(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计

一、普通的众数、平均数、中位数及方差

1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。

2、平均数 ： ①、常规平均数：

x

x 1

x 2

x n

②、加权平均数： x

x 1 1 x 2 2

x n

n

n

1

2

n

3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数 。

4、方差： s 2

1

[( x 1 x) 2 ( x 2 x )2

( x n

x )2 ]

n

二、频率直方分布图下的频率

1、频率 =小长方形面积： f S y 距 d ；频率 =频数 / 总数

2、频率之和 ： f 1

f 2

f n 1 ；同时 S 1 S 2

S n

1 ；

三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差

1、众数： 最高小矩形底边的中点。

2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n

x x 1 S 1 x 2 S 2

x 3 S 3

x n S n

3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于

0.5 时 x 的值。

4、方差： s 2

( x 1

x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2

( x n x) 2 f n

四、线性回归直线方程 ： ? ? ?

bx

y a

n

(x i

x )( y i

y )

n

x i y i nxy

?

?

其中： b i 1

i 1

,

a?

y

bx

n

n

( x i x )2

x i 2

nx 2

i 1

i

1

1、线性回归直线方程必过样本中心

( x , y ) ；

?

?

0 : 负相关。

2、 b 0 : 正相关； b

?

3、线性回归直线方程： y? ?

bx a?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。

五、回归分析

?i

1、残差 ： ?i

y i

?i 越小越好；

e

y （残差 =真实值—预报值）。分析：

e

2、残差平方和 ：

n

? )

2

(

y i

，

i 1

y i

n

( y i

y )

2

( y 1 y )

2 ( y

y )

2

( y

y )

2

分析：①意义：越小越好；

②计算：

?i

?1

2

?2

n

?n

i 1

n ?i )

2

3、拟合度（相关指数） ： R 2

1

( y

y ，分析：① . R 2

0,1

②. 越大拟合度越高；

i 1

的常数；

n

y)2

i ( y i

1

n

n

4、相关系数 ： r

i ( x i x )( y i y)

x i y i nx y

1

i 1

n

x)2 n

y) 2 n

x) 2 n

y )2

i 1( x i i ( y i

( x i ( y i

1

i 1

i 1

分析：① . r

[ 1,1]的常数；

② . r 0: 正相关； r

0: 负相关

③. r

[0,0.25] ；相关性很弱；

r

(0.25,0.75) ；相关性一般；

r [0.75,1] ；相关性很强；

六、独立性检验 x 1 x 2

1、2×2 列联表 ：

合计

2、独立性检验公式 bc)2

y 1 a b a b ①． k 2

(a

n( ad

d )

y 2

c

d

c d

b)(c d )(a c)(b

合计

a c

b d

n

②．犯错误上界 P 对照表

3、独立性检验步骤

①．计算观察值

n(ad bc) 2

k ： k；

(a b)(c d )(a c)(b d )

②．查找临界值 k0：由犯错误概率P，根据上表查找临界值k0；

③．下结论： k k0：即犯错误概率不超过P 的前提下认为：, 有 1-P 以上的把握认为：;

k k0：即犯错误概率超过P 的前提认为：,没有 1-P 以上的把握认为：;

【经典例题】

题型 1 与茎叶图的应用

例 1（ 2014 全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50 位市民。根据这50 位市民（1）分别估计该市的市民对甲、

乙部门评分的中位数；

（2）分别估计该市的市民对甲、

乙部门的评分做于 90 的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民

对甲、乙学科网两部门的评价。

题型 2 频率直方分布图的应用

例 2（ 2015 广东）某城市 100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图2，

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（ 3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，

[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量

在[220,240)的用户中应抽取多少户？

练习 2 （ 2014 全国 1）从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组[75 ，85)[85 ， 95)[95 ，105)[105 ， 115)[115 ， 125)频数62638228

(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差

( 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生

产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产

品至少要占全部产品的80%”的规定？

题型 3计算线性回归方程

例 3（ 2015 重庆）随着我国经济的发展，居民

的储蓄存款逐年增长 . 设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份20102011201220132014

时间代号 t12345

储蓄存款 y （千亿元）567810

（1）求y关于t的回归方程?

??

y bt a

（2）用所求回归方程预测该地区 2015 年（t =6）的人民币储蓄存款 .

练习 3（2014 全国 2）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013

年份代号 t1234567

人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（ 1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

题型 4线性回归分析

例4（ 2016 全国 3）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾

无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 .

注：年份代码 1– 7 分别对应年份 2008–2014.

(1). 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t的关系，请

用相关系数加以说明；

(2). 求出y关于t的回归方程y??

0.01 ），bt a?（系数精确到

预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 .

777

y )2

参考数据：y i 9.32 ，t i y i40.17 ，( y i0.55 ，≈2.646.

i1i 1i 1

n n

(t i t )( y i y )(t i t )( y i y )

参考公式： r i 1，回归方程 y a bt 中：b i 1，a=y bt .

n

n n

(t i(y i

t )2y) 2(t i t )2

i 1i 1i1

题型 5独立性检验综合应用

例 5. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 60 人进行了问卷调查得到了如下的2×2 列联表：

(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6 人，其中男生抽多少人？

(2)在上述抽取的人中选 2 人，求恰有一名女生的概率；

(3) 你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。

练习 5.为调查某市学生百米运动成绩, 从该市学生中按照男女比例

随机抽取 50 名学生进行百米测试, 学生成绩全部都介于13 秒到 18 秒之

间 , 将测试结果按如下方式分成五组, 第一组13,14 ,第二组14,15 ,第

五组 17,18 ,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)求这次测试成绩的平均数、众数和中位数、

(2)设 m, n 表示从第一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百

米测试成绩 , 即m,n13,1417,18 ,求事件“ m n 2 ”的概率;

(3)根据有关规定 , 成绩小于 16 秒为达标 . 如果男女生使用相同的达标标

准 , 则男女生达标情况如下表:男女总计完成上表 , 并根据上表数据 , 能否有 99﹪的把握认为“体育达标与性达标24

别有关”？不达标12

总计50