在△ABC 中,若0)cos 23
(|3sin 4|2
2=-+-B A ,则△ABC 的形状是 在Rt △ABC 中,∠C=90,b a 33=,则∠A= sinB=
已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两实数根的平方和为7,则m=
在Rt △ABC 中,∠C=90,∠A ,∠B ,∠C 所对应的边分别为a ,b ,c ,∠B=30°,a+b=2,求Rt △ABC 的周长。
在△ABC 中,AD 是边BC 上的高,E 为AC 的中点,BC=14,AD=12,sinB=
54,求(1)
线段DC 的长,(2)ta n ∠EDC 的值。 如图,在长宽分别为a a 434,的长方形中有一点M ,已知AM=a 32,BM=a 2,求M ,C 之间的距离。
解方程:03-tan 2tan 2=+αα 352+-x x
已知βα,是关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x x m 的两实数根且满足(α+1)(β+1)=m+1,求实数m 的值。
如图,太阳光线与地面成45°角,一颗倾斜的树与地面成30°角,此时测得树在地面上的影子长为10米,这棵树长多少米?
如图,AD 是△ABC 的高,点P ,Q 在边BC 上,点R 在边AC 上,点S 在AB 上,BC=60cm ,AD=40cm ,四边形PQRS 是正方形,(1)△ASR 与△ABC 相似吗?为什么?(2)求正方形PQRS 的边长。
如图,△ABC 中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E ,F 两点分别在AB ,AC 上,AD 交EF 于点H ,(1)求证:
BC EF AD AH =(2)设EF=x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大值。
如图,已知抛物线a bx x y 32-+=过点A (1,0)B (0,-3),与x 轴交于另一点C ,(1)求抛物线的关系式(2)若在第三象限的抛物线上存在点P ,使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形,求点P 的坐标。
某宾馆有50个房间供游客住宿,,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部注满,当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲,宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用,根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元,设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)(1)设一天定住的房间数为y ,直接写出y 与x 的关系式及自变量x 的取值范围(2)设宾馆一天的利润为W 元,求W 与x 的函数关系式
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大,最大利润是多少元? 反比例函数x y 5
=与二次函数c x x y ++-=22
的图像交于点A (-1,m )求m ,c 的值 将两个可以自由转动的转盘分别分成面积相等的几个扇形,在分成的扇形上分别标上数字1,2,3,4,5,同时转动两转盘,(1)用树状图或列表法表示转盘停止后,指针所指扇形上数字可能出现的结果(若指针在分界线上则重转)(2)如甲乙两人玩转盘,并规定,转盘停止后,
指针所指数字之和为偶数则甲赢,若数字之和为奇数则乙赢,此游戏对甲乙两人公平吗,请说明理由。
在△ABC中,AB=6cm,AC=12CM,动点D从点A出发到B点为止,动点E从点C出发到A点为止,点D运动的速度为1cm/s,点E运动的速度为2cm/s,如两点同时运动,则当以点A,D,E,为顶点的三角形与△ABC相似时,求运动时间。
用心 爱心 专心 九年级(上)数学复习1 第二十一章 二次根式 ?知识网络图表? ?习题练习? 1. 2)x > 2. 已知0=,求x 、y 的值。 3..已知0b > 4. 若a b == a 、 b 表示为多少? 5. - 6. 式子=x 的取值范围是多少? 7.当x=_____时 3的值最小,最小值是:_______. 8.在实数范围内分解因式:425x - 9.计算 2 1)+++ (2).22-?+-- 10.等式 :x y -=中的括号内应填入:________ 11.下列二次根式中,最简二次根式是( ) 12.下列各式中, ( ) 13. = 成立,则x 的取值范围为( ) A.2x ≥ B.3x ≤ C.23x ≤≤ D.23x << 14.计算 结果是:( ) A. 15. 数5- 的整数部分是x, 小数部分是y, 则x-2y 的值是( ) A.1- B.1- 1 D.1--16. 已知a b = = ( ) A.5 B.6 C.3 D.4 17. 若 2 x -有意义,则x 的取值范围是:_________ 18.实数a 在数轴上的位置如图,化简 :1a -+ 19. 0=
九年级(上)数学复习2 第二十二章一元二次方程? ? 1.下列关于x的方程中:①20 ax bx c ++=,②2560 k k ++=,③3 1 342 x x --=,④ 22 (3)20 m x ++-=.是关于x的一元二次方程的是:______(只填序号) 2.关于x的方程1 (3)50 a a x x - -++=是一元二次方程,则a =_______. 3.如果210 x x +-=,那么代数式32 27 x x +-的值为:____________. 4.已知m是方程210 x x --=的一个根,则代数式2 m m -的值为多少? 5.用配方法解方程2410 x x ++=,经过配方得:_____________ 6.对于二次三项式21036, x x -+小明同学得出如下的结论:无论x取何值什么实数时,它的值都不可能等于 11。你是否同意他的说法?并说明你的理由。 7.已知实数x满足2 4410 x x -+=,则代数式 1 2 2 x x +的值为:_____________. 8.等腰三角形的底和腰是方程2680 x x -+=的两根,则这个三角形的周长是:_________. 9.已知下列n(n 为整数)个关于x的一元二次方程: () () () 2 2 2 2 10 201 2302 (1)0 x x x x x x n x n n -= +-= +-= ??????????????????? +--= (1)请解上述一元二次方程(1),(2),….(n); (2)请你指出这个n 个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可。 10.已知关于x的一元二次方程2(1)20 x m x m --++=, (1)若方程有两个相等的实数根,求m 的值。 (2)若方程的两实数根之和等于292 m m -+ 11.若一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠有一个根是1,则a b c ++=_____ 12.请你写出一个根x=2,另一个根满足11 x -<<的一元二次方程:_____________ 13.如果关于x的一元二次方程20 x px q ++=的两根为: 12 3,1 x x ==那么这个一元二次方程是( ) A. 2340 x x ++= B. 2430 x x -+= C. 2430 x x +-= D. 2340 x x +-= 14.如果关于x的一元二次方程2690 kx x -+=有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是:________ 15.解方程(1) 2 42560 x-= (2)26100 x x --= (3) 2 541 x x -=- 16.求证:不论x取任何实数,代数式2 485 x x ++的值总大于零. 17.关于x的一元二次方程20 x px q ++=的两根 12 2,1 x x ==,则分解因式的结果为:______________ 2
九年级上册数学知识点归纳详解数学是被很多人称之拦路虎的一门科目,同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺,为此小编为大家整理了九年级上册数学知识点归纳详解,希望能够帮助到大家。 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式,知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。二次根式一章就来认识这种式子,探索它的性质,掌握它的运算。 在这一章,首先让学生了解二次根式的概念,并掌握以下重要结论: 注:关于二次根式的运算,由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握,教科书先安排二次根式的乘除,再安排二次根式的加减。二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性,并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到 并运用它们进行二次根式的化简。 二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容,再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中,注意类比整式运算的有关内容。例如,让学生比较二次根式的加减与整式的加减,又如,通过例题说明在二次根式的运算中,多项式
乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程一元二次方程。一元二次方程一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念, 22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。(1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了公式法以后,学生对这个内容会有进一步的理解。
a ,x 2= a 2 2 2 数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元) ,并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是 2;③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式: ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中, ax 是二次项, a 是二次项系数; bx 是一次项, b 是一 次项系数; c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1) ) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一 般地,对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程,根据平方根的定义可解得 x 1= . (2) ) 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2 =p(m ≠ 0) 形式的方程, 如果 p ≥0,就可以利用直接开平方法。 (3) ) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) ) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即
正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数; ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; ⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么 方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤: ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方
根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数; ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号 右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤: ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值,注意符号; ③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,
第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定(一) 学习目标: ①通过折、剪纸的方法,探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点:菱形的概念和菱形的性质,菱形的面积公式的推导。 教学难点:菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程: 活动一: 自学课本例题以上的容,完成下列问题: 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来? 的四边形叫做菱形,生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形? 平行四边形 菱形 ?
②菱形为什么是轴对称图形? 有对称轴。 图中相等的线段有: 图中相等的角有: ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?自己完成证明。 性质: 证明: 活动二:对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线: 平行四边的对角线: 活动三:菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。
2.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD, 求两条小路的长和花坛的面积。 课效检测: 一、填空 (1)菱形的两条对角线长分别是12cm,16cm,它的周长等于,面积等于。 (2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:2,菱形的四个角是。 (3)已知:菱形的周长是20cm,两个相邻的角的度数比为1:2,则较短的对角线
长是 。 (4)已知:菱形的周长是52 cm ,一条对角线长是24 cm ,则它的面积是 。 二、解答题 已知:如图,在菱形ABCD 中,周长为8cm ,∠BAD=1200 对角线AC ,BD 交于点O ,求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质,这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的。A B C D O
九年级数学上册期末测试题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列关于x 的方程中,是一元二次方程的有( ) A .221 x x + B .02=++c bx ax C .()()121=+-x x D .05232 2 =--y xy x 2.化简 1 321 21++ -的结果为( ) A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =,则实数k 的值为( ) A .2 B .1- C .1 D .2- 4.要使二次根式1-x 有意义,那么x 的取值范围是( ) (A )x >-1 (B ) x <1 (C ) x ≥1 (D )x ≤1 5.有6张写有数字的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上(如图 2),从中任意一张是数字3的概率是( ) A 、61 B 、31 C 、21 D 、3 2 6.已知x 、y 是实数,3x +4 +y 2 -6y +9=0,则xy 的值是( ) A .4 B .-4 C .94 D .-94 7、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A B C D 8.已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ,圆心距为7cm ,那么这两圆的位置关系是( ) A .相交 B .内切 C .外切 D .外离 9.如图3,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知:如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB =60°,则下列结论中正确的是( ) A .∠AO B =60° B . ∠ADB =60° C .∠AEB =60° D .∠AEB =30° 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.方程 x 2 = x 的解是______________________ 12.如图所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个 五角星可以由一 个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O 至少经过____________次旋转而得到, 每一次旋转_______度. 13.若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ,则a+b 的值为 ________. 14.圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15.若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根,则k 的取值范围是 . 16.如图6,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心,以2 1AC 为半径画弧,三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______. 17.已知:如图7,等腰三角形ABC 中,AB=AC=4,若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ,DE ∥AB ,DE 与AC 相交于点E ,则DE=____________。 18. 如图,是一个半径为6cm ,面积为π12cm 2的扇形纸片,现需要一个半径为R 的圆形纸片,使两张纸片刚好能组合成圆锥体,则R 等于 cm 三.解答题 19.(6 分)计算:÷ (6分)解方程:2(x+2)2=x 2 -4 图2 O A B M 图3 图4 图5 图7 图 6 12题图
23.1 二次函数 教学目标: (1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。 (2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯 重点难点: 能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程: 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC2 2.x 3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定, y是x 的函数,试写出这个函数的关系式, 对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况,提出问题:(1)从所填表格中,你能发现什么?(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见,达成共识:当AB的长为5cm,BC的长为10m时,围成的矩形面积最大;最大面积为50m2。 对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见。形成共识,x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0 <x <10。 对于3,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20-2x)(0 <x <10)就是所求的函数关系式. 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并回答: 1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价-进价)×销售量] 2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10-8=2(元),(10-8)×100=200(元)] 3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10-8-x);(100+100x)] 4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取,请求出它的范围,
最新人教版九年级上册数学复习资料 第一章一元二次方程 1、一元二次方程的概念: 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.一元二次方程的解就叫一元二次方程的根. 2、一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a、b、c分别为二次项系数;一次项系数;常数项) 3、三种解一元二次方程的方法: (1)、配方法 例:2x2+1=3x(解法在课本P7) (2)、公式法 求根公式:;判别式公式:△ (3)、因式分解法(包括:提公因式法;完全平方公式及平方差公式法;十字相乘法)例:3x2+6x=0; x2-4x+4=0; 9X2-1=0; X2-5X+6=0 解:3x(x+2)=0 解:(x-2)2=0 解:(3x-1)(3x+1)=0 解:(x+2)(x-3)=0 x1=0;x2=-2 x1=x2=2 x1=;x2= x1=-2;x2=3 4、韦达定理 如果方程a2x+bx+c=0有两根:x1与x2,那么x1+x2= ;x1.x2= 5、用一元二次方程解实际问题(应用题) 步骤:1、根据题意设未知数(x);2、根据题中数量关系列一元二次方程; 3、解方程(不符合题意的解舍去); 4、做答 第二章二次函数 知识点一:二次函数的定义 1.二次函数的定义: 一般地,形如 2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数. 其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
知识点二:二次函数的图象与性质 2. 二次函数 ()2 y a x h k =- +的图象与性质 (1)二次函数基本形式2 y ax =的图象与性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 (2) 2 y ax c =+的图象 与性质:上加下减 (3) () 2 y a x h =-的图象与性质:左加右减 ( 4 )二次函数 () 2 y a x h k =-+的图象与性质
初三数学上册知识点总 结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
九年级数学上册知识点 ( 为重中之重) 第一章 二次根式 二次根式:形如a (0≥a )的式子为二次根式; 1 性质:a (0≥a )是一个非负数; ()()02≥=a a a ; ()02≥=a a a 。 2 二次根式的乘除: ()0,0≥≥=?b a ab b a ; ()0,0>≥=b a b a b a 。 3 4 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式, 再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5 二次根式的混合运算 第二章 一元二次方程 1 一元二次方程:等号两边都是整式,且只有一个未知数,未知数的最高次是2的方程。 2 一元二次方程的解法 ① 配方法:将方程的一边配成完全平方式,然后两边开方; ② 公式法:a ac b b x 242-±-=(其中当△=ac b 42->0时,方程有两个不同的实数根:a ac b b a ac b b x x 24,242221---=-+-=;当△=ac b 42-=0时方程有两个相等的实数根:a b x x 221-= =;当△=ac b 42-<0时,方程无实数根 ) ③ 因式分解法:左边是两个因式的乘积,右边为零。 3 一元二次方程在实际问题中的应用
4 韦达定理:设21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根,那么有 a c x x a b x x =?-=+2121, 第三章 旋转 1 图形的旋转 旋转:把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度,就叫做图 形的旋转。 性质:①对应点到旋转中心的距离相等; ②对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等。 会画出一个图形顺时针或逆时针旋转30°、60°、90°后的图形。 2 中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°, 如果它能够与另一个 图形重合,那么就说这两个图形中心对称。 中心对称图形:把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对 称图形。 会画出一个图形关于原点对称得图形,也就是中心对称图形。 3 关于原点对称的点的坐标 已知点P 的坐标是(x ,y ):关于原点对称的点的坐标是(-x,-y ) 关于x 轴对称的点的坐标是( x,-y ) 关于y 轴对称的点的坐标是( -x,y ) 第四章 圆 1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴; 垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧; 平分弦的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧。 3 弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也 相等。 4 圆周角 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧 所对的圆心角的一半; 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是 直径。 5 点和圆的位置关系 点在圆外 r d >
九年级上册知识点 二次根式知识点 考点1、无理数 无限不循环的小数,叫做无理数。 常见的无理数: 1、π以及π的有理数倍数。 2、、、; 3、2.01001000100001………… 考点2、二次根式的概念 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 1、被开放数a是一个非负数; 2、二次根式是一个非负数,即≥0; 3、有限个二次根式的和等于0,则每个二次根式的被开方数必须是0. 考点3、移因式于根号内、外的方法 移因式于根号外 1、当根号外的数是一个负数时,把负号留在根号外,然后把这个数平方后移到根号内 2、当根号内的数是一个正数时,直接把这个数平方后移到根号内 移因式于根号内 1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外 2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号 考点4、最简二次根式 知识回顾: 满足下列条件的二次根式,叫做最简二次根式: (1) 被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识特点: 1、最简二次根式中一定不含有分母; 2、对于数或者代数式,它们不能在写成a n×m的形式。 考点5、二次根式的化简与计算 二次根式的化简,实际上就是把二次根式化成最简二次根式,然后,通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。 二次根式的加减运算:a+b=(a+b),(m≥0); 二次根式的乘法运算:.=,( a≥0, b≥0); 二次根式的除法运算:÷=,( a≥0, b>0);
二次根式的乘方运算:=a,( a≥0); 二次根式的开方运算:= 考点6、与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根; 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时, 无意义,而 一元二次方程 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:,它的特征是:等式左边 十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知, 是b的平方根,当时,,,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看 做未知数x,并用x代替,则有。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点: a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)) (4)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (5)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
章 节 第 一 章 二 次 函 数 难易 程度 ★★★ ★★ 九年级数学上册数学期末复习提纲 重难点 分析 知识点归纳知识拓展 1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)初中数学最重要的 2、求二次函数的解析式部分,在中考中占的 一般式y=ax2+b x+c、比重大,跟其他知识 顶点式y=a(x+m)2+k点联系多,以数形结 交点式y=a(x-x1)(x-x2)合的题型考查几何, 3、二次函数的图像和性质解方程、代数等都相 当a>0时,图像开口向上,有最低点,有最小值互联系,知识点多题 当a<0时,图像开口向下,有最高点,有最大值型多变,压轴题多以 1、二次函顶点式对称轴:直线x=-m此为出题点 数的图像一般式对称轴:直线x=-b/2a 2、二次函交点式对称轴:直线x=(x 1 +x 2 )/21、考查形式:以选数的性质 4.二次函数图像的平移择题、填空题形式考 以及性质函数y=a(x+m)2+k的图像,可以由函数y=ax2察二次函数图像的 的综合应的图像先向右(当m<0时)或向左(m>0时)平移|m|性质,以解答题形式用个单位,再向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移考察以二次函数为 3、二次函|k|个单位得到载体的综合题。 数的应用4、抛物线与系数的关系2、考察趋势:二次 性问题:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。函数图像与系数的 ①面积最当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下关系,二次函数的应 值问题②开口。用仍是重点 高度、长|a|越大,则抛物线的开口越小。3、二次函数求最值 度最值问一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。的应用:依据实际问 题③利润当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;题中的数量关系,确 最大化问当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。定二次函数的解析 题④求近常数项c决定抛物线与y轴交点式,结合方程、一次 似解抛物线与y轴交于(0,c)函数等知识解决实 抛物线与x轴交点个数际问题(对于二次函 Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。数最大(小)值的确 Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。定,一定要注意二次 Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点函数自变量的取值 5、二次函数的应用范围,同时兼顾实际 问题中对自变量的 特殊约定,结合图像 进行理解)
初三上册数学知识点归纳人教版 【篇一】 不等式的概念 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法。 不等式基本性质 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就
不等为0,否则不等式不成立。 一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1. 一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集。 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式:①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
初三数学上册全册教案(北师大版) 北师大版九年级数学上全册精品教案 证明 .你能证明它们吗?3课时 .直角三角形2课时 .线段的垂直平分线2课时 .角平分线1课时 你能证明它们吗? 教学目标: 知识与技能目标: .了解作为证明基础的几条公理的内容。 .掌握证明的基本步骤和书写格式. 过程与方法 .经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。 .能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。 情感态度与价值观 .启发、引导学生体会探索结论和证明结论,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系..培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯. 重点、难点、关键 .重点:探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问
题. .难点:探究问题的证明思路及方法. .关键:结合实际事例,采用综合分析的方法寻找证明的思路. 教学过程: 一、议一议: .还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? .你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 给出公理和定理: .等腰三角形两腰相等,两个底角相等。 .等边三角形三边相等,三个角都相等,并且每个角都等于延伸. 二、回忆上学期学过的公理 本套教材选用如下命题作为公理: 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 两边夹角对应相等的两个三角形全等; 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 三边对应相等的两个三角形全等; 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等。 证明过程: 已知:∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF 求证:△ABc≌△DEF 证明:∵∠A+∠B+∠c=180°, ∠D+∠E+∠F=180° ∴∠c=180°- ∠F=180°- 又∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠c=∠F 又∵Bc=EF ∴△ABc≌△DEF 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 随堂练习: 做教科书第4页第1,2题。 课堂小结: 通过这节课的学习你学到了什么知识? 作业: 基础作业:P5页习题1.11、2。 你能证明它们吗 教学目标:
人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题: 1、已知关于x的方程(m+3)x 21 m- +(m-3)-1=0是一元二次方程,求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -.
(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是: ①移项; ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1; ③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边; (2)方程两边都除以二次项系数; (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (4)若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根;在实数范围内,负数没有平方根。 2、一般地,我们把形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号。 3、a (a ≥0)是一个非负数.当a 为带分数是,要把a 改写成假分数,即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质:(a )2=a (a ≥0), 2 a =a (a ≥0) 5、用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定:a ×b =ab (a ≥0,b ≥0) 7、二次根式的除法规定:b a =b a (a ≥0, b >0) 8、最简二次根式条件:①被开方数不含字母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则:先将二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式:a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式:(a ±b )2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率,任何非零数的零次幂都是1,(ab )m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式:ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做这个方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法: (1) 直接开方法:如果方程能化成x 2 =p 或(mx+n )2 =p(p ≥0)的形式,那么可得x=p ± 或mx+n=p ± (2) 配方法:步骤:第一步,把方程化成一般形式(二次项系数是1);第二步,把常 数项移到方程的右边;第三步,配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;第四步,把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式,即(x-k )2 =h(h ≥0);第五步,用直接开平方法解方程。 (3) 公式法:Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ>0时,方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相