高考数学概率与统计(理科)部分分类汇编

鑫榜教育概率与统计（理）

江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______

安徽理（20）（本小题满分13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超

过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p , p , p ，假设p , p ,p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q ，其中q,q ,q 是p,p , p的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；

（Ⅲ）假定p p p ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达

到最小。

北京理17．本小题共13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

12 2 2

（注：方差s2x1 x x2 x K x n x ，其中x为x1，x2，??x n的平均数）

n

福建理13．盒中装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球3 个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2 个球颜色不同的概率等于__________ 。

福建理19．（本小题满分13 分）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数X 依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准 A ，X≥为标准B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1 的概率分布列如下所示：

x15678

P0．4a b0．1

且X1 的数字期望EX1=6，求

a，b 的值；

II ）为分析乙厂产品的等级系数X2

，

从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据

如

下：

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2 的数学期望．

III ）在（I）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

（2）“性价比”大的产品更具可购买性．

广东理6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14 件和 5 件，测量产品中的

微量元素x,y

编号12345

x169178166175180

y7580777081

1）已知甲厂生产的产品共有98 件，求乙厂生产的产品数量；

2）当产品中的微量元素x,y 满足x≥175，且y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取2件，求抽取的 2 件产品中优等品数

2

服从正态分布N 2，a2，且Ｐ（ < 4）＝0.8 ，则Ｐ（0< < 2）＝

B．0． 4 C．0．3 D．0．2

统正常工作，已知K、A1、A2 正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为

A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576

湖北理12．在30瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）

湖北理15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n 4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．邻．的着色方案如下图所示：

注：（1）产品的“性价比”

产品的等级系数的数学期望

产品的零售价

1

A．

2

广东理17．（本小题满

B．

13 分）

C．

2

D．

的分布列极其均值（即数学期望）。

湖北理5．已知随机变

量

Ａ．．

湖北理7．如图，用K 、A1 、A2 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且A1 、A2 至少有一个正常工作时，系

由此推断，当n 6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）

湖南理4．通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则

，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不

．在家看书的概率为 4．

江西理 16．（本小题满分 12 分） 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共 8 杯， 其颜色完全相同，并且其中 4杯为 A 饮料，另外 4杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8

杯饮料中选出 4

杯 A 饮料，若 4 杯都选对， 则月工资定为 3500 元，若 4杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元，否则月工资定为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力． （1）求 X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望。

辽宁理（ 5）从 1，2，3，4，5 中任取 2各不同的数，事件 A=“取到的 2个数之和为偶数 ”，事件 B=“取到的 2 个数均

为 偶数 ”，则 P （ B ︱A ）=

1

1 2

1

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

男

女

总计

爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计

60

50

110

n ad bc

由

K 2

a b c d a c b d

60 50 60 50

P(K 2 k)

0．050

0． 010

0．001

k

3．841 6． 635 10． 828

参照附表，得到的正确结论是

A ．再犯错误的概率不超过

B ．再犯错误的概率不超过

C ．有 99%以上的把握认为

0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有

关”

0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无

关” 爱好该项运动与性别有关” 爱好该项运动与湖南理 15．如图 4，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形。

内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”， 内”，则 （ 1）P （ A ）= ________ ; （ 湖南理 18．（本小题满分 12 分）

某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 将一颗豆子随机地扔到该图 子落在扇形 OHE （阴影部

日销售量（件）

0 1 2 3 频数

1

5

9

5

（Ⅰ）求当天商品不进货的概率； （Ⅱ）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 江西理 6．变量 X 与 Y 相对应的一组数据为

（ ，

X 的分布列和数学期

型。 1），（ 11.3， 2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量 U 与 V 相对

应的一组数据为（ 10，5），（11.3，4），（ 11.8， 3），（12.5， 2），（13，1）， r 1表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数，

A ． r 2 r 1 0

B ． 0 r 2 r 1

C ． r 2 0

r

1

D ． r 2 r 1

江西理 12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动， 他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于

1

2，则

1 周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 1

2

算得， K 2 110 40 30 20 20 7.8．

2)P (B|A

，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检

至 3 件，否则不．进．货．，将频率视为概率。

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）

查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充

8 4 5 2

辽宁理（19）（本小题满分12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X 的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8 小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2

1

附：样本数据x1,x2, ,x n 的的样本方差s2 1[（x1 x）2（x2 x）2（x n x）2 ] ，其中x 为样本平均数．

n

全国理7．某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有

A．4种B．10 种C．18 种D．20 种

全国理18．（本小题满分12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立

（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。

全国课标理（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A）1123（B）（C）

3234

全国课标理（19) （本小题满

分

12 分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

（II）已知用 B 配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为

2,t 94

y 2,94 t 102

4,t 102

从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．

山东理7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表

根据上表可得回归方程y? b x a?中的?为9．4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为

山东理 18．（本小题满分 12 分）

胜 B ，丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； Ⅱ）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E

陕西理

9．设（

x 1

， y 1），（ x 2， y 2），?，（ x n ， y n ）是变量 x 和 y 的 n 个样本点，

直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图） 下结论中正确的是

A ． x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率

B ． x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间

C ．当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线 l 过点 （x,y ）

陕西理 10．甲乙两人一起去游“ 2011西安世园会” ，他们约定，各自独立地从 1到 6号景点中任选 4个进行游览，每

个 景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

1

1

5

1

A ．

B ．

C ．

D ．

36 9 36 6

陕西理 20．（本小题满分 13 分）

如图， A 地到火车站共有两条路径 L 1 和 L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时

间段内的频率如下表： 时间（分钟）

10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L 1 的频率 0．1 0．2

0．3

0．2

0．2

L 2 的频率

0．1 0．4 0．4 0．1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。

Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ Ⅱ）用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求

期望。

四川理 1．有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5）

9 [23．5,27．5） 18 [27． 5， 31 ．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39． 根据样本的频率分布估计，数据落在 [31．5，43． 5）的概率约是

四川理 12．在集合 1,2,3,4,5 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量

点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为 平行四边形的个数为 m ，则 m

n

A ． 63．6 万元

B ． 65． 5 万元

C ． 67．7 万元

D ． 72．0 万元

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对 A ，乙对 B ，丙对 C 各一盘，已知甲胜 A ，乙

，以 X 的分布列和数学

1

A ．

6 1

B ．

3 1

C ．

2 2

D ．

3

（a,b ） ．从所有得到的以原

n

，其中面积不．超．过． 4 的

7

[39 ． 5,43．

4

1

2

A ．

B ．

C ．

15 3 5

四川理 18．（本小题共 12 分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两 小时免费，超过两小时的收费标准为 2元（不足 1 小时的部分按 1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各 Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

12

天津理 16．（本小题满分 13 分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖． （每 次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在 1 次游戏中，

（ i ）摸出 3 个白球的概率； （ii ）获奖的概率；

（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E （X ） .

重庆理 13．将一枚均匀的硬币投掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 ____________ 重庆理 17．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分） 某市公租房的房源位于 A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片 区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中：

（Ⅰ）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率； （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望

租一车一次。 设甲、 乙不超过两小时还车的概率分别为

两人租车时间都不会超过四小时。 11

1,1

；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 42

1,1 2,4

Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量

，求 的分布列与数学期望 E

浙江理 9．有 5 本不同的书，其中语文

书

则同一科目的书都不相邻的概率

12

A ．

B ． 2 本，数学书

C ．

2 本，物理书 1 本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，