2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2

，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．

A ．{1,4}

B ．{2,3}

C ．{9,16}

D ．{1,2} 【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2

，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．

2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

2

12i

1i +(-)＝( )．

A.

B ．11+

i 2

- C ． D ． 【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】

2

12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1

1+i 2

-.

3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A ．12

B ．13

C ．14

D ．16

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为

13

. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b

-(a ＞0，b ＞0)

C 的渐近线方程

为( )．

A ．

B ．

C ．1

2

y x =± D ．

【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵2e =

2c a =，即2254

c a =.

∵c 2

＝a 2

＋b 2

，∴2214b a =.∴1

2

b a =.

∵双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，

∴渐近线方程为1

2

y x =±.故选C.

5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2

，则下列命题中为真命题的是( )．

A ．p ∧q

B ．?p ∧q

C ．p ∧?q

D ．?p ∧?q 【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。 【解析】由20

＝30

知，p 为假命题．令h (x )＝x 3

－1＋x 2

， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3

－1＋x 2

＝0在(0,1)内有解．

∴?x ∈R ，x 3

＝1－x 2

，即命题q 为真命题．由此可知只有?p ∧q 为真命题．故选B.

6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为

2

3

的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ． B ． C ． D ． 【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。

【解析】11211321113

n

n

n n a a a q a q S q q --(-)===

---＝3－2a n ，故选D.

7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5] 【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。 【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2

. ∵该函数的对称轴为t ＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．

综上知s ∈[－3,4]．故选A.

8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2

＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，

则△POF 的面积为( )．

A ．2

B ．．．4 【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF |＝P x =x P ＝

∴y P ＝±∴S △POF ＝

1

2

|OF |·|y P |＝故选C.

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2

?? ??

?

时，f (x )＞0，排除A.

当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2

x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3

x =. 故极值点为2

π3

x =

，可排除D ，故选C.

10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2

A ＋cos 2A ＝0，

a ＝7，c ＝6，则

b ＝( )．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5 【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。 【解析】由23cos 2

A ＋cos 2A ＝0，得cos 2

A ＝

125.∵A ∈π0,2??

???

，∴cos A ＝15.

∵cos A ＝2364926b b +-?，∴b ＝5或13

5

b =-(舍)．

故选D.

11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π 【答案】A

【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

V 半圆柱＝

12

π×22

×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.

所以所求体积为16＋8π.故选A.

12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,

ln(1),0.

x x x x x ?-+≤?+>?若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0] 【答案】D

【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。

【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示．

当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2

＋2x |相切为界限， 由2

,2,

y ax y x x =??

=-?得x 2

－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2

＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.

第Ⅱ卷（选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 【答案】2

【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。

【解析】∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122

??=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，

即t a ·b ＋(1－t )b 2

＝0.

∴

1

2

t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.

14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件

13,

10,x x y ≤≤??

-≤-≤?

则z ＝2x －y 的最大值为______． 【答案】3

【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。 【解析】画出可行域如图所示．

画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3. 15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 【答案】

9

π2

【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。 【解析】如图，

设球O 的半径为R ， 则AH ＝

23

R ， OH ＝

3

R . 又∵π·EH 2

＝π，∴EH ＝1.

∵在Rt△OEH 中，R 2

＝2

2+13R ?? ???

，∴R 2

＝98.

∴S 球＝4πR 2

＝9π2

.

16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.

【答案】 【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。

【解析】∵f (x )＝sin x －2cos x sin(x －φ)，

其中sin φcos φ当x －φ＝2k π＋π

2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．

即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π

2

＋φ(k ∈Z )．

∴cos θ＝πcos 2???

+ ???

＝－sin φ＝.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列21211

n n a a -+?

??

???

的前n 项和．

【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。 【解析】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)

2

n n na d -+. 由已知可得

解得a 1＝1，d ＝－1.

故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知

21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ??

=- ?(-)(-)--??

，

从而数列21211

n n a a -+?

??

???

的前n 项和为

111111121113

2321n n ??

-+-++

- ?---??

＝12n n

-.

18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1

2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。

【解析】(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得

x ＝

1

20

(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，

y ＝

1

20

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6.

由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有

710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710

的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．

19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.

(1)证明：AB ⊥A 1C ；

(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．

【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。

【解析】

(1)取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .

由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .

(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，

所以OC ＝OA 1

又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋2

1OA ，故OA 1⊥OC .

因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．

又△ABC 的面积S △ABC ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.

20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。

【解析】(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·

1

e

2

x

??

-

???

.

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，的椭圆(左顶点除外)，

其方程为

22

=1

43

x y

+(x≠－2)．

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝

若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则

1

||||QP R

QM r =，可求得

Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．

由l 与圆M

＝1，解得k

＝4

±

. 当k

＝4

时，将4y x =代入22=143

x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2

＝47-±， 所以|AB |

|x 2－x 1|＝18

7

.

当k

＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝18

7

.

综上，|AB |

＝|AB |＝18

7

.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .

(Ⅰ)证明：DB=DC;

(Ⅱ)设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。 【解析】 (1)连结DE ，交BC 于点G .

由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ， 故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，

所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .

(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线， 所以BG

设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，

故Rt△BCF 外接圆的半径等于

2

.

23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为

45cos ,

55sin x t y t

=+??

=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。

【解析】(1)将45cos ,55sin x t y t

=+??=+?消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2

＝25，

即C 1：x 2

＋y 2

－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ

=??

=?代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2

－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C 1的极坐标方程为

ρ2

－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2

＋y 2

－2y ＝0.

由2222

810160,20x y x y x y y ?+--+=?+-=? 解得1,1x y =??=?或0,2.

x y =??=?

所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4???，π2,2?? ???

. 24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.

(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ??

-

???

?时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。 【解析】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，

则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ?

-

?

--≤≤??

->???

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.

所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈1,22a ??

-

???

?时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.

所以x ≥a －2对x ∈1,22a ??

-????

都成立． 故2a -≥a －2，即a ≤43

.

从而a 的取值范围是41,3?

?- ??

?.