2019年高考理科数学分类汇编：数列(解析版)

题08 数列

1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-

B ．

310n a n =-

C ．2

28n S n n =-

D ．2

122

n S n n =

- 【答案】A

【解析】由题知，415

144302

45d S a a a d ?

=+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2

4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．

2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8

C ．4

D ．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142

111

15

34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2

a q =??=?，2

314a a q ∴==，故选C ．

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.

3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2

+b ，n *∈N ，则

A ． 当101

,102

b a =

> B ． 当101

,104

b a =

> C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->

【答案】A

【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *

=∈N .

故B 项不正确. 故本题正确答案为A.

【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.

4．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

1461

3

a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】

121

3

【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =

=，所以32511

(),33

q q =又0q ≠， 所以3,q =所以

55

151

(13)

(1)12131133

a q S q --===

--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．

5．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10

5

S S =___________. 【答案】4

【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,

因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，

所以

105S S =1111109

1010024542552

a d a a a d ?+

==?+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．

6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=?3，S 5=?10，则a 5=__________，S n

的最小值为__________． 【答案】 0，10-.

【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,

5320a a d =+=,

由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查.

7．【2019年高考江苏卷】已知数列*

{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，

则8S 的值是_____. 【答案】16

【解析】由题意可得：()()()25811191470

98

9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=?

??=+=??

， 解得：152

a d =-??

=?，则8187

840282162S a d ?=+=-+?=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组. 8．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，

1434n n n b b a +-=-.

（I ）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （II ）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（I ）见解析；（2）1122n n a n =

+-，11

22

n n

b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111

()2

n n n n a b a b +++=

+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为

1

2

的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，11

2

n n n a b -+=

，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222

n n n n n n a a b a b n =

++-=+-，

111[()()]222

n n n n n n b a b a b n =+--=-+．

9．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1

12m i i i a a a <

，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p

（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1

个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.

由p

p q r r n a a a -≤<.

因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,

,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，

所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·

（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.

先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m ?1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m ?1之后. 设121,,

,,21m p p p a a a m --是数列

{}

n a 的长度为m 末项为2m ?1的递增子列，则

121,,

,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.

再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.

假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .

因为2k 排在2k ?1之前（k =1，2，…，m ?1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m ?2，2m ?1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --???

???=<个

.

与已知矛盾.

最后证明：2m 排在2m ?3之后（m ≥2为整数）.

假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m ?3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾.

综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m ?3，2m ，2m ?1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m ?3，2m ，2m ?1，…符合条件.

所以1,1,n n n a n n +?=?-?

为奇数，

为偶数.

【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

10．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知

1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,

k k n k

k c n c b n +=?<<=?=?其中*

k ∈N ． （i ）求数列(

){}

221n n a c -的通项公式； （ii ）求

()2*

1

n

i i

i a c n =∈∑N ．

【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32n

n b =?（Ⅱ）（i ）()

221941n n n a c -=?-（ii ）

()()2*

21

1*

1

272

5212

n

n n i i i a c n n n --=∈=?+?--∈∑N N

【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2

662,

6124,

q d q d =+??

=+?解得3,2,

d q =??=?故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?． 所以，{}n a 的通项公式为{}31,

n n a n b =+的通项公式为32n n b =?．

（Ⅱ）（i ）()()()()

22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-． 所以，数列(){}

221n n a c -的通项公式为(

)

221941n n n a c -=?-． （ii ）

()()22221

1

1

1

211n n n

i

i

n

i i

i

i

i

i

i i i i a c a a c a a c

====??=+-=+??-∑∑∑∑

()

()

12212439412n n

n n

i i =??- ?=?+?+?- ???

∑

(

)(

)21

1

41432

52

914

n n n n ---=?+?+?

--

()211*

2725212

n n n n --=?+?--∈N ．

【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．

11．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.

（1）已知等比数列{a n }()n *

∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；

（2）已知数列{b n }()n *

∈N 满足:11

1221,

n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *

∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟

成立，求m 的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()

*

n ∈N ；②5.

【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.

由245321440a a a a a a =??-+=?，得244112111440

a q a q a q a q a ?=?-+=?，解得112a q =??=?．

因此数列{}n a 为“M—数列”.

（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得2122

11b =-，则22b =. 由1122

n n n S b b +=-，得112()

n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，

整理得112n n n b b b +-+=．

所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (

)*

n ∈N .

②由①知，b k =k ，*k ∈N .

因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1

k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .

当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有

ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-． 设f （x ）=

ln (1)x x x >，则2

1ln ()x

f 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：

x (1,e)

e (e ，+∞) ()

f 'x

+

0 –

f （x ）

极大值

因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3

f k f ==．

取q =

k =1，2，3，4，5时，

ln ln k

q k

…，即k k q ≤， 经检验知1

k q k -≤也成立．

因此所求m 的最大值不小于5．

若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15

≤216，

所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．

【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．

12．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．

（I ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （II ）记,,2n

n n

a c n

b *=

∈N 证明：12+2,.n c c c n n *++<∈N

【答案】（I ）()21n a n =-，()1n b n n =+；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得

11124,333a d a d a d +=+=+，

解得10,2a d ==．

从而*

22,n a n n =-∈N ．

所以2*

n S n n n =-∈N ，，

由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得

()

()()2

12n n n n n n S b S b S b +++=++．

解得()2

121n n n n b S S S d

++=

-． 所以2*

,n b n n n =+∈N ．

（II

）*n c n =

==∈N ． 我们用数学归纳法证明．

（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；

（ii ）假设()

*n k k =∈N 时不等式成立，即122k c c c k +++<．

那么，当1n k =+时，

1211

22(1)(2)1

k k k c c c c k k k k k +++++<<+++222(1)211k k k k k k k

<=+=+++．

即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii ），不等式122n c c c n ++

+<对任意*n ∈N 成立．

【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

13．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程

224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于

A ．66

B ．132

C ．-66

D ．- 32

【答案】D

【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，

所以3924a a +=-，

又396242a a a +=-=，所以612a =-，

6

1111111211()13222

a a a S ??+=

==-，故选D.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.

14．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在 上的函数 满足：当 时，

；当 时， .记函数 的极大值点从小到大依次记为 并记相应的极大值为 则 的值为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】由题意当 时，22

()2(1)1f x x x x =-=--+ 极大值点为1，极大值为1，

当 时，()()32f x f x =-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，

故 . ,故 ，

设S= ， 3S= ，

两式相减得-2S=1+2( )-

∴S= ， 故选：A.

【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定 及 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.

15．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列 中， ，且

11

2(2)n n n n n

a a n a a --+=

+≥-，则数列 前2019项和为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】：∵

（ ），

∴()2

2

112n n n n a a a a n ----=﹣， 整理得： ，

∴ ，又 ， ∴ ，

可得：

．

则数列

前2019项和为：

． 故选：B ．

【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．

16．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是

按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,

36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙

衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为 A ．20% 369

B ．80% 369

C ．40% 360

D ．60% 365

【答案】A

【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,

由题意得23

(1)80

(1)(1)16480164b a b a b a b m ?-=?-+-=??++=?

,

解得125b =,20%a =,369m =． 故选A ．

【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．

17．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，

，且2123n n n a S S ++=-+，记22122log log n n n b a a -=+，则数列()

{}

21n

n b -?的前10项和为______．

【答案】200

【解析】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+， ∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，

∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112

n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，

（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=， ∵312a a =，

∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，

∴12222n n

n a -=?=，1121122n n n a ---=?=，

∴22122log log 121n n n b a a n n n -=+=-+=-， 则数列()()

()22

1211n

n

n b n -?-=-，则

()

{}

21n

n b -?的前10项和为

()()

(

)

22222231751917S =-+-+

+-

()2412202836=?++++

200=.

故答案为200.

【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.

18．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列{}n a 中，

1111

,,(*)2019(1)

n n a a a n N n n +=

=+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1

【解析】因为11

,()(1)

n n a a n n n *+=+

∈+N

所以1111

(1)1

n n a a n n n n +-=

=-++，

211

1,2a a -=-

3211

,23

a a -=-

...,

2019201811

20182019

a a -=

-, 各式相加，可得

201911

12019a a -=-

， 201911

120192019

a -=-，

所以，20191a =，故答案为1.

【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解. 19．【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列，且245a a a =，427a =，则{}n a 的通项公式

为_______．

【答案】13-=n n a ，n *∈N .

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为245a a a =，427a =，

所以223542427a a a a q q q =

===，解得3q =，所以41327127

a a q ===， 因此，13-=n n a ，n *∈N . 故答案为13-=n n a ，n *∈N .

【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等

比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=． （I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b +的前n 项和．

【答案】（I ）21,3n

n n a n b =+=；（II ）(

)331(2)2

n n n -++.

【解析】（I ）由11a b =，42a b =，

则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，

设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.

设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.

所以3n

n b =；

（II ）(21)3n n n a b n +=++， 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b ++

+++++

2

(3521)(333)n

n =+++++++

+(321)3(13)

213

n n n ++-=+

-3(31)(2)2n n n -=++. 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n 项和公式即可，属于常考题型. 21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9

a 成等比数列．

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{

}2

n n

a a 的前n 项和n T ． 【答案】（I ）n a n =；（II ）222

n n n

T +=-

. 【解析】（I ）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，3a ，9a 成等比数列，

所以2319a a a =，即2

111(2)(8)a a a +=+，解得11a =.

所以1(1)n a a n d n =+-=.

（II ）123

11111232222n

n T n ????????

=?+?+?++? ? ? ? ?????????

，

2

3

1

1111112(1)22222n

n n T n n +????

????

=?+?++-?+? ? ? ? ?

????

????

，

两式相减得1

2

3

1

111111222222n

n n T n +??????????=+++

+-? ? ? ? ? ???????????

，

所以1

1

1

111112*********

n n n n n n T n +++??- ?

??

??=

-?=-

- ?

??

-. 所以222n n

n

T +=-

.

【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．

22．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31

a -是241,a a -的等比中项. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()1

1

n n n b n a a *+=

∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【答案】（I ）21n a n =+.（II ）8.

【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==Q ，即2d =，

3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+， 31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，

()()232411a a a ∴-=-?，即()()()2

111+3=16a a a ++，解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.

（II ）由（I ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +??

=

==- ?++++??

. 1212

n n T b b b ∴=++???+=

1111

1135572123n n ??-+-+???+- ?++??

()

1112323323n

n n ??=-= ?

++??， 由

()1

3237

n n <+，得9n <.

∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.

【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.

23．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足：

1n a ≠，()11

2n n

a n a *+=-∈N ，

数列}{n b 中，1

1

n n b a =

-，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （I ）求证：数列}{n b 是等差数列；

（II ）若n S 是数列}{n b 的前n 项和，求数列1n S ??

????

的前n 项和n T . 【答案】（I ）见解析；（II ）

21

n

n +. 【解析】（I ）

111

111

1111

21n n n n n n

b b a a a a ++-=

-

=-

-----1111

n n n a a a =-=--， ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列；

（II ）由题意可得2

214b b b =，即()()2

11113b b b +=+，所以11b =，所以1n b =，

∴(1)

2n n n S +=，∴12112(1)1n S n n n n ??==- ?++??， 11111212231n T n n ??=?-+-+?+- ?+??122111n

n n ?

?=?-=

?++?

?

. 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n 项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.