高考数学概率与统计

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第16讲概率与统计

概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：

类型一“非等可能”与“等可能”混同

例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．

错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为

P=1 11

剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36

种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5

36

．

类型二“互斥”与“对立”混同

例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）

A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对

错解A

剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对

立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．

事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．

类型三 “互斥”与“独立”混同

例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的

概率是多少?

错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中

两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223

30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰

好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指

两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个

事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关

系是根本不同．

解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独

立，

则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)=

类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同

例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，

求第二次才取到黄色球的概率．

错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”

为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293

=. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A

与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的

A 已经发生的条件下事件

B 发生的概率。

解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）=

46410915

?=. 备用

1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，

求

（I ） 恰有一名参赛学生是男生的概率；

（II ）至少有一名参赛学生是男生的概率；

（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。

解：基本事件的种数为26c =15种

（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有1313c c ?=9种 ∴所求事件概率P 1=15

9= （Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛

学生是男生和两名参赛学生都是男生,∴所求事件概率P 2=8.015

1215923==+c （Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没

有男生和恰有一名参赛学生是男生,∴所求事件概率P 3=8.015

1215923==+c 2. 已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标

7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）

甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次

的概率是多少？（结果保留两位有效数字）

解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=

乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=

(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是

(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是

作业

1. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的

概率

是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )

（A ）21p p （B ）)1()1(1221p p p p -+- （C ）211p p - （D ）)1)(1(121p p ---

2. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数m 、n 为点P （m ，n ）的坐标，那么点P 在圆

x 2+y 2＝17外部的概率应为（ ）

（A ）31 （B ）32 （C ）1811 （D ）18

13 3. 从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的

概率

相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。

4. 若在二项式（x +1）10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .

（结果用分数表示）

5. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概

率.

（Ⅰ）摸出2个或3个白球 ; （Ⅱ）至少摸出一个黑球.

6. 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为和．现让每人各投两次，试分别求下列事件的

概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.

作业答案

1. B

2. D

3.

4. 11

4 5.（Ⅰ）P （A+B ）= P （A ）+P （B ）＝481325482325C C C C C C ?+?=76; （Ⅱ） P=1-48

45C C =14131411=- 6.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝0222)6.0()4.0(C 2022)6.0()4.0(C

=.0576.036.016.0=? （Ⅱ）P （两人至少投进三个球）＝3072.01728.00768.00576.0=++

第二课时

例题

例1 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断

题4个，甲、乙二人依次各抽一题.

（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷)

例2 如图,用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系

统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作.

已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为,,.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.

(2001年新课程卷)

例3 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是（相互独立）.

（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；

（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于？(2002年新课程卷)

例4 有三种产品，合格率分别是，和，各抽取一件进行检验.

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到） (2003年新课程卷)

备用 从分别写有0，1，2，3，4，5，6的七张卡片中，任取4张，组成没有重复数字

的四位数，计算：

(1)这个四位数是偶数的概率；

(2)这个四位数能被9整除的概率；

(3)这个四位数比4510大的概率。

解： （1）组成的所有四位数共有7203616

=?A C 个。四位偶数有：个位是0时有12036=A ,个位不是0时有300251513=??C C C ,共有120+300=420个.

∴ 组成的四位数为偶数的概率为12

7720420= (2)能被9整除的数，应该各位上的数字和能被9整除.数字组合为：1，2，6，

0 1，3，5，0 2，4，5，0 3，4，5，6 2，3，4，0 此时共有

9624724443313=+=+??A A C .

∴ 能被9整除的四位数的概率为15

272096= (3)比4510大的数分别有：千位是4，百位是5时，有15525=-A ;千位是4，

百位是6时，有2025=A ;千位大于4时，有2403612

=?A C ;故共有240+20+18=278. ∴四位数且比4510大的概率为360

139720278= 作业

1. 一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为,有四台这中型号的自 动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( )

（A ） （B ） （C ） （D ） 2. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为 ( )

(A) p+q －2p q (B) p+q －pq (C) p+q (D) pq

3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2

和

3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 .

4. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名

女

生当选的概率是 (用分数作答)

5. 某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为，将次口错误地鉴定为正品的概率为，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.

6. 如图，用D C B A ,,,表示四类不同的元件连接成系统M .当元件B A ,至少有一个正常工作且元件D C ,

正常工作.已知元件D C B A ,,,依次为，，，，求元件连接成的系

统M 正常工作的概率)(M P .

例题答案

1. (Ⅰ) 154; (Ⅱ)1513.

2. ; .

3. (Ⅰ) 32

21; (Ⅱ) 5人. 4. (Ⅰ) ; (Ⅱ) . 作业答案

1. D

2. A

3.141

4. 7

5 5．解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;

将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品. 概率为

P ＝9.01.02.09.01.08.0223213???+???C C ＝

6．解： =)(M P )](1[B A P ?-)](1[D C P ?-=

第三课时

例题

例1 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为5

3.试求： （Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；

（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

(2004年全国卷Ⅰ)

例2 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求：

（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. (2004年全国卷Ⅱ)

例3 某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问

题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、

三个问题的概率分别为、、，且各题答对与否相互之间没有影响.

（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；

（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. (2004年全国卷Ⅲ)

例4 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.

（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；

（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；

（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)

备用 A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：

(1)A 不分甲书，B 不分乙书的概率；

(2)甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率。

解： （1）分别记“分不到书的是A ，B 不分乙书”，“分不到书的是B ，A 不分甲书”，

“分不到书的是除A,B 以外的其余的三人中的一人，同时A 不分甲书，B 不分乙

书”为事件A 1,B 1,C 1，它们的概率是

20

7)(3)(,2033)(,2073)(45121212123314533145331=???+=====A A A A A A C P A A B P A A A P . 因为事件A 1,B 1,C 1彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，A 不分甲书，B 不分乙书的概率是：20

132********)()()()(111111=++=++=++C P B P A P C B A P (2) 在乙书不分给C 的情况下，分别记“甲书分给C ”，“甲书分给D ”，“甲书分给

E ”为事件A 2,B 2,C 2彼此互斥，有互斥事件的概率加法公式，甲书不分给A,B ，乙

书不分给C 的概率为：2

120320351)()()()(222222=++=++=++C P B P A P C B A P 作业

1. 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方

体玩

具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )

（A ）5216 （B ）25216 （C ）31216 （D ）91216

2. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成

一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )

(A) (B) (C) (D)

3. 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名

增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受

贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表

示）

4. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随

机

选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为

（结果用分数表示）

5. 已知10件产品中有3件是次品.

（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率； （II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取几件产品作检

验？

6. 冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，

取用甲种或乙种饮料的概率相等.

（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；

（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.

例题答案

1（Ⅰ）65;（Ⅱ）1254 2（Ⅰ）76;（Ⅱ）21. 3（Ⅰ）;（Ⅱ）. 4（Ⅰ）51;（Ⅱ）53;（Ⅲ）5

4. 作业答案

1. D

2. B

3. 133

4. 190119

5. 解：（Ⅰ）24171310

37=-C C （Ⅱ）最少应抽取9件产品作检验. 6. 解：（I ）12821)1()5(25577=-=P P C P . （II ）P 6(5)+P 5(5)+P 4(4) =C 65P 5(1－P)+C 55P 5+C 44P 4=16

3

第四课时

例题

例1 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电

（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.

（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；

（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)

例2 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中

的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测

试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)

例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为

41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为

12

1,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

(2004年湖南卷)

例4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，

单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需

费用如下:

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过

120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)

备用 一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：

(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；

(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。

解： 记一个病人服用该药痊愈为事件 A ，且其概率为P ，那么10个病人服用该药相

当于10次重复试验.

(1)因新药有效且P=，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式

知，试验被否定（即新药无效）的概率为

(2)因新药无效，故P=，试验被认为有效的概率为

答： 新药有效，但通过试验被否定的概率为；而新药无效，但通过试验被认为有效

的概率为

作业

1. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率

是

（A ）9

5 （B ）94 （C ）2111 （D ）21

10 ( )

2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的

概率是，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )

(A) (B) (C) (D)

3. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是

黑球，

后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为________．

4. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中

摸出

5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作

答）

5. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是5

1 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）. （Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.

（Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设

6. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是

43，甲、丙两人都做错的概率是121，乙、丙两人都做对的概率是4

1. （Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.

例题答案

1．（Ⅰ）168071715=； （Ⅱ）2401204171557=-A . 2．（Ⅰ）1514;（Ⅱ）45

44. 3．（Ⅰ）

324131，，；（Ⅱ）65 4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施

作业答案

1. C

2. D

3. 307

4. 6313

5. （Ⅰ）62516（Ⅱ）125

16 6. （Ⅰ）83,32（Ⅱ）3221 第五课时

例题

例1 某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出

厂．质检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超

过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产

品中有2件次品．

（Ⅰ）求该盒产品被检验合格的概率；

（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

(2004年南京市一模)

例2 一个通信小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通信.每

套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.

如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内

（Ⅰ）恰有一套设备能正常工作的概率；

（Ⅱ）能进行通信的概率. (2004年南京市二模)

例3 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人

100m 跑(互不影响)的成绩在13s 内(称为合格)的概率分别是

52，43，3

1.如果对这3名短跑运动员的100m 跑的成绩进行一次检测. 问

（Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？

（Ⅱ）出现几人合格的概率最大？ (2004年南京市三模)

例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、和.

（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷)

备用 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，比

赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较

大.

解： 三局两胜制的甲胜概率：

甲胜两场：4.0)6.0(223??C ,甲胜三场：333

)6.0(?C , ∴甲胜概率为4.0)6.0(223??C +333

)6.0(?C = 五局三胜制：

甲胜三场：2335

)4.0()6.0(??C ,甲胜四场：4.0)6.0(445??C ,甲胜五场：555)6.0(?C , ∴甲胜概率为2335

)4.0()6.0(??C +4.0)6.0(445??C +555)6.0(?C = 由<，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.

作业

1. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下

放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直

到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( )

（A ）

2140 （B ）1740 （C ）310 （D ）7120

2. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ） (A) 203 (B) 103 (C) 201 (D) 101

3. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每

班都分到优秀生的概率是 ．

4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是， 且是相互独立的，则灯亮的概率为

5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录

用的概率依次为、、. 求:

(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.

6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取

一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A ：甲正好取得两只配对手套； ②B ：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A 与B 是否独立？并证明你的结论．

例题答案

1. (Ⅰ) 431882410

C C C C +1315=; (Ⅱ)121313C (1)1515??-52225= 2. (Ⅰ)6322p p -(Ⅱ)632p p - 3.（Ⅰ）101，10

1；（Ⅱ）1人 . 4. （Ⅰ）, ; （Ⅱ）

作业答案

1. D

2. A

3. 510

5154841233C C C C A 4. 5. (Ⅰ) 38.0; (Ⅱ)+=. 6.(Ⅰ)①()91=A P ,②()91=B P ; (Ⅱ)()63=AB P ,()()()AB P B P A P ≠,故A 与B 是不独立的．

备用课时一 随机事件的概率

例题

例1 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：

(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？

(2)三次内打开的概率是多少？

(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

解 5把钥匙，逐把试开有55A 种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些

结果是等可能的。

(1)第三次打开房门的结果有44

A 种，故第三次打开房门锁的概率P(A)=5544A A =51 (2)三次内打开房门的结果有4

4

3A 种，因此所求概率P(A)= 55443A A =53

(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有2233A A ?种，从而

三次内打开的结果有223355

A A A -种，从而三次内打开的结果有223355A A A -种，所求概率P(A)= 55

223355A A A A -=109. 方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果33121312A A A C ???种；三

次内恰有两次打开的结果3323A A 种.因此，三次内打开的结果有

（33

233312131

2A A A A A C +）种，所求概率P(A)= 10955332333121312=+A A A A A A C 例2 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.

(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？

(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？

解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，

2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为610

1，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6

101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为10

1. 例3 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1

黑的概率是多少？（用组合数表示）

解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从

m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n

m n m C C A Card C ?=+，于是P(A)=3121)()(n m n m C C C I Card A Card +?=. 例4 将一枚骰子先后抛掷2次，计算:

(1)一共有多少种不同的结果.

(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？

(3)向上数之积是12的概率是多少？

解 （1）将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.

(2)向上的数之积是12，记（I,j ）为“第一次掷出结果为I ，第二次掷出结果为j ”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.

(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为(A)=4.所以所求概率P(A)=

364=9

1. 作业

1． 袋中有a 只黑球b 只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地

一只一只摸出来，求第k 次摸出的球是黑球的概率.

解法一：把a 只黑球和b 只白球都看作是不同的，将所有的球都一一摸出来放在一直

线上的a+b 个位置上，把所有的不同的排法作为基本事件的全体，则全体基本事件的总数为（a+b ）！，而有利事件数为a(a+b-1)!故所求概率为P=b a a b a b a a +=+-+)!()!1(。 解法二：把a 只黑球和b 只白球看作是不同的，将前k 次摸球的所有不同可能作为基

本事件全体，总数为k

b a A +，有利事件为1

1--+k b a aA ，故所求概率为P=b

a a A aA k

b a k b a +=+--+11