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高考试题数学文科-(全国卷)

高考试题数学文科-(全国卷)
高考试题数学文科-(全国卷)

普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学(文史类)

一.选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选

项中, 只有一项是符合要求的

1.直线2y x x =关于对称的直线方程为 ( ) A .12

y x =-

B .12

y x =

C .2y x =-

D .2y x =

2.已知,02x π??∈-

???

, 54cos =x , 则2tg x = ( ) A .24

7

B .247-

C .7

24

D .7

24-

3.抛物线2

y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 ( )

A .

1

8

B .1

8

-

C .8

D .8- 4.等差数列{}n a 中, 已知1251

,4,33,3

n a a a a n =+==则为( )

A .48

B .49

C .50

D .51

5.双曲线虚轴的一个端点为M , 两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=?, 则双曲线的离心率为( )

A

B C D 6.设函数?????-=-2112)(x

x f x 00>≤x x , 若1)(0>x f , 则0x 的取值范围是 ( ) A .(1-, 1) B .(1-, ∞+) C .(∞-, 2-)?(0, ∞+)

D .(∞-, 1-)

?(1, ∞+)

7.已知5

()lg ,(2)f x x f ==则( ) A .lg 2

B .lg32

C .1

lg

32

D .1lg 25

8.函数sin()(0)y x R ??π?=+≤≤=是上的偶函数,则( ) A .0

B .

4

π

C .

2

π

D .π

9.已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1,则( )

A

B .2

C 1

D 1

10.已知圆锥的底面半径为R , 高为3R , 它的内接圆柱的底面半径为3

4

R , 该圆柱的全面积为( )

A .2

2R π

B .24

9R π C .238

R π D .252R π

11.已知长方形的四个顶点A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1)和D (0, 1),

一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后, 依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角)若40P P 与重合, 则tg θ= ( )

A .3

1

B .

5

2

C .

2

1

D .1

12.一个四面体的所有棱长都为2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( ) A .π3

B .π4

C .π33

D .π6

普通高等学校招生全国统一考试

数 学(文史类)

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二.填空题:本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在题中横线上

13x <的解集是____________________.

14.92)21(x

x -的展开式中9

x 系数是 ________ .

15.在平面几何里, 有勾股定理:“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=V 的两边互相垂直则”

拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直, 则______________________________________________.” 16.如图, 一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,

现有4种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 种_______________________数字作答)

三、解答题:本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明, 证明过程或或演算步骤 17.(本小题满分12分)

已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==,,,点为中点,点为点中点

(Ⅰ)证明11EF BD CC 为与的公垂线 (Ⅱ)求点1D BDE 到面的距离

18.(本小题满分12分)

已知复数z 的辐角为?60, 且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项, 求||z .

E

D

B

A

C

B

D C

A

F

M

19.(本小题满分12分)

已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥ (Ⅰ)求23,a a ;

(Ⅱ)证明2

n n a =

20.(本小题满分12分)

已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和最大值;

(Ⅱ)在给出的直角坐标系中, 画出函数()y f x =在区间,22ππ??-????

上的图象 21.(本小题满分12分)

在某海滨城市附近海面有一台风, 据监测,

当前台风中心位于城市O (如图)的

东偏南(cos θθ=方向300km 的海面P

处, 并以20km/h 的速度向西偏北?45方向移动, 台风侵袭的范围为圆形区域,

当前半径为60km , 并以10km/h 的速度不断增大, 问几小时后该城市开始受到

台风的侵袭?

22.(本小题满分14分) 已知常数0>a , 在矩形ABCD 中, 4=AB , a BC 4=, O 为AB 的中点,

O

点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动, 且DA DC CD CF BC BE ==, P 为GE 与OF 的交

点(如图), 问是否存在两个定点, 使P 到这两点的距离的和为定值?若存在, 求出这两点的坐标及此定值;若不存在, 请说明理由

普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文)参考解答及评分标准

说明:

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生物解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定部分的给分, 但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.

三. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分, 满分60分.

1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13.]4,2( 14.2

21-

15.2

222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++ 16.72 三、解答题:本大题共6小题, 共74分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(I )证明:取BD 中点M , 连结MC , FM ,

∵F 为BD 1中点, ∴FM ∥D 1D 且FM=2

1

D 1D 又EC=

2

1

CC 1, 且EC ⊥MC , ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1?面DBD 1,

∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线 (II )解:连结ED 1, 有V

由(I )知EF ⊥面DBD 1, 设点D 1到面BDE 的距离为d ,

则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF . ∵AA 1=2·AB=1.

2

2

,2=

===∴EF ED BE BD 2

3

)2(2321,2222121=

??==??=

∴??DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为

3

3

2. 18.解:设z=2

),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数ο

ο

+ 2,r z z r z z ==+∴

由题设|2||||1|2-?=-z z z

即||)1)(1(=--z z z 4212

2+-=+-r r r r r

12120

122

--=-==-+r r r r 解得(舍去) 即|z|=12-

19.(I )解∵1343,413,12

321=+==+=∴=a a a

(II )证明:由已知故,31

1--=-n n n a a

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ =.2

1

3133

32

1

-=++++--n n n Λ

所以2

1

3-=n n a

20.解(I )x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2

+-=+= )4

2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π

ππ

-+=-?+=x x x

所以函数)(x f 的最小正周期为π, 最大值为21+.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

x

8

-

8π-

8

π 83π 8

5π y

1

21-

1

21+

1

故函数)(x f y =在区 间]2

,2[π

π-上的图象是

22.解:根据题设条件, 首先求出点P 坐标满足的方程, 据此再判断是否存在两定点, 使得点P 到定点距离的和为定值.

按题意有A (-2, 0), B (2, 0), C (2, 4a ), D (-2, 4a )

)10(≤≤===k k DA

DC

CD CF BC BE , 由此有E (2, 4ak ), F (2-4k , 4a ), G (-2, 4a -4ak ). 直线OF 的方程为:0)12(2=-+y k ax , ① 直线GE 的方程为:02)12(=-+--a y x k a . ②

从①, ②消去参数k , 得点P (x , y )坐标满足方程0222

22=-+ay y x a ,

整理得1)(2

1222=-+a a y x . 当21

2

=

a 时, 点P 的轨迹为圆弧, 所以不存在符合题意的两点. 当2

12

≠a 时, 点P 轨迹为椭圆的一部分, 点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.

当2

12<

a 时, 点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值

2.

当2

1

2>

a 时, 点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ,),(的距离之

和为定值a 2.

21.解:如图建立坐标系:以O 为原点, 正东方向为x 轴正向. 在时刻:t (h )台风中心),(y x P 的坐标为

???

???

??+?-=?-?=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是2

22)]([)()(t r y y x x ≤-+-, 其中10)(=t r t+60,

若在t 时, 该城市O 受到台风的侵袭, 则有

,)6010()0()0(222+≤-+-t y x

即,)6010()2

2201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?

t t t

即0288362

≤+-t t , 解得2412≤≤t . 答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭

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