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2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学立体几何练习题23题
2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題

一.解答题(共23小题)

1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.

(Ⅰ)求证:AN∥平面MEC;

(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.

2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2

的菱形,AC⊥CB,BC=1.

(Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC;

(Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.

3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

(I)求点P到平面ABCD的距离,

(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.

4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.

5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知.

(1)求证:B1C1⊥平面OAH;

(2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小.

6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形.

(1)求证:AD⊥BC.

(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.

(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.

7.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线

PA与CD所成的角为90°.

(Ⅰ)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;

(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

8.如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;

(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

9.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D ﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°.

(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC;

(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.

10.如图,已知边长为6的菱形ABCD,∠ABC=120°,AC与BD相交于O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=3.

(1)若M是BC的中点,求证:在三棱锥D﹣ABC中,直线OM与平面ABD平行;

(2)求二面角A﹣BD﹣O的余弦值;

(3)在三棱锥D﹣ABC中,设点N是BD上的一个动点,试确定N点的位置,使得CN=4.

11.如图所示的多面体ABCDE中,已知AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC=,F 是CD的中点.

(1)求证:AF∥平面BCE;

(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值;

(3)求多面体ABCDE的体积.

12.如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE

⊥AB,且AE∥BP.

(Ⅰ)设点M为棱PD中点,求证:EM∥平面ABCD;

(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

13.如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.

(1)求证:平面PBC⊥平面PAC;

(2)若PA=1,AB=2,BC=,在直线AC上是否存在一点D,使得直线BD与平面PBC所成角为30°?若存在,求出CD的长;若不存在,说明理由.

14.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F分别为BC,AD的中点,点M在线段PD上.

(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAC;

(Ⅱ)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等,求的值.

15.如图,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD.

(Ⅰ)求证:CD⊥AM;

(Ⅱ)若AM=BC=2,求直线AM与平面BDM所成角的正弦值.

16.如图,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°,O,P分别为AB,CB的中点,M为底面△OBF的重心.

(Ⅰ)求证:PM∥平面AFC;

(Ⅱ)求直线AC与平面CEF所成角的正弦值.

17.已知菱形ABCD,AB=2,∠BAD=,半圆O所在平面垂直于平面ABCD,点P在半圆弧上.(不同于B,C).(1)若PA与平面ABCD所成角的正弦值为,求出点P的位置;

(2)是否存在点P,使得PC⊥BD,若存在,求出点P的位置,若不存在,说明理由.

18.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACFE;

(Ⅱ)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时,求CF的长度.

19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直,O为AD的中点,E为DC的中点,且AD=2.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求二面角P﹣EB﹣A的余弦值;

(Ⅲ)在线段AB上是否存在点M,使线段PM与△PAD所在平面成30°角.若存在,

求出AM的长,若不存在,请说明理由.

20.在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是正三角形,E是AB中点,A1E⊥平面ABC.

(I)证明:BC1∥平面A1EC;

(II)若A1A⊥A1B,且AB=2.

①求点B到平面ACC1A1的距离;

②求直线CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值.

21.如图,在多面体EF﹣ABCD中,ABCD,ABEF均为直角梯形,∠ABE=∠ABC=,DCEF为平行四边形,

平面DCEF⊥平面ABCD.

(1)求证:DF⊥平面ABCD;

(2)若△ABD是边长为2的等边三角形,且BF与平面ABCD所成角的正切值为1,求点E到平面BDF的距离.

22.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,G为ABC的重心,BE=BC1.

(1)求证:GE∥平面AA1B1B;

(2)若侧面ABB1A1⊥底面ABC,∠A1AB=∠BAC=60°,AA1=AB=AC=2,求直线A1B与平面B1GE所成角θ的正弦值.

23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,BC=2,AD=CD=1,M是PB的中点.(Ⅰ)求证:AM∥平面PCD;

(Ⅱ)求证:平面ACM⊥平面PAB;

(Ⅲ)若PC与平面ACM所成角为30°,求PA的长.

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