全国高考文科数学试卷及答案全国

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国

卷Ⅱ)

文科数学（必修+选修Ⅰ）

注意事项：

1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，

考试时间120分钟．

2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的

位置上．

3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹

清楚

5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或

在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+

2

4πS R =

如果事件A B ，相互独立，那么

其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =

球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么

3

4π3

V R =

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

其中R 表示球的半径

()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，

一、选择题

1．cos330=（ ）

A ．

12

B ．12

-

C

D ．2．设集合{1

234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =e（ ）

A ．{2}

B ．{3}

C ．{124}，，

D ．{1

4}，

3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ??- ?44??

，

B ．3ππ?? ?44??

，

C ．3π??π ?2??

，

D ．32π??

π

?2??

， 4．下列四个数中最大的是（ ）

A ．2

(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．ln

D ．ln 2

5．不等式

2

03

x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞，

C ．(3)

(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，，

6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若1

23AD DB CD CA CB λ==+，，

则λ=（ ） A ．

2

3

B ．

13

C ．13

-

D ．23

-

7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）

A

B

C ．

2

D 8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．把函数e x

y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x

+

B ．e 2x

-

C ．2

e

x -

D ．2

e

x +

10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方

法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种

11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A ．

13

B C ．

12

D 12．设12F F ，分别是双曲线2

2

19

y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）

A

B ．

C

D ．

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．

14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．

16．8

2

1(12)1x x ??

++ ???

的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

19．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，

底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；

（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．

A

E

B

C

F

S

D

21．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切． （1）求圆O 的方程；

（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求

PA PB 的取值范围．

22．（本小题满分12分） 已知函数3

21()(2)13

f x ax bx b x =

-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；

（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B 二、填空题

13．120

14．252

n n --

15

．2+

三、解答题

17．解：由题设知11(1)

01n n a q a S q

-≠=-，，

则212

1

41

2(1)5(1)11a q a q a q q q

?=-?=??--?-?

，． ②

由②得4215(1)q q -=-，22

(4)(1)0q q --=，(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=， 因为1q <，解得1q =-或2q =-．

当1q =-时，代入①得12a =，通项公式1

2(1)n n a -=?-；

当2q =-时，代入①得112a =，通项公式1

1(2)2

n n a -=?-． 18．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π

<<3

．

应用正弦定理，知

sin 4sin sin sin BC AC B x x A =

==3，

2sin 4sin sin BC AB C x A π??

=

=- ?3??

．

因为y AB BC AC =++，

所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<<

??3???

，

（2

）因为1

4sin sin 2y x x x ??=++ ? ???

5s i n 3x x ππ

ππ?

??=+

+<+< ??66

66???，

所以，当x ππ+

=62，即x π

=3

时，y

取得最大值 19．（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则01A A ，互斥，且01A A A =+，故

01()()P A P A A =+

012

1

22

()()

(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-

于是2

0.961p =-．

解得120.20.2p p ==-，（舍去）．

（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则0B B =．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.2

2?=件，故

2

8002100C 316

()C 495

P B ==

．

00316179

()()1()1495495

P B P B P B ==-=-

= 20．解法一：

（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．

连结12

AG FG CD

∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG

∥，为平行四边形．

EF AG ∥，又AG ?平面SAD EF ?，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．

（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等

腰直角三角形．

取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥． 又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，

所以DH ⊥面AEF ．

取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．

故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角

tan DH DMH HM ∠=

== 所以二面角A EF D --

的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．

设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，

00222a a b E a F ????

? ?????，，，，，， 02b EF a ?

?=- ??

?，，．

取SD 的中点002b G ?? ???，，，则02b AG a ?

?=- ??

?，，． EF AG EF AG AG =?，∥，平面SAD EF ?，平面SAD ，

所以EF ∥平面SAD ．

（2）不妨设(1

00)A ，，，则1

1(110)(010)(002)100122B C S E F ???? ? ?????

，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ????=---=-= ? ?????，，，

，，，，，，，⊥ 又1002

EA ??=- ??

?

，

，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．

A

E

B

C

F

S

D H

G

M

3

cos 3MD EA MD EA MD EA

<>=

=

，． 所以二面角A EF D --的大小为

21．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O

到直线4x =的距离，

即 2r =

=．

得圆O 的方程为2

2

4x y +=．

（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，

，，．由24x =即得

(20)(20)A B -，，，．

设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得

2

222(2)x x y -+=+，

即 2

2

2x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，

222

42(1).

x y y =-+=-

由于点P 在圆O 内，故22

22

42.

x y x y ?+

由此得2

1y <．

所以PA PB 的取值范围为[20)-，．

22．解：求函数()f x 的导数2

()22f x ax bx b '=-+-．

（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是()0f x '=的两个根．

所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．

（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

-+-?．

化简得20

3204520b a b a b ->??

-+?

．

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b -=-+=-+=，，．

所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ?? ???

，，，，，． z 在这三点的值依次为

16687

，，． 所以z 的取值范围为1687??

???

，．

b

a 2 1 2 4

O

4677A ?? ???

， (42)C ，

(22)B ，