【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题(教师版)

【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题

2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;

(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.

记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．

2

()(10.6)

0.064

P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．

（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．

0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．

则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12

13()0.60.40.432P B C =??=．

01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=．

2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

（20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且

B A A A 21+=, 5

1C

1)A (P 15

1=

=

，5

1A

A )A (P 25

142=

=

，5

2)

(1

3

3

51224=

??=

C C C C B P 。

P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5

25

15

1?

+=

25

7

所以 P(A)=1-P(A )=

25

18=0.72

2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。 解：记“第i 局甲获胜”为事件)5,4,3(=i A i ，“第j 局甲获胜”为事件)5,4,3(=j B i 。 （Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则4343B B A A A ?+?=，由于各局比赛结果相互独立，故

)

()()()()()()()(434343434343B P B P A P A P B B P A A P B B A A P A P +=?+?=?+?=52.04.04.06.06.0=?+?=。

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

54354343A B A A A B A A B ??+??+?=，由于各局比赛结果相互独立，故

)()(54354343A B A A A B A A P B P ??+??+?=

648

.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()

()()(5435434354354343=??+??+?=++=??+??+?=A P B P A P A P A P B P A P A P A B A P A A B P A A P 2010为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为

7014%500

=. ……4分

(2) 2

2

500(4027030160)

9.96720030070430

k ??-?=

≈???

由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分

2011年某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t

的关系式为

2,942,94102

4,102t y t t -

=≤

估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

（19）解（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100

+，所以用

A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。 由试验结果知，用

B 配方生产的产品中优质品的频率为

32100.42100

+=，所以用B 配方生

产的产品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的

概率估计值为0.96.

用B 配方生产的产品平均一件的利润为

68.2)442254)2(4(100

1=?+?+-??（元）

2012年某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

天的日利润（单位：元）的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

2013年为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

18、解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得

x ＝

120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9

＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，

y

＝120

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4

＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.

由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

2014从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，

（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直

方图： （II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

【解析】：（I ）

（II ）质量指标值的样本平均数为

800.06900.261000.381100.221200.08100x =?+?+?+?+?= .

质量指标值的样本方差为

()()()()2222

2

200.06100.2600.38100.22200.08104s

=-?+-?+?+?+?=…10 分

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. …………….12 分

2015年某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,

,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一

些统计量的值

.

表中w 1 1, ，w

=

18

1

n

i

i w =∑

（I ）根据散点图判断，y

a b x

=+与y

c d

=+，哪一个适宜作为年销售量y 关

于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x

=-，根据（II ）的结

果回答下列问题： （i ）当年宣传费90

x

=时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v

u

αβ=+的斜率

和截距的最小二乘估计分别为：1

2

1

()()

=

()

n

i i i n

i i u u v v u u β==---∑

∑

，=v u αβ-

19.答案:

（Ⅰ）y c d

=+适合作为年销售y 关于年宣传费用x

的回归方程类型（Ⅱ）

100.66y =+46.24

解析：（I

）由散点图可以判断，y c d =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方

程类型。 （II

）令w =

y 关于w 的线性回归方程。由于

1

2

1

()()

108.8?681.6

()

n

i i i n

i i w w y y d

w w ==--==

=-∑

∑

??56368 6.8100.6c

y d w =-=-?=。 所以y 关于w 的线性回归方程为?100.668y

w =+，因此y 关于x

的回归方程为?100.66y =+。

（III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y

的预报值?100.66576.6y

=+= 年利润z 的预报值?576.60.24966.32z

=?-=。 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值

?0.2(100.66120.12

z

x x =+-=-+

13.6 6.82

=

=，

即x=46.24时，?z

取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

2016年某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损

零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

19．解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.

所以y与x的函数解析式为

3800,19

(*)

5005700,19

x

y x N

x x

≤

?

=∈

?

->

?

…3分

(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19. …6分

(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的

平均数为

1

100

(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分

若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的

平均数为

1

100

(4000×90+4500×10)=4050. …11分

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分

2017为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依

次抽取的16个零件的尺寸：

经

计

算

得

16

1

1

9.97

16

i i x x ==

=∑，

0.212

s =

=

≈，

18.439

≈，

16

1

()(8.5) 2.78

i i x x i =--=-

∑

，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16

i

=???．

（1）求(,)

i x i (1,2,,16)

i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产

的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25

r <，则可以认为

零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x

s x s -+之外的零件，就

认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在(3,3)

x

s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生

产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(,)

i i x y (1,2,,)

i n =???的相关系数()()

n

i i x x y y r

--=

∑

，

0.09

≈．

（ii ）剔除

9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为

169.22

169.979.22

10.02

15

15

x -?-=

=，

标准差为

0.09

s =

=

=()

2

2

1610.029.220.01

15

s --≈