

C

A

D

C

C

D

C

C

A

C

二、填空题：（每题5分，共20分

13、x-y+5=0或2x-3y=0, 14、2812+ 15、2-=x 或026125=--y x 16 、 ②③

17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=??

++=? 解得2,

2.x y =-??=?

由于点P 的坐标是（2-，2）.-----------------------2分 则所求直线l 与210x y --=垂直，

可设直线l 的方程为 20x y C ++=.--------------------4分

A

B

C

D

O

P

E

把点P 的坐标代入得 ()2220C ?-++= ，即2C =.------------6分 所求直线l 的方程为 220x y ++=.…………………………………………8分 （Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-， 所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积1

1212

S =

??=. ………………12 18、解：（1）已知圆C ：()2

2

19x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、

C ，所以直线l 的斜率为2， 直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.---------------5分 （2） 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为1

2(2)2

y x -=-

-, 即 x+2y-6=0----------------10分

（3）当直线l 的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0 圆心C 到直线l 的距离为

1

2

，圆的半径为3，弦AB 的长为34------15分 19、解：设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ， ∵圆心C 在直线03=-y x 上，∴圆心C （3a ，a ），又圆 与y 轴相切，∴R=3|a|. ---------------------4分 又圆心C 到直线y －x=0的距离

7||,72||.||22

|

3|||===-=BD AB a a a CD ---------8分

在Rt △CBD 中，

33,1,1.729,)7(||222222±=±===-∴=-a a a a a CD R .-------------12分

∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x .---------------14分

20、证明：（Ⅰ）连结OE ．

∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点， ∴OE ∥AP ，------------3分

又∵OE ?平面BDE ，PA ?平面BDE ，

∴PA ∥平面BDE ．……………………………7分 （Ⅱ）∵PO ⊥底面ABCD ，

∴PO ⊥BD ，------------------9分

又∵AC ⊥BD ，且AC PO =O ， ∴BD ⊥平面PAC ．-------------------12分 而BD ?平面BDE ，

∴平面PAC ⊥平面BDE ．………………14分 21. (本小题满分15分)

解：（Ⅰ）设圆心为(, 0)M m （m ∈Z ）．由于圆与直线43290x y +-=相切，且

半径为5，所以

429

55

m -=，即42925m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=． …………………………………5分 （Ⅱ）把直线50ax y -+=即5y ax =+．代入圆的方程，消去y 整理，得

22(1)2(51)10a x a x ++-+=．

由于直线50ax y -+=交圆于,A B 两点，故224(51)4(1)0a a ?=--+>．

即2

1250a a ->，由于0a >，解得512

a >

． 所以实数a 的取值范围是5

(

, )12

+∞．…………………………………………10分 （Ⅲ）设符合条件的实数a 存在，由于0a ≠，则直线l 的斜率为1

a

-，

l 的方程为1

(2)4y x a

=-++， 即240x ay a ++-=．

由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1, 0)M 必在l 上． 所以10240a ++-=，解得34a =

．由于35

(, )412

∈+∞，故存在实数34a =，使得过点(2, 4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．……………15分