2006年清华大学数据结构本科考试例

2006年《数据结构》期终考试试卷（A）

班级学号姓名

一、简答题（每小题6分，共30分）

(1) 假设一个线性链表的类名为linkedList，链表结点的类名为ListNode，它包含两个数据成员data和link。data存储该结点的数据，link是链接指针。下面给定一段递归打印一个链表中所有结点中数据的算法：

void PrintList (ListNode *L) {

if ( L != NULL ) {

cout << L->data << endl;

PrintList ( L->link );

}

}

试问此程序在什么情况下不实用？给出具体修改后的可实用的程序？

(1) 此程序在内存容量不足时不适用。因为需要一个递归工作栈。当链表越长，递归工作栈的深度越深，需要的存储越多。可采用非递归算法节省存储。

void PrintList (ListNode *L) {

while ( L != NULL ) {

cout << L->data << endl;

L = L->link;

}

}

(2) 如果每个结点占用2个磁盘块因而需要2次磁盘访问才能实现读写，那么在一棵有n个关键码的2m阶B树中，每次搜索需要的最大磁盘访问次数是多少？

(2) 在2m阶B树中关键码个数n与B树高度h之间的关系为h≤log m ((n+1)/2)+1，那么每次搜索最大磁盘访问次数为2h max = 2log m ((n+1)/2)+2。

(3) 给定一棵保存有n 个关键码的m 阶B 树。从某一非叶结点中删除一个关键码需要的最大磁盘访问次数是多少？

(3) 在m 阶B 树中关键码个数n 与B 树最大高度h 的关系为h = log ?m/2?((n+1)/2)+1。若设寻找被删关键码所在非叶结点读盘次数为h ’，被删关键码是结点中的k i ，则从该结点的p i 出发沿最左链到叶结点的读盘次数为h -h ’。当把问题转化为删除叶结点的k 0时，可能会引起结点的调整或合并。极端情况是从叶结点到根结点的路径上所有结点都要调整，除根结点外每一层读入1个兄弟结点，写出2个结点，根结点写出1个结点，假设内存有足够空间，搜索时读入的盘块仍然保存在内存，则结点调整时共读写盘3(h -1)+1。总共的磁盘访问次数为

h ’+(h -h ’)+3(h -1)+1 = 4h -2 = 4(log ?m/2?((n+1)/2)+1)-2 = = 4log ?m/2?((n+1)/2)+2

(4) 给定一个有n 个数据元素的序列，各元素的值随机分布。若要将该序列的数据调整成为一个堆，那么需要执行的数据比较次数最多是多少？

(4) 设堆的高度为h = ?log 2(n+1)?，当每次调用siftDown 算法时都要从子树的根结点调整到叶结点，假设某子树的根在第i 层（1≤i ≤h -1），第h 层的叶结点不参加比较。从子树根结点到叶结点需要比较h -i 层，每层需要2次比较：横向在两个子女里选一个，再纵向做父子结点的比较。因此，在堆中总的比较次数为

)i h j ( 2j

2

2j 22

2j 2

2)i h (221

h 1

j j

1

-h 1

h 1

j j -1

h 1

h 1

j 1

-j -h 1h 1

i 1-i -=??=??=?=-∑

∑∑∑-=-=--=-=代换 因为 2h-1

≤n ≤2h

-1，且∑-=∞

→=1

h 1j j h 22j lim ，则n 42n 22

j 221

h 1j j 1

h =??≤??∑-=-

(5) 设有两个分别有n个数据元素的有序表，现要对它们进行两路归并，生成一个有2n个数据元素的有序表。试问最大数据比较次数是多少？最少数据比较次数是多少？

(5) 两个长度为n的有序表，当其中一个有序表的数据全部都小于另一个有序表的数据时，关键码的比较次数达到最小（= n）。而当两个有序表的数据

交错排列时，关键码的比较次数达到最大（= 2n-1）。

二、简作题（每小题5分，共15分）

针对如下的带权无向图

其中，每条边上所注的e i为该边的编号，冒号后面是该边所对应的权值。

(1) 使用Prim算法，从顶点A出发求出上图的最小生成树。要求给出生成树构造过程中依次选择出来的边的序列（用边的编号表示），权值相等时编号小的边优先。（不必画图）

(2) 使用Kruskal算法求出上图的最小生成树。要求给出生成树构造过程中依次选择出来的边的序列（用边的编号表示），权值相等时编号小的边优先。（不必画图）

(3) 上面求出的最小生成树是唯一的吗？试举理由说明。

(1)使用Prim算法

(2) 使用Kruskal 算法

(3) 这样选取的最小生成树是唯一的。因为在边上的权值相等时先选编号小的，限定了选择的机会。假如不限定在具有相等权值的边中的选择次序，结果可能就可能不唯一了。

三、简作题（共10分）

假设一个散列表中已装入100个表项并采用线性探查法解决冲突，要求搜索到表中已有表项时的平均搜索次数不超过4，插入表中没有的表项时找到插入位置的平均探查次数不超过50.5。请根据上述要求确定散列表的容量，并用除留余数法设计相应的散列函数。

()???

? ?

?-+≈??? ??-+≈

211

121

11121ααn n U S

三、简作题（共10分）

()5.5011121 ,4111212≤???

?

??-+≈≤??? ??-+≈ααn n U S 由前一式得到76≤

α，由后一式得到109

≤α，综合得7

6

≤α

因n = 100，有76100≤=αm ，67.1166

700

=≥m , 可取m = 117。用除留余数法设计散列函数：

Hash(key) = key % 113 (注：117不是质数，117 = 9 * 13)

四、算法设计题（每小题5分，共15分）

设中序线索化二叉树的类声明如下：

template

struct ThreadNode {//中序线索化二叉树的结点类int leftThread, rightThread; //线索标志

ThreadNode *leftChild, *rightChild; //线索或子女指针

Type data; //结点中所包含的数据};

template

class inOrderThreadTree {//中序线索化二叉树类

public:

ThreadNode * getRoot ( ) { return root; }

//其他公共成员函数

……

private:

ThreadNode *root; //树的根指针

};

试依据上述类声明，分别编写下面的函数。

(1) ThreadNode * getPreorderFirst (ThreadNode *p);

//寻找以p为根指针的中序线索化二叉树在前序下的第一个结点。

(2) ThreadNode * getPreorderNext (ThreadNode *p)

//寻找结点*p的在中序线索化二叉树中前序下的后继结点。

(3)void preorder (inOrderThreadTree& T);

//应用以上两个操作，在中序线索化二叉树上做前序遍历。

四、算法设计题（每小题5分，共15分）

(1) tamplate

ThreadNode * getPreorderFirst (ThreadNode *p) {

return p;

}

(2) template

ThreadNode * getPreorderNext (ThreadNode *p) { if ( p->leftThread == 0 ) return p->leftChild;

if (p->rightThread == 0 ) return p->rightChild;

while ( p->rightThread != 0 && p->rightChild != NULL )

p = p->rightChild;

return p->rightChild;

}

(3)template

void preorder ( inOrderThreadTree& T ) {

ThreadNode *p = getRoot();

p = getPreorderFirst ( p );

while ( p != NULL ) {

cout << p->data << endl;

p =getPreorderNext ( p );

}

}

五、算法分析题（每小题5分，共15分）

下面给出一个排序算法，其中n是数组A[ ]中元素总数。

template

void unknown (Type a[ ], int n) {

int d = 1, j;

while ( d < n /3 ) d = 3*d+1;

while ( d > 0 ) {

for ( int i = d; i < n; i++ ) {

Type temp = a[i];

j = i;

while ( j >= d && a[j-d] > temp ) { a[j] = a[j-d]; j -= d; }

a[j] = temp;

}

d /= 3;

}

}

(1) 阅读此算法，说明它的功能。

(2) 对于下面给出的整数数组，追踪第一趟while ( d > 0 ) 内的每次for循环结束时数组中数据的变化。（为清楚起见，本次循环未涉及的不移动的数据可以不写出，每行仅写出一个for循环的变化）

(3) 以上各次循环的数据移动次数分别是多少。

五、算法分析题（每小题5分，共15分）

(1) 希尔排序

(3) 各趟数据移动次数见表的最右一栏。

六、算法设计题（每小题5分，共15分）

下面是队列和栈的类声明：

template class queue {

public:

queue ( );//队列的构造函数

queue (const queue& qu);//队列的复制构造函数

queue& operator= (const queue& qu);//赋值操作

bool isEmpty ( );//判断队列空否，=1为空, =0不空

Type& getFront ( ); //返回队头元素的值

void push (const Type& item);//将新元素插入到队列的队尾

void pop ( );//从队列的队头删除元素

//……//其他成员函数

}

template class stack {

public:

stack ( );//栈的构造函数

bool isEmpty ( );//判断栈空否。=1栈空，=0不空

void push ( const stack& item );//将新元素进栈

void pop ( );//栈顶元素退栈

Type& getTop ( );//返回栈顶元素的值

}

试利用栈和队列的成员函数，编写以下针对队列的函数的实现代码（要求非递归实现）。

(1) “逆转”函数template void reverse (queue& Q);（5分）

(2) “判等”函数bool queue::operator== (const queue& Q);（5分）

(3) “清空”函数void queue::clear ( );（5分）

六、算法设计题（每小题5分，共15分）

(1)#include“stack”

template

void reverse (queue& Q) {//普通函数

stack S; Type tmp;

while ( !Q.isEmpty() )

{ tmp = Q.getFront(); Q.Pop(); S.Push (tmp); }

while ( !S.isEmpty() )

{ tmp = S.getTop(); S.Pop(); Q.EnQueue(); }

};

(2) bool queue::operator== (const queue& Q) {//成员函数

queue Q1, Q2; Type t1, t2; bool finished = true;

while ( !is.Empty() ) {

t1 = getFront();Pop(); Q1.Push(t1); //从左队列退出, 进临时队列

t2 = Q.getFront(); Q.Pop(); Q2.Push(t2); //从右队列退出, 进临时队列

if ( t1 != t2 ) { finished = false; break; }

}

while ( !Q1.isEmpty() ) { t1 = Q1.getFront();Q1.Pop();Push(t1); }

while ( !Q.isEmpty() ) { t2 = Q.getFront();Q.Pop();Q2.Push(t2); }

while ( !Q2.isEmpty() ) { t2 = Q2.getFront();Q2.Pop();Q.Push(t2); } }

(3) void queue::clear ( ) {//成员函数

while ( !isEmpty() ) Pop();

};