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2018年高考理科数学全国I卷试题及答案

2018年高考理科数学全国I卷试题及答案
2018年高考理科数学全国I卷试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1 ?答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 ?回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。

3 ?考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

、选择题:本题共 12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

1 i

1.设z

1 i

2i ,则 |z|

A ? 0

B 1

C ? 1

D ?

2

2

2.已知集合A

{ x|x 2 x

2 0},则 e R A

A ? {x| 1

x 2}

B ? {x 1 1 w x w 2}

C . {x|x

1} U{x|x

2}

D ? {x |x w 1} U{x|x > 2}

3?某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番

.为更好地

了解该地区农村的经济收入变化情况,

统计了该地区新农村建设前后农村的经济收

则下面结论中不正确的是 A ?新农村建设后,种植收入减少

B ?新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

绝密★启用前

入构成比例,得到如下饼图:

4?记

S n 为等差数列{a .}的前n 项和.若3S 3 S 2 S 4 , a i = 2,则=

A ? 12

B ? 10

C ? 10

D ? 12 3

5?设函数f (x) x

(a 1)x 2 ax .若

f(x)为奇函数,则曲线

y f (x)在点(0,0)处的

切线方程为

A ? y 2x

B ? y x

C ? y 2x

D ? y x

6?在 △ ABC 中,AD 为BC 边上的中线,

E 为AD 的中点,贝U uir

EB 3 urn 1 uuu A ? — AB AC

4 4

1 uuu B ? — AB 4 3 uuu

3 AC 4

3 UU U 1 uuu C ? - AB

—AC

1 uuu D ? -AB 3 uuu

3 AC

4 4

4 4

10 ?下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形

半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ,直角边AB , AC ? △ ABC 的三边所 面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A ? 2 17

B ? 2 5

C ? 3

D ? 2

8?设抛物线C : y 2= 4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为-的直线与C 交于M ,N

两点,贝U FM ?FN

A ? 5 B. ,6

9?已知函数

x

e ,

x w 0,

f(x)

'

c g(x)

In x,

x 0,

3

C . 7

D . 8

f(x) x a .若g(x)存在2个零点,贝U a 的

A ? [ 1,0)

B ? [0,)

C . [ 1, )

D ? [1,)

?此图由三个半圆构成,三个

围成的区域记为I, 此点取自I,n,

A ? Pl P 2

D ? P 1 P 2 P 3

7.某圆柱的高为 2,底面周长为16,其三视图如右图. 圆柱表面

上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为

B ,则在此圆柱侧

uuir uuu

取值范围是

黑色部分记为H,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点, 川的概率分别记为 p 1, p 2 , p 3,则

a

B ? P 1 P 3

C ? P 2

P 3

2

x 11.已知双曲线C:—-

3

2

y =:1 , O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的

两条渐近线的交点分别为M , N.若A OMN为直角三角形,则|MN |=

3 A.-

2

B. 3

C. 2.3

D. 4

12.已知正方体的棱长为 1 , 每条棱所在直线与平面所成的角都相等, 则截此正方

体所得截面面积的最大值为

A辽

4B.

2、3

3

C整

4

D -3

2

二、填空题:本题共4小题, 每小题5分,共20分。

x 2y 2 < 0,

13. __________________________________________________________________ 若x , y满足约束条件x y 1 > 0, 则z 3x 2y的最大值为 _________________________________ .

y w 0,

14. ________________________________________________________ 记S n为数列{a.}的前n项和.若S n 2寺1,则足 ______________________________________ .

15 .从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有

__________________ 种?(用数字填写答案)

16. _______________________________________________________已知函数f(x) 2si nx sin2x,贝U f (x)的最小值是________________________________________ .

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17?21题为必

考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17. (12 分)

在平面四边形ABCD中,ADC 90 , A

(1)求cos ADB ;

(2)若DC 2 2,求BC.

18. (12 分)

45 , AB 2 , BD 5.

2

如图,四边形ABCD为正方形,E , F分别为AD , BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF BF .

(1)证明:平面PEF 平面ABFD ;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值?

19. (12 分)

2

设椭圆C: - y21的右焦点为F ,过F的直线I与C交于A , B两点,点M的

2

坐标为(2,0).

(1)当I与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:OMA OMB.

20. ( 12 分)

某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作

检验,如检验出不合格品,则更换为合格品?检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验?设每件产品为不合格品的概率都为

p(0 p 1),且各件产品是否为不合格品相互独立

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值?已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为

X,求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

21. (12 分)

已知函数f(x) — x alnx.

x

(1)讨论f (x)的单调性;

(2)若f (x)存在两个极值点x , X2,证明:f (x J一切a 2 .

X1 X2

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题

计分。

22. [选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y k|x| 2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2 2 cos 3 0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若G与C2有且仅有三个公共点,求G的方程.

23. [选修4—5 :不等式选讲](10分)

已知f(x) |x 1| | ax 1|.

(1)当a 1时,求不等式f(x) 1的解集;

(2)若x (0,1)时不等式f(x) x成立,求a的取值范围.

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

C 2. B 3. A 4. B 5.

D B 8. D

9. C

10.

A

11 . B

填空题

6 14. 63

15. 16

16.

2

解答题

解:

(1)在

中 由正弦定理得

BD

AB

sin A

sin ADB '

由题设知,

5 sin 45 2

sin ADB

,所以sin ADB

5 * 由题设知, ADB 90 ,所以 cos ADB

1 2

23 25

5

(2)由题设及(1)

知,cos BDC sin

ADB

、选择题 5

在厶BCD 中, 由余弦定理得

1. 7

.

13. 17. 6. A 12. A

所以 18.解: (1) BC 2

BD 2 25 8 25.

BC 5.

由已知可得,

2

DC 2 BD

DC 5

cos BDC BF PF , BF EF ,所以 BF 平面

PEF

又BF 平面ABFD ,所以平面 PEF 平面ABFD .

ABFD 的法向量?

19.解:

(1)由已知得F(1,0) , I 的方程为x 1.

所以AM 的方程为y 2 x 2或y 2 x 2

2 2

(2)当I 与x 轴重合时, OMA OMB 0 .

2 , x 2,直线MA , MB 的斜率之和为k MA 由 y 1 kx 1 k , y 2 kx 2 k 得

(2)作PH EF ,垂足为H ?由(1)得, PH 平面 ABFD .

uuu 以H 为坐标原点,HF 的方向为y 轴正方 uuu

向,|BF |为单位长,建立如图所示的空间直角 坐标系H xyz. 由(1)可得,DE PE .又 DP 2 , DE 1

,

所以PE 3.又PF EF 2,故 PE PF .

可得PH —, 2

EH 则 H (0,0,0) , P(0,0,

4>,

D( 1, 3,0), 2

uut

3

DP

(1,2,

uut ,HP

(0,0」)为平面

2

k

MA

k

MB

2kx 1x 2 3k(x 1 x 2) 4k

(X 1 2)(x 2 2)

设DP 与平面ABFD 所成角为

,则 sin

uuu urn HP DP | -utu | |HP||DP| 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为

3 4

由已知可得,点 A 的坐标为(1

或(1,

当I 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以 OMA

OMB .

当I 与x 轴不重合也不垂直时,设I 的方程为y k(x

1)(k

0)

,A(X 1,yJ ,B(X 2,y 2),

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