试题后附有参考公式`常用对数表及三角函数表
读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生
八十六年度大學入學考試中心學科能力測驗試題數學考科
考試時間：100分鐘
題型題數：單一選擇題8題，多重選擇題4題，填空題8題。
※試題後附有參考公式、常用對數表及三角函數表
第一部分：選擇題
壹、單一選擇題：
說明：第1至8題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡的「解答欄」，每題答對得5分，答錯不倒扣。
1. 坐標平面上兩直線的斜率分別為與，則下列何者為其一交角？
(A) 30°，(B) 36°，(C) 45°，(D) 60°，(E) 90°。
Ans：A
【詳解】
2. 設P，Q為平面ax＋by＋cz＝5上相異兩點，且PQ＝(x0，y0，z0)，則PQ?(a，b，c)為
(A) 不定值，隨(x0，y0，z0)而改變，(B) 25，(C) 5，(D) 0，(E)－1。
Ans：D
【詳解】
3. 設f(x)為二次函數，且不等式f(x)＞0之解為－2＜x＜4，則f(2x)＜0之解為
(A) －1＜x＜2，(B) x＜－1 or x＞2，(C) x＜－2 or x＞4，(D) －4＜x＜8，(E) x＜－4 or x＞8
Ans：B
【詳解】
－2＜x＜4==> (x＋2)(x－4)＜0 ==> －(x＋2)(x－4)＞0，
令f(x)＝－(x＋2)(x－4) ==> f(2x)＝－(2x＋2)(2x－4)＜0
==> (x＋1)(x－2)＞0 ==> x＞2 或x＜－1。
4. 有一個無窮等比級數，其和為8/9，第四項為3/32，已知公比為一有理數，則當公比以最簡分數表示時，其分母為
(A) 2，(B) 3，(C) 4，(D) 6，(E) 8。
Ans：C
【詳解】
5. 有一邊長為3的正六邊形紙板，今在每一個角各剪掉一個小三角形，使其成為正十二邊形之紙板，則此正十二邊形之一邊長為
(A) 1，(B) 3/2，(C) ，(D) ，(5) 6－9。
Ans：E
【詳解】
6. 有一正立方體，其邊長都是1，如果向量a的起點與終點都是此正立方體的頂點，且│a│＝1，則共有多少個不相等的向量a？
(A) 3，(B) 6，(C) 12，(D) 24，(E) 28。
Ans：B
【詳解】
7. 考慮一正立方體六個面面的中心點，而以其中四個中心點為頂點的正方形共有幾個？
(A) 3，(B) 4，(C) 6，(D) 8，(E) 12。
Ans：A
【詳解】
8. 有一種丟銅板的遊戲，其規則為：出現正面則繼續丟，出現反面則出局。那麼連續丟五次還可以繼續丟的機率為(1/2)5＝1/32，某班有40名學生，每人各玩一局，設班上至少有一人連丟五次還可以繼續丟的機率為p，則
(A) 0.4≦p＜0.5，(B) 0.5≦p＜0.6，(C) 0.6≦p＜0.7，(D) 0.7≦p＜0.8，(E) 0.8≦p＜0.9。
Ans：D
【詳解】
貳、多重選擇題：
說明：第9至第12題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡的「解答欄」，每題答對給5分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可獲2.5分，錯兩個或兩個以上者不給分。
9. 設f(x)＝，若f(x)在x＝a處有最小值，則
(A) a為
整數，(B) a＜5.9，(C) a＞5.1，(D)│a－4│＜0.5，(E)│a－6│＜0.5。
Ans：BC
【詳解】
f(x)＝(x－1)2＋(x－2)2＋(x－3)2＋(x－8)2＋(x－9)2＋(x－10)2
＝6x2－66x＋259＝6(x－)2＋ ==> a＝。
10. 關於方程式所代表的錐線圖形Γ，下列何者為真？
(A) Γ為拋物線，(B) (1，－2)為Γ的焦點。(C)3x＋y－19＝0為Γ的漸近線，(D) x－3y＋7＝0 為Γ的對稱軸。(E)(3，1)為Γ的頂點。
Ans：AD
【詳解】
11. 下列各選項中的曲線Γ，何者是一個橢圓？
(A) Γ為標準跑道的內圈。(B) Γ為Q點的軌跡，其中PQ＝1，P為橢圓上任一點，O為M的中心，且O，P，Q三點共線。(C) Γ為Q點的軌跡，其中PQ＝OP，P為橢圓M上任一點，O為M的中心，且O，P，Q三點共線。(D) Γ為直圓柱面與平面E的交線(斜交)。(E) Γ為直圓錐面與平面E的交線(斜交)。
Ans：CDE
【詳解】
12. 下圖中，有五組數據，每組各有A、B、C、D、E、F等六個資料點。
(1) A(1，1)，B(2，1)，C(3，1)，D(1，2)，E(2，2)，F(3，2)。
(2) A(2，1)，B(3，1)，C(2，2)，D(3，2)，E(2，3)，F(3，3)。
(3) A(1，1)，B(2，1)，C(3，1)，D(2，2)，E(3，2)，F(3，3)。
(4) A(1，1)，B(1，2)，C(2，2)，D(1，3)，E(2，3)，F(3，3)。
(5) A(1，1)，B(2，1)，C(3，1)，D(2，3)，E(3，3)，F(3，5)。
設各組的相關係數分別為r1，r2，r3，r4，r5，則下列關係式何者為真？
(A)r1＝r2，(B) r2＜r3，(C) r3＞r4，(D) r3＜r5，(E) r4＝r5
Ans：ABE
【詳解】
第二部分：填空題
說明：1.第A至H題，將答案標示在答案卡的「解答欄」所標示的列號(13-28)處。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對者，不給分。
3.如果填空題答案要求的是分數時，必須以最簡分數表示。
1. 設f(x)＝x5＋6x4－4x3＋25x2＋30x＋20，則f(－7)＝_____________。
Ans：6
【詳解】
利用綜合除法得f(－7)＝6。
2. 設θ為平面2x－y＋2z＝6與3x－4z＝2的夾角(取銳角)，則θ最接近的整數度數為____________。
Ans：82
【詳解】
3. 在四邊形ABCD中，∠A＝120°，AB＝1，AD＝2，且AC＝3AB＋2AD，則AC的長度為____________。
Ans：13
【詳解】
4. 已知三角形由三直線y＝0，3x－2y＋3＝0，x＋y－4＝0所圍成，則其外接圓的直徑為________。
Ans：26
【詳解】
5. 已知圓內接四邊形的各邊長為AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，則對角線BD的長度為____________。
Ans：775
读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生
【詳解】
6. 將3100以科學記法表示：3100＝a×10m，其中1≦a＜10，m為整數，則a的整數部分為___________。
Ans：5
【詳解】
7. 某人上班有甲乙兩條路線可供選擇，早上定時從家裡出發，走甲路線有1/10的機率會遲到，走乙路線則有1
/5的機率會遲到，無論走那一條路線，只要不遲到，下次就會走同一條路線，否則就換另一條路線。假設他第一天走甲路線，則第三天也走甲路線的機率為____________。
Ans：83/100
【詳解】
8. 有一種遊戲，每次輸贏規則如下：先從1到6中選定一個號碼n，再擲三粒均勻的骰子，若三粒骰子的點數都是n，則可贏3元；恰有二粒骰子的點數是n則可贏2元；恰有一粒骰子的點數是n，則可贏1元；而沒有點數為n，則輸1元。如此，玩一次的期望值(贏為正，輸為負)為_______________。
Ans： －17/216
【詳解】
读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生