2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案

2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案

1． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值． 解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则231115a q a q a a q +--=，

1235

1a q q q ∴=

+--()251(1)

q q =

+-．由10a >知1q >． ()4

5

4

5

56111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44

2

2

5511(1)1q q q q q q =?+=+-- 2222

11

515122011q q q q ????=++=-++≥ ? ?--????

， 当且仅当2

21

11

q q -=

-

即q =56a a +有最小值20． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f

f a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．

证法一：设()()2

0f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a f

f a f f f a 的公比为()0q q >，

则()()()()()()()()2

2

3

,,f a aq f

f a f aq aq f f f a f aq aq

=====，

2ma na t aq ∴++=① 22()m aq naq t aq ++=② 2223()m aq naq t aq ++=③

①-②得()

()()22

111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()

()()2222

111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．

若1q =，则()f a a =；

若1q ≠，则()2

1ma q na aq ++=与()2

1ma q q na aq ++=矛盾．()f a a ∴=．

证法二：由()()()()()()

,,,a f a f

f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()

()()

f f f a f f a f a a f a f f a ==，

()()()()()()()

()()()()()

f f f a f f a f f a f a f a a

f f a f a --∴

=

--．

∴三点()(

)()()(

)(

)

()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a C

f a f a 满足AB

BC k

k =，

,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．

3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，

证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac B

a c B +．

解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MN

AD BC

= ， s i n s i n c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abc

x a c B Ra bc

∴==++．

同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为

,22abc abc

Rb ac Rc ab

++．

()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--< ，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，

∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为

sin sin ac B

a c B

+．

4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B 两点，且OAB S c ?=（c 为定值），记AB 中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线．

解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系． 设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OAB S ab c α?=

=，2sin 2c ab α

=． ()()c o s ,s i n ,c o s ,s i n A a a B b b αααα- ，

c o s c o s ,2s i n s i n ,2a b x a b y αααα+?

=??∴?-?=??(1)c o s 2(2)s i n

2x a b y a b αα+?=??∴?-?=??22

(1)(2)-得2222

2cos sin sin 2x y c ab ααα-==， ∴X 的轨迹为双曲线．

5．已知()1,2,,10i a i = 满足1210121030,21a a a a a a +++=< ，求证：()1,2,,10i a i ?= ，使1i a <． 证明：用反证法，假设()1,2,,10i a i ?= ， 1i a ≥．

令()11,2,,10i i a b i =+= ，则0i b ≥，且121020b b b +++= ．

()()()12101210111a a a b b b ∴=+++ 121012231b b b bb b b =+++++++ 12232121bb b b =+++≥ 与121021a a a < 矛盾，

()1,2,,10i a i ∴?= ，使1i a <．

D Q

E

P N

M

C B

A

北大数学系本科课程

基础和专业基础必修课1301301数学分析(Ⅰ) 1301301 数学分析1301301 数学分析(Ⅲ) 1301302 高等代数(Ⅰ) 1301302 高等代数1301303 解析几何1301304 常微分方程1301305 近世代数1301306 复变函数1301307 微分几何1301308 拓扑学1301309 实变函数1301310 概率统计1301311 数学模型1301312 泛函分析1301313 偏微分方程 专业限定选修课1301401 整体微分几何1301402 计算方法1301403 运筹学1301404 组合学1301405 初等数学教学研究1301406 微分流形1301407 计算机应用(Ⅰ) 1301408 多复变变函数引论 专业任意选修课1301501图论1301502 模糊数学1301503 中学数学竞赛1301504 数学史1301505 数学软件1301506 计算代数1301507 初等数论1301508 交换代数1301509 偏微分方程数值计算1301510 数学方法论1301511 数学学习论1301512 模糊控制与模糊决策

1301513 矩阵论 1301514 微分方程定性及分岔理论基 础 1301515 代数几何 1301516 李群与李代数 1301517 控制论 另外一个版本： 北大数学科学学院本科生课程 课程号 00130011 课程名数学分析(一) 课程号 00130012 课程名数学分析(二) 课程号 00130013 课程名数学分析(三) 课程号 00130031 课程名高等代数(上) 课程号 00130032 课程名高等代数(下) 课程号 00130051 课程名解析几何 课程号 00130061 课程名解析几何习题课 课程号 00130072 课程名初等数论 课程号 00130081 课程名常微分方程 课程号 00130091 课程名计算机原理与算法语言 课程号 0013010. 课程名计算机实习 课程号 00130110 课程名复变函数 课程号 00130120 课程名微分几何学 课程号 00130130 课程名抽象代数(A) 课程号 00130140 课程名实变函数论 课程号 00130150 课程名偏微分方程 课程号 00130161 课程名拓朴学(一) 课程号 00130162 课程名拓朴学(二) 课程号 00130170 课程名泛函分析

北京大学数学科学学院研究生培养方案.doc

北京大学数学科学学院 研究生培养方案 二〇一八年九月 谢谢观赏

北京大学数学科学学院 研究生培养方案 2018.9 （适用于数学学院2018年入学的研究生） 目录 硕士研究生培养方案 一硕士研究生培养目标 二关于硕士研究生的学制、选课、教学实习、参加学术报告会等规定 三数学学院各系对硕士研究生选课的具体要求 四硕士研究生学位论文及其评议 博士研究生培养方案 五博士研究生培养目标 六博士生学制及学分的要求 七博士生资格考试 八博士生综合考试 九博士生的培养计划 十博士毕业生发表论文的要求 十一博士生预答辩 十二博士论文的评议和答辩 十三博士研究生学业奖学金评定暂行办法 十四硕士研究生学业奖学金评定暂行办法 十五参考文件

一硕士研究生培养目标 培养热爱祖国、遵纪守法、学风严谨、品行端正的专业人才，使之有较强的事业心和献身科学的精神，并具有较坚实宽广的数学理论基础，及在基础数学、概率统计、大规模工程与科学计算、信息科学和金融数学等学科的某个方向上掌握较系统的专门理论知识、技术与方法，能够运用所掌握的基础理论与专门知识解决科学研究或实际工作中的问题,掌握一门外国语。 二数学科学学院关于硕士研究生的学制、选课、教学实习、参加学术报告会等规定（不含金融数学与精算学方向金融硕士和应用统计专业硕士） 1 学制3年 2 硕士生修课学分要求：总学分32学分, 其中 政治 3 学分 英语 2 学分 （英文项目的留学生选修《基础汉语》） 专业必修课9 学分 专业选修课18 学分 注：政治包括 中国特色社会主义理论与实践研究2学分 马克思主义与社会科学方法论和 自然辩证法概论二选一1学分 留学生（研究生）和港澳台学生： 《中国概况》（61410008）2学分 另外1学分可选修专业选修课、或马克思主义与社会科学 方法论或自然辩证法概论来替代。 3本院的所有研究生课程都可供本科生选修。硕士研究生（仅针对本院学生）在入学前的两年内选修的数学学院研究生课

北大数学分析实数理论参考资料

实数理论 §1.1 从自然数到有理数 实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？ 有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11?A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表． 在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为： Z =~ },:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′?∈n n n :),({ =?=?=22110，这就是作为整数的0. 用表示 k ∈+k n n )k n ,:,({

北大版高等数学第4章习题集解答

习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列 解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.wendangku.net/doc/f718806542.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证

北京大学数院432应用统计431金融数学,前沿交叉学科研究院大数据专业信息贴

北京大学数院432应用统计431金融数学，前沿交叉学科研究院大数据专业信息贴 最近闲了下来，跟两个学长在弄一些考研资料，弄了很久，在这个过程中自己终于有机会不像备考时那样紧张超负荷的学习，有机会安静下来回顾备考的五个月里自己到底做了什么学了什么，偶尔也会和复试的同学聊一聊，今年考上的同学很多都交流过，感觉大家都很优秀，特别和几个被刷的同学聊了聊，今年被刷的好像都是很厉害的985，其实水平也很高的，还有已经研究生毕业的同学又考的，在这个过程中总结了一些经验可以分享给下一届考的同学。 介绍一下自己的情况，本科所学专业为双一流学科，大学基本瞎玩，差点玩成学生会主席...绩点倒数，2.5出头。英语四六级都是飘过，政治从来没学过的，大学还挂过一门课就是思修，因为翘课被老师抓到了...去年八月份零基础开始准备差不多学习了五个月的时间，零基础跨专业，很幸运的考上了。 在考研这件事当中很多东西都是自己一个人摸索出来的，比如专业课，自己前前后后看了二十几本专业课的书，就在学校图书馆里看的，书又多而且都不用花钱...做了北大的历年真题应该是7年的，还有清华、科大等学校的真题，花了几千块买了好几个学长学姐的资料，有些课后题不会的查阅了很多资料，最终的结果就是今年考试基本每个题都能从书上找到出处，对于北大的题型感觉算是有一些心得吧。

自我感觉考研这个东西就是一个长跑，坚持下去就是胜利。比如考政治那一天，我考完之后就回酒店搜答案，多选连错5个，瞬间懵逼，下午考完英语，新题型又是全错，翻译只写了一个，就这种水平...考完第一天我就不想再考了，我想换做是谁，考成这样都没信心再考下去了吧，而且还是考北大，所以这件事情告诉我们一个道理就是考完不要对答案... 经验就不说了，几个学长学姐写的都挺好的，这里详细说说数院和叉院大数据一些相关信息。 数院有金融专硕和应用统计专硕，学制均为2年，学费分别为两年10万，6万。方向上应用统计专硕有两个，一个是金融一个是大数据，以前还有生物统计，因为就业面比较窄所以取消了。大数据方面一些课程要去人大上课，是和人大联合培养的，这里插一句新一轮学科评估北大和人大统计是并列第一，唯二两个A+，这个专业水平可想而知。叉院的大数据其实也是数院的老师建立起来的，最开始是鄂，现在由上交来的张在负责，他们都是数院的老师，叉院大数据是学硕，读三年，计算机能力要求较高，今年第二年招生，保送生源十分不错，统考人数较少，分数线较低，目前来看其最大优势就是师资很强，很多从其他院过来的老师。其实北大作为最早开设大数据专业的大学，其大数据专业就是由数院来组建的，但是一个很明显的问题就是无论数院还是叉院，大数据方向的老师都不是很多，所以在数院选择大数据方向会限制人数，叉院招生人数就更少了。对于叉院而言你能不能选到一个好的导师就是问题，本来老师就少，而且早就被保

北京大学数学科学学院硕士研究生入学考试

考试科目编号： 01 数学分析02 高等代数 03 解析几何04 实变函数 05 复变函数06 泛函分析 07 常微分方程08 偏微分方程 09 微分几何10 抽象代数 11 拓扑学12 概率论 13 数理统计14 数值分析 15 数值代数16 信号处理 17 离散数学18 数据结构与算法 01 数学分析（150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社，2003年。 04 实变函数（50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年。 05 复变函数（50 分）

考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声, 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 11 拓扑学（50 分） 考试参考书： 1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。 12 概率论（50 分） 考试参考书： 1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。 2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。

北大版高数答案

习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2

2018级研究生培养方案-北京大学数学科学学院

北京大学数学科学学院研究生培养方案 二〇一八年九月

北京大学数学科学学院 研究生培养方案 2018.9 （适用于数学学院2018年入学的研究生） 目录 硕士研究生培养方案 一硕士研究生培养目标 二关于硕士研究生的学制、选课、教学实习、参加学术报告会等规定 三数学学院各系对硕士研究生选课的具体要求 四硕士研究生学位论文及其评议 博士研究生培养方案 五博士研究生培养目标 六博士生学制及学分的要求 七博士生资格考试 八博士生综合考试 九博士生的培养计划 十博士毕业生发表论文的要求 十一博士生预答辩 十二博士论文的评议和答辩 十三博士研究生学业奖学金评定暂行办法 十四硕士研究生学业奖学金评定暂行办法 十五参考文件

一硕士研究生培养目标 培养热爱祖国、遵纪守法、学风严谨、品行端正的专业人才，使之有较强的事业心和献身科学的精神，并具有较坚实宽广的数学理论基础，及在基础数学、概率统计、大规模工程与科学计算、信息科学和金融数学等学科的某个方向上掌握较系统的专门理论知识、技术与方法，能够运用所掌握的基础理论与专门知识解决科学研究或实际工作中的问题,掌握一门外国语。 二数学科学学院关于硕士研究生的学制、选课、教学实习、参加学术报告会等规定（不含金融数学与精算学方向金融硕士和应用统计专业硕士） 1 学制3年 2 硕士生修课学分要求：总学分32学分, 其中 政治 3 学分 英语 2 学分 （英文项目的留学生选修《基础汉语》） 专业必修课9 学分 专业选修课18 学分 注：政治包括 中国特色社会主义理论与实践研究2学分 马克思主义与社会科学方法论和 自然辩证法概论二选一1学分 留学生（研究生）和港澳台学生： 《中国概况》（61410008）2学分 另外1学分可选修专业选修课、或马克思主义与社会科学 方法论或自然辩证法概论来替代。 3本院的所有研究生课程都可供本科生选修。硕士研究生（仅针对本院学生）在入学前的两年内选修的数学学院研究生课

1.1高数(北大版)

习题 1.1
证明 3为无理数. 1. 证 若 3不是无理数,则 3 = p p2 , p, q为互素自然数.3 = 2 , p 2 = 3q 2 .3除尽p 2 , q q
必除尽p, 否则p = 3k + 1或p = 3k + 2. p 2 = 9k 2 + 6k + 1, p 2 = 9k 2 + 12k + 4, 3除 p 2 将余1.故p = 3k , 9k 2 = 3q 2 , q 2 = 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 设 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 证 设 p= a a2 , a, b为互素自然数,则p = 2 , a 2 = pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a = pk . p k = pb , pk = b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.
解下列不等式 : 3. (1) | x | + | x ? 1|< 3.\; (2) | x 2 ? 3 |< 2. 解 (1)若x < 0, 则 ? x + 1 ? x < 3, 2 x > ?2, x > ?1, (?1, 0); 若0 < x < 1, 则x + 1 ? x < 3,1 < 3, (0,1); 若x > 1, 则x + x ? 1 < 3, x < 3 / 2, (1,3 / 2). X = (?1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,3 / 2). (2) ? 2 < x 2 ? 3 < 2,1 < x 2 < 5,1 <| x |2 < 5,1 <| x |< 5, x = (1, 5) ∪ (? 5, ?1). 设 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a + b |≥| a | ? | b |;(2)设 | a ? b |< 1, 证明 | a |<| b | +1. 证(1) | a |=| a + b + (?b) |≤| a + b | + | ?b |=| a + b | + | b |,| a + b |≥| a | ? | b | . (2) | a |=| b + (a ? b) |≤| b | + | a ? b |<| b | +1. 解下列不等式 : 5. (1) | x + 6 |> 0.1;(2) | x ? a |> l. 解(1)x + 6 > 0.1或x + 6 < ?0.1.x > ?5.9或x < ?6.1. X = (?∞, ?6.1) ∪ (?5.9, +∞). (2)若l > 0, X = (a + l , +∞) ∪ (?∞, a ? l ); 若l = 0, x ≠ a; 若l < 0, X = (?∞, +∞). 若 6. a > 1, 证明0 < n a ? 1 < a ?1 , 其中n为自然数. n
n
证若a > 1, 显然 n a = b > 1.a ? 1 = n a ? 1 = ( n a ? 1)(b n ?1 + b n ? 2 + L + 1) > n( n a ? 1). 设 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑有理数集合 m A=An = { n | m ∈ Z}. 若An ∩ (a, b) = ?, 则A = B ∪ C , B = A ∩ {x | x ≥ b}, 10 C = A ∩ {x | x ≤ a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 ? 1) /10n ∈ C , b ? a ≤ m0 /10 n -(m0 ? 1) /10 n =1/10n ,此与n的选取矛盾. 设 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑无理数集合An = { 2 + m | m ∈ Z}. 以下仿8题. 10n
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2017年北京大学数学科学学院金融硕士、应用统计硕士考研真题辅导

该文档包括：第一部分：考研基本信息，第二部分：考研录取名单，第三部分：考研参考书，第四部分：考研经验，第五部分：考研资料。 好消息！好消息！2016年北京大学数学科学学院金融硕士录取9人，育明教育学员2人，进入复试2人，全部录取！应用统计级硕士有1名学生被录取。 一、北京大学数学科学学院专硕的学费 应用统计硕士30000元一年两年制 金融硕士50000一年两年制 奖学金：招生简章上写没有，但是这个可以有，每个人至少获得1.5W （特别是数学系的硕士生比较少，很容易申请） *：其实关于这个奖学金大家真的不用担心，北大数学是国家重点学科，拿到的经济补贴是非常多的，而且数院的老师还都是很大方的。 二、北京大学数学科学学院的师资力量 数学学院拥有一直学识渊博，治学严谨的师资队伍，包括中科院院士6名，长江学着十数名，国家杰出青年基金获得者十数名，博士生导师五十多名，国家“973”项目首席科学家和课题组成员十数人他们不仅在数学发展的前沿上硕果累累，蜚声国内外，更以培养功底扎实、献身于科教兴国事业的创新性跨世纪人才为己任。金融数学系的吴岚、杨静平统计系的房祥忠、耿直有非常多内推实习的机会。 *：而且大牛吴岚老师和耿直老师是真的可能会成为你的代课老师，这是可遇而不可求的，大家珍惜。

三、北京大学数学科学学院应用统计硕士的课程设置 学习年限为两年（四个学期），前三个学期以课堂学习为主。总学分为37学分，其中马克思注意理论课必修3学分，第一外国语必修4学分，专业基础课15学分，专业方向课12学分，案例实务课必修3学分。专业基础课程包括随机数学(Ⅰ),随机数学（Ⅱ），统计推断，现代统计计算实用回归分析，统计软件高级编程，实用多元统计，实用时间序列，实用抽样调查，实用试验设计，应用随机过程，统计咨询实践等课程。 学生在第二学期后到实际部门实习或在校承担来自实际部门的科研项目进行实践，实习实践3个月左右若学生能够提供符合要求的实习报告并经考核小组考核合格者可获得3学分案例实务必修课的成绩。 四、北京大学数学科学学院金融硕士的课程设置 必修课程除北京大学研究生院统一要求的政治外语类课程外，还包括：金融中的随机数学、金融中的统计方法、风险管理与金融监管、投资组合管理模型、衍生工具模型、风险管理的数学模型、以及证券投资、精算学、衍生工具和风险管理等方面的专题谈论班（任选一门）选修课将包含数学类课程：概率论与随机过程、数值方法与随机模拟、统计数据分析、金融时间序列分析、应用类课程：金融风险管理实践、金融经济学、实用精算方法、金融数学与精算学专题选讲、信用及利率衍生产品等。 *：你会发现北大数院开设的课程是非常实用的，大家觉得学概率论、统计什么的以后用不到，那只能说你的工作很low，但是北大数科毕

北京大学数学分析考研试题及解答

判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 得 2 21ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小），

2019北京大学基础数学专业考研详情介绍、经验权威指导

2019北京大学基础数学专业考研详情介绍、经验权威指导 院校简介 北京大学创办于1898年，初名京师大学堂，1912年更名为北京大学。1913年秋北京大学数学门的招生，开启了中国现代高等数学教育的先河。 1952年秋，全国高等学校进行了院系调整。北京大学数学系与清华大学数学系、燕京大学数学系经调整后，组建了新的北京大学数学力学系。1978年分设为数学系和力学系。1985年，概率统计专业独立成立了概率统计系。1995年，在数学系与概率统计系的基础上成立了北京大学数学科学学院。 数学科学学院下设五个系：数学系、概率统计系、科学与工程计算系、信息科学系和金融数学系，拥有四个本科生专业：数学与应用数学专业、统计学专业、信息与计算科学专业以及数据科学与大数据技术专业。北京大学数学研究所是教育部批准成立的研究单位，与数学科学学院紧密结合，形成院所结合的体制；数学科学学院还拥有“数学及其应用”教育部重点实验室等多个研究机构，教育部“高校数学研究与高等人才培养中心”也挂靠在数学科学学院。数学科学学院学科门类齐全，教学与科研并重，理论与应用并举，是具有重要国际影响的数学科学研究和人才培养基地。 北大数学学院暨北京国际数学研究中心拥有一支实力雄厚的师资队伍，现有教师119人，其中中科院院士7人，长江特聘教授11人，国家杰出青年基金获得者24人，他们不仅在数学研究的前沿领域上取得了杰出的成就，还长期坚持在教学岗位上，为国家培养了一批又一批高素质、高水平的创新型人才。1952年以来，数学科学学院先后为国家培养了一万多名毕业生，他们奋斗在国家建设的各条战线上，其中包括30余名两院院士。获得国家最高科技奖的吴文俊院士和王选院士是数学科学学院校友中的杰出代表。数学科学学院在2001年获得国家优秀教学成果特等奖；在教育部学科评估中，2002年、2007年、2012年北大数学均名列全国首位；2017年北大数学和统计学均获评A+并入选国家“一流学科”建设名单。 数学科学学院拥有最好的数学生源，来自全国各地的数学尖子和几乎所有取得国际数学奥林匹克竞赛金牌的中国学生均在这里学习和成长。数学科学学院全力为学生营造一流的学习环境，配备门类齐全的图书资料，充足的计算机数学实验室，覆盖面广的多种类型奖学金和科研资助。本着加强基础、重视应用、因材施教、分流培养的指导思想，学院实行全院统一招生。本科生前四学期修相同的基础课程；第四学期末，学生可以自主选择，进入所选专业方向的学习。80%以上的本科毕业生可通过免试推荐形式在国内外直接攻读硕士、博士学位，其中的半数选择出国留学；参与就业的毕业生主要从事计算机和金融保险工作。信息科学中的图像、信号处理、信息安全，金融领域中的金融模型、风险、定价、精算等都需要很强的数学功底，数学科学学院的毕业生在就业市场上备受青睐。 北京大学数学科学学院有着光荣的传统、雄厚的师资力量、良好的学术风气，她是醉心于数学科学的人们的一块净土，是从事数学科学和相关科学研究的一座殿堂，也是莘莘学子人生起跑线的首选地之一。 招生目录 学习方式 全日制 研究方向 01.代数

2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)

北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页

北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

实用标准文档 北京大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3．直线: 327 x y z L ==-和平面:3278 0x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。

北京大学数学院高代期中考试题

Problem Set 2 1. Suppose that Natasha’s utility function is given by u(I) = I0.5, where I represents annual income in thousands of dollars. 1) Is Natasha risk loving, risk neutral, or risk averse? Explain. 2) Suppose that Natasha is currently earning an income of $10,000 (I = 10) and can earn that income next year with certainty. She is offered a chance to take a new job that offers a 0.5 probability of earning $16,000, and a 0.5 probability of earning $5,000. Should she take the new job? 3) In (2), would Natasha be willing to buy insurance to protect against the variable income associated with the new job? If so, how much would she be willing to pay for that insurance? (Hint: What is the risk premium?) 1。假设娜塔莎的效用函数是由u给予（我）= I0.5，在这里我代表 以百万美元. 1）年收入数千娜塔莎风险爱好者，风险中性，或风险规避？解释. 2）假设娜塔莎是当前收入是10,000元（收入我= 10），而且可以肯定地 赚取收入明年。她提供了一个机会，采取一种新的 工作，提供了16,000元的收入为0.5的概率，以及 0.5入5,000元的概率。她应该采取新的工作? 3）在（2），将娜塔莎愿意购买保险，以保障对 收入，与工作相关的新的变数？如果是这样，多少钱，她愿意付出 该保险？（提示：什么是风险溢价?) 2．Suppose that the process of producing lightweight parkas by Polly’s Parkas is described by the function Q = 10K0.8(L-40)0.2, where Q is the number of parkas produced, K is the number of machine hours, and L is the number of person-hours of labors. a) Derive the cost-minimizing demands for K and L as a function of Q, wage rates (w), and rental rates on machines (r). Use these to derive the total cost function. b) This process requires skilled workers, who earn $32 per hour. The rental rate is $64 per hour. At these factor prices, what are total costs as a function of Q? Does this technology exhibit decreasing, constant, or increasing returns to scale? c) Polly’s Parkas plans to produce 2000 parkas per week. At the factor prices given above, how many workers should they hire (at 40 hours per week) and how many machines should they rent (at 40 machine-hours per week)? What are the marginal and average costs at this level of production? 2。假设生产由Polly的Parkas轻量级parkas过程 由函数描述为Q = 10K0.8（长- 40）0.2，其中Q是parkas生产数量 ，K为机时数，而L是人小时 劳动者人数. 一）推导的成本最小化作为Q的函数K和L的要求，工资率

北京大学数学科学学院和北京国际数学研究中心关于2019年博士生招生的说明

北京大学数学科学学院和北京国际数学研究中心关于2019 年博士生招生的说明 北京大学数学科学学院和北京国际数学研究中心2019 年招收博士研究生以推荐免试、“申请-考核制”及硕博连读三种方式进行，其中以“申请-考核制”方式招收的博士生，申请人须按照我校博士生招生简章和学院/中心的相关要求进行报名并提交申请材料。学院和中心研究生招生工作小组将对申请人的材料审核评估后确认是否给予考核资格，并对获得考核资格的申请人进行考核，最后确定是否录取。 一、基本条件 1、拥护中国共产党的领导，具有正确的政治方向，热爱祖国，愿意为社会主义现代化建设服务，遵守法律、法规和学校的规章制度，品行端正。 2、申请者必须符合下述条件之一： （1）已获得硕士或博士学位； （2）应届硕士毕业生（在录取年9月1日前取得硕士学位）； （3）获得本科学士学位满6年（到录取年的9月1日）的人员，可按照同等 学力身份报考（以同等学力身份报名者，须在报考学科、专业或相近研究领域的全国核心期刊上已发表两篇以上学术论文（以第一或第二作者），或已获得省、部级以上与报考学科相关的科研成果奖励（排名前五名））。 3、身心健康状况符合北京大学研究生入学体检标准。 二、报名申请 1、采取网上申报。网报时间为：2018年10月15日12:00-12月10日12:00，报考程序详见博士研究生报名公告 （https://https://www.wendangku.net/doc/f718806542.html,/zsxx/bszs/bssqkh/index.htm）。 2、考生在报名系统中只能提交一个报考志愿。 3、申请者于2018年12月20日17:00前，向学院研究生教务办公室寄（送）达以下申请材料： （1）通过网上报名系统打印的《北京大学2019 年攻读博士学位研究生报考登记表》，请在规定的报名时间内登录北京大学研究生招生网（网址：https://https://www.wendangku.net/doc/f718806542.html,/applications/）进行网上报名，上传相关材料，并打印“北京大学2019年攻读博士学位研究生报考登记表”。