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2017年全国卷3文科数学试题及参考答案

2017年全国卷3文科数学试题及参考答案
2017年全国卷3文科数学试题及参考答案

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试题类型:新课标Ⅲ

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:

1.答题前,考生先将自己的、填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破,不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I 卷

一、单选题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分。) 1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,4,6,8A B ==,则A

B 中的元素的个数为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 2. 复平面表示复数()2z i i =-+的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是( )

A. 月接待游客量逐月增加

B. 年接待游客量逐年增加

C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知4

sin cos 3

αα-=

,则sin 2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 79

5. 设,x y 满足约束条件3260

00x y x y +-≤??

≥??≥?

则z x y =-的取值围是( )

A. []3,0-

B. []3,2-

C. []0,2

D. []0,3

6. 函数()1sin cos 536f x x x ππ???

?=++- ? ????

?的最大值为( )

A.

65 B. 1 C. 35 D. 15

7. 函数2

sin 1x

y x x =++

的部分图像大致为( )

8.执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

9. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )

A. π

B.

34π C.2π D. 4

π 10. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则( )

A.11A E DC ⊥

B. 1A E BD ⊥

C. 11A E BC ⊥

D. 1A E AC ⊥

11. 已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为A 1

,A 2

,且以线段A 1

A 2

为直径的

圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )

A B C D . 13

12. 已知函数()()211

2x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =( )

A . 12-

B . 13

C . 12

D . 1

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13. 已知向量()2,3a =-,()3,b m =,且a b ⊥,则m =____。 14. 双曲线()22

2109

x y a a -

=>的一条渐近线方程为35y x =,则a =____。

15. ABC ?角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知60,3C b c ===,则__.A = 16. 设函数()1,02,0

x x x f x x +≤?=?>?则满足()112f x f x ?

?+-> ???的x 的取值围是_______。

三、简答题(本大题共6小题,共70分。) 17. 设数列{}n a 满足()123...212n a a n a n +++-= (1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)求数列21n a n ??

??+??

的前n 项和;

18. 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:C )有关。如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频率分布表:

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值并估计Y 大于0的概率? 19. 如图,四面体ABCD 中,ABC ?是正三角形,AD CD = (1)证明:AC BD ⊥

(2)已知ACD ?是直角三角形,AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE EC ⊥,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比

20. 在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点,点C 的坐标为(0,1)。当m 变化时,解答下列问题:

(1)能否出现AC BC ⊥的情况?说明理由;

(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

21. 设函数()()2

ln 21f x x ax a x =+++.

(1)讨论()f x 的单调性; (2)当0a <时,证明()3

24f x a

<-

-. 22. 选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

在直角坐标系xOy 中,直线1l 与参数方程为2,

,

x t y kt =+??=?(t 为参数),直线2l 的参数方程为

2x m m y k =-+??

?

=??

(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通方程;

(2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设(

)3:cos sin 0l ρθθ+-,M 为l 3

与C 的交点,求M 的极径.

23.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集;

(2)若不等式f (x )≥x 2

–x +m 的解集非空,求m 的取值围.

参考答案

单选题

1. B

2. C

3. A

4. A

5. B

6. A

7. D

8. D

9. B 10. C 11. A 12. C

单选题 详解 1. 集合

和集合

有共同元素2,4,则

所以元素个数为2.

2. 化解得,所以复数位于第三象限。

3. 由折线图可知,每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势,故选A .

4.

由题意易知,()2

16sin cos 9αα-=,1612sin cos 9αα∴-=,

167

sin 22sin cos 199

ααα∴==-=-

5.

由题意,画出可行域,端点坐标 ,

,

.

在端点

处分别取的最小值与最大值.

所以最大值为,最小值为

.

故选

6.

()1111sin cos sin sin 536522f x x x x x x x ππ?????

?=++-=+++ ? ? ? ???????

()

333sin sin 2sin 5553x x x x x π??===?+ ??

? 故最大值为6

5

7.

注意到四个答案的差别,可以取一个较小的自变量值,比如0.01x =,

则()()

2

sin 0.01

0.0110.01 1.0100.01f =++>>,故排除,A C 注意,B D 的差别,可取特别大的自变量,此时2

sin x

x 可忽略不计 此时1y x ≈+,故排除B

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