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2018高考理科数学全国2卷_含答案解析

2018高考理科数学全国2卷_含答案解析
2018高考理科数学全国2卷_含答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国2卷)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.

31i

i

+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -

2.设集合{}1,2,4A =,{}

2

40x x x m B =-+=.若{}1A

B =,则B =()

A .{}1,3-

B .{}1,0

C .{}1,3

D .{}1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()

A .1盏

B .3盏

C .5盏

D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π

5.设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

,则2z x y =+的最小值是()

A .15-

B .9-

C .1

D .9 6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()

A .12种

B .18种

C .24种

D .36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A .乙可以知道四人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩 C .乙、丁可以知道对方的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =() A .2 B .3 C .4 D .5

9.若双曲线C:22221x y a b

-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2

224x y -+=所

截得的弦长为2,则C 的离心率为()

A

.2 B

D .

3

10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1

AB 与1C B 所成角的余弦值为()

A

C

11.若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1 12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值是() A.2- B.32-

C. 4

3

- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X =.

14.函数(

)23sin 4f x x x =+-

(0,2x π??

∈????

)的最大值是. 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则

11

n

k k

S ==∑. 16.已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点,M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N .若M 为F N 的中点,则F N =.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。

17.(12分)ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=. (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )其频率分布直方图如下:

旧养殖法

/kg

O

/kg

新养殖法

O

(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法

的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率;

(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

(3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

19.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠=E 是PD 的中点. (1)证明:直线//CE 平面PAB

(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,求

二面角M -AB -D 的余弦值

20.(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2

212

x y +=上,

过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =

.

(1) 求点P 的轨迹方程;

(2) 设点Q 在直线x =-3上,且1OP PQ ?=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .

21.(12分)已知函数2

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;

(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2

20()2e

f x --<<.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为

cos 4ρθ=.

(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;

(2)设点A 的极坐标为(2,

)3

π

,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知3

3

0,0,2a b a b >>+=,证明: (1)5

5()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 2n

1

n + 16. 6 三、解答题 17.解:

(1)由题设及2

sin 8sin 2

A B C B π

π++==得,故

sin 4-cosB B =(1)

上式两边平方,整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17

1(舍去),= (2)由158cosB sin B 1717==

得,故14

a sin 217

ABC S c B ac ?== 又17

=22

ABC S ac ?=,则

由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

4

a c ac B

ac =+-=-+=-??+=(+c )

所以b=2 18.解:

(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”,C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为

0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++?()

故()P B 的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为

0.0680.0460.0100.0085=0.66+++?()

故()P C 的估计值为0.66

因此,事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?= (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

()2

2

2006266343815.705

10010096104

K ??-?=

≈???

由于15.705 6.635>

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg 的直方图面积为

()0.0040.0200.04450.340.5++?=<,

箱产量低于55kg 的直方图面积为

()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++?=>

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+

2.35kg 0.068

()

≈5. 19.解:

(1)取PA 中点F ,连结EF ,BF .

因为E 为PD 的中点,所以EF AD ,12EF AD =

,由90BAD ABC ∠=∠=?得BC AD ∥,又1

2

B C A D

=

所以EF BC ∥.四边形BCEF 为平行四边形,CE BF ∥. 又BF PAB ?平面,CE PAB ?平面,故CE PAB ∥平面

(2)

由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点,AB 的方向为x 轴正方向,AB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则(000)A ,,,(100)B ,,,(110)C ,,,(01P ,,

(10PC =,,,(100)AB =,,则

(x 1),(x 1BM y z PM y z =-=-,,,,

因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°,而(00)=n ,,1是底面ABCD 的法向量,所以

0cos ,sin 45BM =n

=

即(x-1)2+y 2-z 2=0

又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则

x ,1,y z λ===

由①,②得x x y y ????????????

??=-=????

=1+=1-22=1(舍去),=1

z z 22

所以

M 1-,1? ??

,从而1-,1?= ??

AM

设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量,则

(

000020

0即00

??++

==???

?=??=??x y AM AB x m m

所以可取m =(0,

2).于是cos 10=

=m n

m,n m n

因此二面角M-AB-D

20.解

(1)设P (x,y ),M (x 0,y 0),设N (x 0,0), ()()00,,0,=-=NP x x y NM y

由2=

NP NM

得00=,=

x x y y 因为M (x 0,y 0)在C 上,所以22

122

+=x y

因此点P 的轨迹方程为222+=x y

(2)由题意知F (-1,0).设Q (-3,t ),P(m,n),则

()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn , ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n

由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ,又由(1)知22+=2m n ,故 3+3m-tn=0

所以0=OQ PF ,即⊥OQ PF 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解:

(1)()f x 的定义域为()0,

+∞ 设()g x =ax -a -lnx ,则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1

1=0,0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x

若a =1,则()1

1-

g 'x =x

.当0<x <1时,()()<0,g'x g x 单调递减;当x >1时,()g'x >0,()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点,故()()1=0≥g x g 综上,a=1

(2)由(1)知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1

22ln ,则'()2h x x x h x x

=--=-

当10,2x ??∈ ??

?

时,()'<0h x ;当1,+2

x ??∈∞ ???

时,()'>0h x ,所以()h x 在10,2?? ??

?

单调递减,在1,+2

??∞ ???

单调递增

又()

()21>0,<0,102h e h h -??= ???

,所以()h x 在10,2?

? ??

?有唯一零点x 0,在1,+2

??

∞????

有唯一零点1,且当

()00,x x ∈时,()>0h x ;当()0,1x x ∈时,()<0h x ,当()1,+x ∈∞时,()>0h x .

因为()()'f x h x =,所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'<

4

f x 因为x=x 0是f(x)在(0,1)的最大值点,由()()

110,1,'0e f e --∈≠得

()()

120>f x f e e --=

所以()2-20<<2e f x - 22.解:

(1)设P 的极坐标为()(),>0ρθ

ρ,M 的极坐标为()()1

1

,>0ρθρ,由题设知

cos 14

=,=

ρρθ

OP OM = 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()

cos =4>0ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为

()()2

2240x y x -+=≠

(2)设点B 的极坐标为()(),>0B B

ρα

ρ,由题设知

cos =2,=4B ραOA ,于是△OAB 面积

1

=

sin 2

4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρ

πααπα∠??

=-

?

????=--

???≤+

当=-12

π

α时,S 取得最大值

所以△OAB 面积的最大值为 23.解: (1)

()()

(

)

()

(

)

5

56556

2

33

3344

2

2

2

244

++=+++=+-++=+-≥a b a

b a ab a b b a b

a b ab a b ab a b

(2)因为

()()()()

()3

3223

2

3

3323+3+3+2+

+24

4

a +=+++=+≤=+

b a a b ab b ab a b a b a b a b

所以()3

+8≤a b ,因此a+b≤ .

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