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2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版
2021-2022年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理 新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十)理

新人教A 版

一、选择题

1.空间中四点可确定的平面有( ) A .1个 B .3个

C .4个

D .1个或4个或无数个

答案 D

解析 当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面. 2.一个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图,如图所示,则这个几何体的体积为( )

A .8

B .4

C .2

D .1 答案 C

解析 根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;它的底面三角形的面积为S 底面=1

2×2×1=1,棱柱高为h =2,∴棱柱的体积为S 棱柱=S 底面·h =1×2=2.

3.下列命题中,错误的是( )

A .三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面

B .平面α∥平面β,a ?α,过β内的一点B 有唯一的一条直线b ,使b ∥a

C .α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d

D .一条直线与两个平面成等角,则这两个平面平行

答案D

解析A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,两平面平行,一面中的线必平行于另一个平面,平面内的一点与这条线可以确定一个平面,这个平面与已知平面交于一条直线,过该点在这个平面内只有这条直线与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面,故应选D.

4.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

答案B

解析作AE⊥BD,交BD于E,

∵平面ABD⊥平面BCD,

∴AE⊥平面BCD,BC?平面BCD,∴AE⊥BC,

而DA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴DA⊥BC,

又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面ABD,

而AB?平面ABD,∴BC⊥AB,

即△ABC为直角三角形.故选B.

5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )

A .AD ⊥平面PBC 且三棱锥D -ABC 的体积为8

3

B .BD ⊥平面PA

C 且三棱锥

D -ABC 的体积为8

3

C .A

D ⊥平面PBC 且三棱锥D -ABC 的体积为16

3

D .BD ⊥平面PAC 且三棱锥D -ABC 的体积为16

3

答案 C

解析 ∵PA ⊥平面ABC ,∴PA ⊥BC , 又AC ⊥BC ,PA ∩AC =A , ∴BC ⊥平面PAC ,∴BC ⊥AD ,

又由三视图可得在△PAC 中,PA =AC =4,D 为PC 的中点, ∴AD ⊥PC ,∴AD ⊥平面PBC .

又BC =4,∠ADC =90°,BC ⊥平面PAC . 故V D -ABC =V B -ADC =13×12×22×22×4=16

3.

二、填空题

6.(xx·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1,S 2,体积分别为V 1,V 2.若它们的侧

面积相等,且S 1S 2=94,则V 1

V 2

的值是________.

答案 32

解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1,r 2和h 1,h 2,

由S 1S 2=94

, 得πr 21πr 22=94,则r 1r 2=32

. 由圆柱的侧面积相等,得2πr 1h 1=2πr 2h 2, 即r 1h 1=r 2h 2,

所以V 1V 2=πr 2

1h 1πr 22h 2=r 1r 2=32

.

7.已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面,若PC ⊥BD ,则平行四边形ABCD 的形状一定是________. 答案 菱形

解析 由于PA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD , 所以PA ⊥BD .

又PC ⊥BD ,且PC ?平面PAC ,PA ?平面PAC ,PC ∩PA =P ,所以BD ⊥平面PAC . 又AC ?平面PAC ,所以BD ⊥AC . 又四边形ABCD 是平行四边形, 所以四边形ABCD 是菱形.

8.如图,两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直,设M 、N 分别是BD 和AE 的中点,那么①AD ⊥MN ;②MN ∥平面CDE ;③MN ∥CE ;④MN 、CE 异面.其中正确结论的序号是________.

答案①②③

解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M、N分别

是BD和AE的中点,取AD的中点G,连接MG,NG,易得AD⊥平面

MNG,进而得到AD⊥MN,故①正确;连接AC,CE,根据三角形中位

线定理,可得MN∥CE,由线面平行的判定定理,可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确,④MN、CE异面错误.

三、解答题

9.如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和俯视图在右面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

(3)在所给直观图中连接BC′,证明BC′∥平面EFG.

(1)解如图:

(2)解 所求多面体体积V =V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6-13×(12×2×2)×2=2843(cm 3

).

(3)证明 在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中, 连接AD ′,则AD ′∥BC ′.

因为E ,G 分别为AA ′,A ′D ′的中点, 所以AD ′∥EG , 从而EG ∥BC ′. 又BC ′?平面EFG , 所以BC ′∥平面EFG .

10.平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示,其中BB 1C 1C 是矩形,BC =2,BB 1=4,AB =AC =2,

A 1

B 1=A 1

C 1=5,现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠,使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都

与平面BB 1C 1C 垂直,再分别连接A 1A ,A 1B ,A 1C ,得到如图2所示的空间图形.对此空间图形解答下列问题.

(1)证明:AA 1⊥BC ; (2)求AA 1的长;

(3)求二面角A -BC -A 1的余弦值. (1)证明 如图,

取BC ,B 1C 1的中点分别为D 和D 1,

连接AD ,A 1D 1,A 1D ,DD 1. 由条件可知,BC ⊥AD ,B 1C 1⊥A 1D 1.

由上可得AD ⊥平面BB 1C 1C ,A 1D 1⊥平面BB 1C 1C , 由此得AD ∥A 1D 1,即AD ,A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1,BB 1⊥BC , 所以DD 1⊥BC .

又因为AD ⊥BC ,AD ∩DD 1=D , 所以BC ⊥平面AD 1A 1D , 又∵AA 1?平面AD 1A 1D , 故BC ⊥AA 1.

(2)解 延长A 1D 1到G 点,使GD 1=AD .连接AG . 因为AD 綊GD 1,所以AG 綊DD 1綊BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1,所以AG ⊥A 1G . 由条件可知,A 1G =A 1D 1+D 1G =3,AG =4, 所以AA 1=5.

(3)解 因为BC ⊥平面AD 1A 1D ,

所以∠ADA 1为二面角A -BC -A 1的平面角. 在Rt△A 1DD 1中,DD 1=4,A 1D 1=2,

解得sin∠D 1DA 1=

55

, cos∠ADA 1=cos ? ????

π2+∠D 1DA 1=-55,

即二面角A -BC -A 1的余弦值为-

55

.

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