2010高考数学文科试题及答案-全国卷1

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）

文科数学(必修+选修)

本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 2

4S R π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3

34

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)

(0,1,2,)k

k

n k

n n P k C p p k n -=-=…

一、选择题 (1)cos 300?=

(A)2

-

12

(C)

12

(D)

2

1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1co s 300co s 36060co s 602

?=?-?=?=

(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ?=e

A.{}1,3

B. {}1,5

C. {}3,5

D. {}4,5

2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =e，{}1,3,5N =，则()U N M ?=e{}1,3,5{}2,3,5?={}3,5

(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222

z x y y x z =-?=

-

，由图可知,当直线l 经过点

A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-?-=.

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =

(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知

3

1231322()5

a a a a a a a === ，

3

7897988()a a a a a a a ===

10,所以1

3

28

50a a =,

所以1

3

3

3

6456

4655()(50)a a a a a a a =====

(5)4

3(1)(1x --的展开式 2

x 的系数是

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3

5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

x +20

y -=

【解析】()13

4

3

2

3

4

22(1)(11464133x x x x x x x x ??

--

=-+---+- ???

2

x 的系数是 -12+6=-6

(6)直三棱柱111A B C A B C -中，若90B A C ∠=?，1A B A C A A ==，则异面直线

1B A 与1A C 所成的角等于

(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°

6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111A B C A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.

【解析】延长CA 到D ，使得A D A C =，则11A D A C 为平行四边形，1D A B ∠就是异面直线

1B A 与1A C 所成的角，又三角形1A D B 为等边三角形，0

160D A B ∴∠=

(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞

7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a

+≥,从而错选D,这也

是命题者的用苦良心之处.

【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a

=

，所以a+b=1a a

+

又0

=+1

a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上

为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).

【解析2】由0

11x y xy <

z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+?=-+，2

111y y x

x

'=

?=-

<-?过点()

1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞

（8）已知1F 、2F 为双曲线C:2

2

1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =0

60，

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1 O

则

12||||P F P F =

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8

8.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F

=

2

2

2

121212||||||

2||||

P F P F F F P F P F +-

()

(

2

2

2

2

121

2

1212

12

12

2221co s 6

022

2P F P F P F

P F P F P

F F F P F P F P F P F +--+-?=

?

=

12||||P F P F = 4

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

1

2

2

2

1212

6011co t

1co t

sin 602

2

2

2

2

F P F S b P F P F

P F P F θ?====

=

1

2||||P F P F = 4

（9）正方体A B C D

-1111A B C D 中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为

（A ） 3

（B ）3

（C ）23

（D ）

3

9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面

AC 1D 所成角和DD 1与平

面AC 1D 所成角相等,设

DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得

1

1

D A C D D

A C D

V V --=,即1

1113

3

A C D A C D S D O S D D ???=

?.设DD 1=a,

则

1

2

2

111

sin 60)2

2

2

2

A C D S A C A D ?=

=

??

=

,2

112

2

A C D S A D C D a ?=

=

.

所以13

1

3

A

C D

A

C D

S D D a

D O a S ??=

=

,记DD 1

与平面AC

1

D 所成角为θ,则

1

sin 3

D O D

D θ=

=

,

所以co s 3

θ=

.

【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；

1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，1111

co s 1/

3

O O O O D O D ∠=

==

（10）设1

2

3log 2,ln 2,5

a b c -===则

（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D)

c b a <<

10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用

. 【解析1】 a=3log 2=

21lo g 3

, b=In2=

21lo g e

,而22lo g 3lo g 1e >>,所以a

c=12

5

-

1,222log 4log 3>=>,所以c

【解析2】a =3log

2=

3

2

1lo g ,

b =ln2=

2

1lo g e

, 3

221lo g lo g 2e <<< ，

3

2

2

11112

lo g lo g e

<

<

<；

c

=12

15

2

-

=

<

=

，∴c

（11）已知圆

O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A P B ?

的

最小值为 (A) 4-+

3

-+

(C) 4

-+3-+

11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠

APB=2α，sin α=

，

||||cos 2P A P B P A P B α

?=?

=22

(12sin )

x α-=

22

2

(1)1

x x x -+=4

2

21

x x

x -+，令P A P B y ?= ，则42

21x x

y x -=+，

即4

2(1)0x y x y -+-=，由2

x 是实数，所以

2[

(1)]41()0y y ?=-+-??-≥，2

610y y ++≥

，解得3y ≤--或3y ≥-+.

故m in ()3P A P B ?=-+

此时x =

【解析2】设,0A P B θθπ∠=<<，()()2

co s 1/tan co s 2P A P B P A P B θθθ

?

??== ??

? 222

222

1sin 12sin cos 22212sin 2sin

sin

2

2

θθθ

θθθ

????-- ? ?

???

???=

?-=

?

??换元：2

s i n

,01

2

x x θ=<≤，()()1121

233

x x P A P B x x x

--?==+-≥

【解析3】建系：园的方程为

22

1

x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -

，

()()22

11101110110,,001A O P A x y x x y x x x y x x ⊥?

?-=?-+=?=

()22222222

1100110110221233

P A P B x x x x y x x

x x x ?=-+-=

-+--=+-≥

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 3

3

(C) 3

12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过

球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD 作平面

PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有

A

B C D 1122232

3

V h h =

??

??=

四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,m ax h ==故

m ax 3

V =

第Ⅱ卷

注意事项：

()()222

10110111001

,,2P A P B x x y x x y x x x x y ?=-?--=-+-

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) (13)不等式

2

2032

x x x -++ 的解集是 .

13. {}21,2x x x -<<->或【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】:

2

2032

x x x -++ ()()

()()()2

0221021x x x x x x -?

>?

-++>

++，数轴标根

得：{}21,2x x x -<<->或 (14)已知α为第二象限的角，3sin 5

a =,则tan 2α= .

14.247

-

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5

α=, 所以4c o s 5

α=-

，sin 3tan co s 4

ααα

=

=-

,

所2

2tan 24tan (2)1tan 7

ααα

=

=-

-

(15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课

程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 15. A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论

的数学思想.

【解析1】:可分以下

2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有

1

2

34

C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不

同的选法.所以不同的选法共有1234C C +21

34181230

C C =+=种.

【解析2】: 3

3

3

73430

C C C --=

(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段B F 的延长线交C 于点D ， 且

B F 2FD =uu r uur

，则C 的离心率为 .

16.3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与

几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1】如图，||B F a =

=,

作1D D y ⊥轴于点D 1,则由B F 2FD =uu r uur

，得 1||||2||

||

3

O F B F D D B D ==

,所以133||||2

2

D D O F c =

=

,

即32

D c x

=

,由椭圆的第二定义得2

2

33||(

)22a

c c

F D e a c

a

=-

=-

又由||2||B F F D =,得2

32,c a a a

=-

3

e ?=

【解析2】设椭圆方程为第一标准形式

222

2

1x y a

b

+

=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，

222230223330;12

2

2

12

2

2

2

c c

c c y b x b y b b x x x c y y -++?-=?===

?=

==-++，代入

222

2

91144c b a

b

+

=，3

e ?=

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

) 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S . (18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

) 已知A

B C V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数4

2

()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16

a =

时，求()f x 的极值;

（II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围

(22)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．）

已知抛物线2

:4

C y x

=的焦点为F，过点(1,0)

K-的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线B D上；

（Ⅱ）设

8

9

F A F B=

，求B D K

?的内切圆M的方程 .

三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) 解：

（1）由a m=a1+（n-1）d及a1=5，a w=9得

a

1

+2d=5

a1+9d=-9

解得a

1

=9

d=-2

数列{a m}的通项公式为a n=11-2n。

因为Sm=(n-5)2+25.

所以n=5时, Sm取得最大值。

（18）解：

（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以A C⊥PH又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD内,且PH∩BD=H.

所以AC⊥平面PBD

故平面PAC平面PBD

(2)由（1）知Sm=na1+n(n-1)

2d=10n-n

2

(2)因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC⊥

所以因为∠APB=∠ADR=600

所以,HD=HC=1.

可得

等腰梯形ABCD的面积为S=1

2

……..9分

所以四棱锥的体积为V=13

x （3

……..12分

（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为

7014%

500

=. ……4分

(2)

2

2

500(4027030160)

9.967

20030070430

k ??-?=

≈???

由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分

（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分 （20）解：（1）由椭圆定义知2

2F +F |A ||A B |+|B |=4

又2A B =

A F F A

B 224||||+|B |,||=

3

得

L 的方程式为y=x+c,其中c=1-b 2

(2)

设A,(x 1,y 1),B(x 1,y 1)则A,B 两点坐标满足方程组

y=x+c

x2+y 2

b 2 =1 化简得(1+b 2)x 2+2cx+1-2b 2=0

则x 1+x 2=-2c 1+b 2 .x 1x 2=1-2b 2

1+b 2 （2）

即 2143x x =

|-|

.

则

2

2

42

12122

22

2

84(1)4(12)8()49

(1)

11b b b

x x x x b b

b

--=+-=

-

=

+++解得

2

b =

.

（21）解： （Ⅰ）12

a

=时，2

1()

(1)2

x

f x x e x

=--

，'()1(1)(1)x x x

f

x e xe x e x =-+-=-+。当(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()

0,x ∈+∞时，

'()0

f x >。

故

()

f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）

()(1)a

f x x x a x =--。令()1a

g x x a x

=--，则'()x

g x e a =-。若1a ≤，则

当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()

f x ≥0.

若a

>1

，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当

()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即

()

f x ＜0. 综合得a 的取值范围为(],1-∞

(22)解: (1) 因为AC=BD 所以∠BCD =∠ABC

又因为EC 与圆相切于点C,故∠ACE =∠ABC 所以∠ACE=∠BCD

(II)因为∠ECB=

∠CDB, ∠EBC=∠BCD, ……5分 所以□BDC □□ECB,故BC BE =CD

BC

即 BC

2

=BE ×CD

……10分

（23）解：（I ）当3

π

α=

时，C 1

的普通方程为1)

y

x =-，C 2的普通方程为

2

2

1x y +=.

联立方程组

{

2

2

1),

1,

y x x x y -=+=解得C 1与C 2的交点为（1,0），1(

,2

2

-

（II ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.

A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为

2

1sin 2

1sin co s 2

x a y a a

=

=-

???

（a 为参数）P 点轨迹的普通方程为22

11()4

16

x y -

+=

故P 点是圆心为1(,0)

4，半径为1

4

的圆

(24)解：: -2x+5,x ＜2

(1)由于f (x)== 2x-3,x ≥2 则函数y=f (x)的图像如图所示.。

……5分 （Ⅱ）由函数()

x y f =与函数y

ax

=的图像可知，当且仅当2a

<-时，函数()

x y f =与函数y

ax

=的图像有交点。故不等式

()x f a x ≤的解集非空时，a

的取值范围为

()1

,2,2??-∞-?+∞

???

。10分