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2018高考北京文科数学带答案

2018高考北京文科数学带答案
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学(文)

本试卷共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合A ={( || |<2)},B ={?2,0,1,2},则A

B =

(A ){0,1}

(B ){?1,0,1} (C ){?2,0,1,2}

(D ){?1,0,1,2}

(2)在复平面内,复数

1

1i

-的共轭复数对应的点位于 (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限

(D )第四象限

(3)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为

(A )

12

(B )

56 (C )76

(D )

7

12

(4)设a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的

(A )充分而不必要条件

(B )必要而不充分条件

(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件

(5)“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为

这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等

于若第一个单音的频率f ,则第八个单音频率为

(A (B

(C )

(D )

(6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

(A )1 (B )2 (C )3

(D )4

(7)在平面坐标系中,,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧(如图),点P 在其

中一段上,角α以O 为始边,OP 为终边,若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是

(A )AB

(B )CD (C )EF

(D )GH

(8)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则

(A )对任意实数a ,(2,1)A ∈ (B )对任意实数a ,(2,1)A ? (C )当且仅当a <0时,(2,1)A ? (D )当且仅当3

2

a ≤

时,(2,1)A ? 第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)设向量a =(1,0),b =(?1,m ),若()m ⊥-a a b ,则m =_________.

(10)已知直线l 过点(1,0)且垂直于 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4,则

抛物线的焦点坐标为_________. (11)能说明“若a ﹥b ,则

11

a b

<”为假命题的一组a ,b 的值依次为_________.

(12)若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________. (13)若 ,y 满足12x y x +≤≤,则2y? 的最小值是_________.

(14)若ABC △222

)

a c

b +-,且∠C 为钝角,则∠B =_________;

c a 的取值范围是_________.

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题13分)

设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求12e e e n a a a +++.

(16)(本小题13分)

已知函数2()sin cos f x x x x =. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为3

2

,求m 的最小值. (17)(本小题13分)

电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(Ⅱ)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;学科*网

(Ⅲ)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) (18)(本小题14分)

如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD ,P A =PD ,E ,F 分别为AD ,PB 的中点.

(Ⅰ)求证:PE ⊥BC ;

(Ⅱ)求证:平面P AB ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求证:EF ∥平面PCD . (19)(本小题13分)

设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.

(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0,求a ; (Ⅱ)若()f x 在1x =处取得极小值,求a 的取值范围. (20)(本小题14分)

已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l

与椭圆M 有两个不同的交点A ,B . (Ⅰ)求椭圆M 的方程;学.科网 (Ⅱ)若1k =,求||AB 的最大值;

(Ⅲ)设(2,0)P -,直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71

(,)42

Q -

共线,求k . 参考答案

1.A 2.D

3.B 4.B 5.D 6.C 7.C 8.D

9.1-

10.(1,0)

11.11-(答案不唯一) 12.4 13.3

14.60(2,)?+∞

15.(共13分)

解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d , ∵235ln 2a a +=, ∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =. ∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (II )由(I )知ln 2n a n =, ∵ln2ln2e

e e =2n

n

a n n ==,

∴{e }n a

是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴2

12ln2ln2ln2e e e e e e n

n a a

a

++

+=++

+

2=222n +++

1=22n +-.

∴12e e e n a a a

+++1=22n +-.

16.(共13分)

【解析】(Ⅰ)

1cos 211π1

()22cos 2sin(2)2222262

x f x x x x x -=

+=-+=-+, 所以()f x 的最小正周期为2π

π2

T ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知π1

()sin(2)62

f x x =-+.

因为π[,]3x m ∈-,所以π5ππ

2[,2]666

x m -∈-

-. 要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32,即πsin(2)6x -在π

[,]3m -上的最大值为1.

所以ππ262m -≥,即π

3

m ≥.

所以m 的最小值为π

3

.

17.(共13分)

(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50, 故所求概率为

50

0.0252000

=. (Ⅱ)方法一:由题意知,样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372.

故所求概率估计为372

10.8142000

-

=. 方法二:设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .

没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.

由古典概型概率公式得1628

0.8142)00

(0P B =

=. (Ⅲ)增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 18.(共14分)

【解析】(Ⅰ)∵PA PD =,且E 为AD 的中点,∴PE AD ⊥. ∵底面ABCD 为矩形,∴BC AD ∥, ∴PE BC ⊥.

(Ⅱ)∵底面ABCD 为矩形,∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥平面PAD . ∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥,学科.网

∵PD ⊥平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . (Ⅲ)如图,取PC 中点G ,连接,FG GD .

∵,F G 分别为PB 和PC 的中点,∴FG BC ∥,且1

2

FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点, ∴1

,2

ED BC DE BC =

∥, ∴ED FG ∥,且ED FG =,∴四边形EFGD 为平行四边形, ∴EF GD ∥.

又EF ?平面PCD ,GD ?平面PCD , ∴EF ∥平面PCD . 19. (13分)

解:(Ⅰ)因为2

()[(31)32]e x

f x ax a x a =-+++, 所以2

()[(1)1]e x

f x ax a x '=-++.

2(2)(21)e f a '=-,

由题设知(2)0f '=,即2

(21)e 0a -=,解得12

a =

. (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得2()[(1)1]e (1)(1)e x x

f x ax a x ax x '=-++=--.

若a >1,则当1(,1)x a

∈时,()0f x '<; 当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在x =1处取得极小值.

若1a ≤,则当(0,1)x ∈时,110ax x -≤-<, 所以()0f x '>.

所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是(1,)+∞. 方法二:()(1)(1)e x f x ax x '=--. (1)当a =0时,令()0f x '=得x =1.

(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:

∴()f x 在x =1处取得极大值,不合题意. (2)当a >0时,令()0f x '=得121

,1a

x x =

=. ①当12x x =,即a =1时,2

()(1)e 0x

f x x '=-≥, ∴()f x 在R 上单调递增, ∴()f x 无极值,不合题意.

②当12x x >,即0

∴()f x 在x =1处取得极大值,不合题意.

③当12x x <,即a >1时,(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:

∴()f x 在x =1处取得极小值,即a >1满足题意. (3)当a <0时,令()0f x '=得121

,1a

x x =

=. (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:

∴()f x 在x =1处取得极大值,不合题意. 综上所述,a 的取值范围为(1,)+∞. 20.(共14分)

【解析】(Ⅰ)由题意得2c =,所以c =

又3

c e a =

=

,所以a =2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2

213

x y +=.

(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+,

由22

13

y x m x y =+???+=??消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2223644(33)48120m m m ?=-?-=->,即24m <,

设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,21233

4

m x x -=,

则12|||2

AB x x =-=,

易得当20m =

时,max ||AB =||AB

(Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y , 则2

2

1133x y += ①,2

2

2233x y += ②, 又(2,0)P -,所以可设1

112

PA y k k x ==

+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122

(2)13

y k x x y =+???+=??消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=, 则2113211213k x x k +=-+,即2

1312

11213k x x k =-

-+, 又1112y k x =

+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+, 所以1111712(

,)4747x y C x x --++,同理可得22

22712(,)4747

x y D x x --++.

故3371(,)44QC x y =+

-,4471

(,)44

QD x y =+-, 因为,,Q C D 三点共线,所以34437171

()()()()04444

x y x y +--+-=,

将点,C D 的坐标代入化简可得

12

12

1y y x x -=-,即1k =.

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