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历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编三角

1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ?

?=+ ??

?，则下面结论正确的

是（）

A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

个单

位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

个单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

个单位长度，得到曲线2C 【答案】D

【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23?

?=+ ??

?C y x

首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．

πππcos cos sin 222???

?==+-=+ ? ????

?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，

即112

πππsin sin 2sin 2224??????=+????????

?→=+=+ ? ? ??????

?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233???

???→=+=+ ? ????

?y x x ．

注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+

x 平移至π

+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π

2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC

△的面积为2

3sin a A

．

（1）求sin sin B C ；

（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.

（1）∵ABC △面积2

3sin a S A

=.且1sin 2S bc A =

∴

sin 3sin 2

a bc A A =

∴22

3sin 2

a bc A =

∵由正弦定理得22

3sin sin sin sin 2A B C A =，

由sin 0A ≠得2

sin sin 3B C =.

（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1

cos cos 6

B C =

∵πA B C ++=

∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又∵()0πA ∈，

∴60A =?，sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①

由正弦定理得sin sin a b B A =

?，sin sin a c C A

=? ∴2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由①②得

b c +=

∴3a b c ++=+ABC △周长为3

3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．

【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将

sin 8)sin(2

B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，

结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2

sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B

，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和

面积公式求出a c ac +、，从而求出b ．（Ⅰ）【基本解法1】

由题设及2

sin

8sin ,2

B C B A ==++π，故

sin 4-cosB B =（1）

上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15

cosB=cosB 17

1（舍去），= 【基本解法2】

由题设及2sin

8sin ,2

B B

C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02

sin ≠B ，所以4

12tan =B ，17152

tan 12tan 1cos 2

=+-=

B B

B （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14

a sin 217

ABC S c B ac ?==

又17

=22

ABC S ac ?=，则

由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

a c ac B

ac =+-=-+=-??+=（+c ）

所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意2

,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．

4 （2017全国卷3理）17．（12分）

ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知sin 0A A =

，a =，2b =．

（1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．

【解析】（1）

由sin 0A A =得π2sin 03A ?

?+= ??

?，

即()π

π3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，

∴ππ3A +=，得2π

A =

. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?.

又∵1

2,cos 2

a b A ===-代入并整理

得()2

125c +=，故4c =.

（2）∵2,4AC BC AB ===，

由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==

. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，

则cos AC CD C =?，得CD =

由勾股定理AD =又2π3A =

，则2πππ

326DAB ∠=

-=， 1π

sin 26

ABD

S AD AB =??=△

5 （2017全国卷文1）14 已知π(0)2

a ∈，,tan α=2，则π

cos ()4α-=__________。

（法一）Θ0,2πα??

∈ ???

，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=?

=?=，

又22sin cos 1

αα+=，解得sin 5α=，cos 5

α=，

cos (cos sin )42πααα?

?∴-=+=

? （法二）)sin cos (2

)4cos(ααπ

α+=

21cos sin cos 42πααα?

?∴-=+ ??

?．又Θtan 2α=

222

sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα∴===++，29cos 410πα??∴-= ??

?，

由0,2πα??∈ ???知444πππα-<-<，cos 04πα??∴-> ???，故cos 4πα??-= ???

6.（2017全国卷2 文） 3.函数π

()sin(2)3

f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2

【答案】C 【解析】由题意22

T π

π=

=，故选C. 【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ω?ω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，.

(2)周期2.T π

(3)由 π

π()2x k k ω?+=+∈Z 求对称轴 (4)由

ππ

2π2π()22

k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由

π3π2π2π()22

k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间;

7（2017

全国卷

文）13.函数

()2cos sin f x x x =+的最大值

为 . 【答案】5

8（2017全国卷2文）16.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若

2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =

【答案】

9（2017全国卷3文） 4．已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin 2α=（） A ．79

B ．29

C ．

D ．

【答案】A

10 （2017全国卷3文）6．函数f (x )=15

sin(x +3π)+cos(x ?6π

)的最大值为（）

A ．65

B ．1

C ．35

D ．15

【答案】A

【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ???

????-

=-+=+ ? ? ????

??????

? ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ???

???=

+++=+ ? ? ????

??? , 函数的最大值为

. 本题选择A 选项. 7．函数y =1+x +

sin x

x 的部分图像大致为（）

A B

D ．

C D

【答案】D

1、（2016全国I 卷12题）已知函数ππ

()sin()(0),24

f x x+x ，

ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π4x =

为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π

()1836

，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B

考点：三角函数的性质

2、（2016全国I 卷17题）（本小题满分12分）

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ；（II ）若7,c ABC △=

的面积为

，求ABC △的周长．【答案】（I ）C 3

=（II ）57+

【解析】

试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，

()2cosCsin sinC A+B =．

故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=

，所以C 3

π=．

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

3、（2015全国I 卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）1

【答案】D 【解析】

试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1

，故选D.

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

4、（2015全国I 卷8题）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的

单调递减区间为

(A)（）,k (b)（）,k

(C)（）,k (D)（）,k

【答案】D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+42

53+42

πω?π

ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，

所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4

k x k k Z π

ππππ<+<+∈，解得124k -

＜x ＜3

k +，k Z ∈，故单调减区间为（1

k -

，324k +），k Z ∈，故选D.

考点：三角函数图像与性质

5、（2015全国I 卷16题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB

的取值范围是【答案】626+2 【解析】

试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sin sin BC BE E C =∠∠，即o o

2sin 30sin 75BE =，解得BE 6+2AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o

sin 30sin 75

BF =，解得BF=62-所以AB 626+2.

考点：正余弦定理；数形结合思想 6. （2014全国I 卷8题）设(0,

)2π

α∈，(0,)2

β∈，且1sin tan cos βαβ+=

，则 A .32

αβ-=

B .22

αβ-=

C .32

αβ+=

D .22

αβ+=

【答案】：Ｂ

【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβ

ααβ

=，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα??

-==- ???

，,02222ππππαβα-<-<<-<

∴2

αβα-=

-，即22

αβ-=

，选B

7、（2014全国I 卷16题）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

【答案】3【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，

即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-

∴2

b c a bc +-=，故2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，∴060A ∠=，∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥，∴1

sin 32

ABC S bc A ?=≤

8、（2013全国I 卷15题）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵()f x =sin 2cos x x -5255(

)x x

令cos ?=

55，25sin 5

?=-，则()f x =5(sin cos sin cos )x x ??+=5sin()x ?+，当x ?+=2,2

k k z π

π+

∈，即x =2,2

k k z π

π?+

-∈时，()f x 取最大值，此时

θ=2,2

k k z π

π?+

-∈，∴cos θ=cos(2)2

k π

π?+

-=sin ?=25

9、（2013全国I 卷17题）（本小题满分12分）

如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°

(1)若PB=1

2，求PA ；

(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.

【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o

60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 11323cos3042+

-??=7

，∴PA=72；（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，

3sin sin(30)

α=-，化简得，3cos 4sin αα=， ∴tan α=

，∴tan PBA ∠=3

10、（2016全国II 卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ

k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =

-∈ （D ）()ππ212

Z k x k =+∈ 【解析】B

平移后图像表达式为π2sin 212y x ?

?=+ ??

?，

令ππ2π+122x k ?

?+= ???，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =

+∈，故选B ．

11、（2016全国II 卷9题）若π3

cos 45

α??-= ???，则sin 2α=

（A ）7

（B ）15

（C ）1

（D ）725

【解析】D

∵3cos 45πα??-= ???，2ππ

7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ?????

，

故选D ．

12、（2016全国II 卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5

A =，5

cos 13C =

，1a =，则b = ．【解析】

2113

∵4cos 5

A =，5cos 13C =，

3sin 5A =

，12

sin 13

C =， ()63

sin sin sin cos cos sin 65

B A

C A C A C =+=+=

，由正弦定理得：

sin sin b a B A =解得21

b =． 13、（2015全国II 卷17题）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积

的2倍。 (Ⅰ)求

∠∠sin sin ;

(Ⅱ) 若AD =1，DC =

求BD 和AC 的长.

14、（2014全国II 卷4题）钝角三角形ABC 的面积是12

，AB=1，2，则AC=( )

A. 5

5 C. 2 D. 1

【答案】B 【KS5U 解析】

.5,cos 2-4

3π

∴ΔABC 4π

.43π,4π∴,

sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???==Θ

15、（2014全国II 卷14题）函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为_________. 【答案】 1 【KS5U 解析】

1∴.1≤sin φsin )φcos(-φcos )φsin()φcos(φsin 2-φsin )φcos(φcos )φsin()

φcos(φsin 2-)φ2sin()(最大值为x x x x x x x x x f =?+?+=+?++?+=++=Θ

16、（2013全国II 卷15题）设θ为第二象限角，若1tan 42

πθ?

= ??

? ，则sin cos θθ+=_________.

17、（2013全国II 卷17题）（本小题满分12分）

△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB 。（Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值。

18、（2013全国III 卷5题）若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+=

(A)

6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

【答案】A 【解析】

试题分析：由3

tan 4

α=

，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以

2161264

cos 2sin 24252525

αα+=

+?=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 19、（2013全国III 卷8题）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

BC ,则cos A =

（A （B （C ）- （D ）-

【答案】C 【解析】

试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC =

=，

AB =．由余弦定

理

，

知

222222cos

2AB AC BC A AB AC +-===?，故选C ．考点：余弦定理．

20、（2013全国III 卷14题）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x

=的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】

2π 【解析】

试题分析：因为sin 2sin()3

y x x x π=+=+，sin 2sin()3

y x x x π=-=-＝

2sin[()]33

x π2π

+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的

图像至少向右平移

2π

个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．