历年全国卷高考数学真题大全解析版.doc

全国卷历年高考真题汇编 三角

1（ 2017 全国 I 卷 9 题）已知曲线 C 1 : y

cosx ， C 2 : y sin 2 x

2π

，则下面结论正确的是（）

3

A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π个单

6

位长度，得到曲线 C 2

B ．把

C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π 个单

12 位长度，得到曲线 C 2

C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的

1

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π个单

2

6

位长度，得到曲线 C 2

D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

个单

12

位长度，得到曲线 C 2

【答案】 D

【解析】 C 1 : y cosx ， C 2 : y sin 2x 2π

3

【解析】 首先曲线 C 1 、 C 2 统一为一三角函数名，可将 C 1 : y cosx 用诱导公式处理．

【解析】 y cosx

cos x π π sin x

π

．横坐标变换需将

1变成2

，

2 2 2

π C 1上各 点横 坐标缩 短它原 1

π

π

2

【解析】 即 y sin x

来

y sin 2 x

sin 2 x

2

2

4

【解析】

y sin 2x

2π sin2 x π ．

3 3

【解析】 注意 的系数，在右平移需将

2 提到括号外面，这时 x π π

平移至 x

3 ，

4

【解析】 根据“左加右减”原则，“

x

π

π

π ，即再向左平移 π 4 ”到“ x

”需加上

12 12

3

2 （2017 全国 I 卷 17 题） △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c

，已知 △ ABC 的

面积为 a 2

．

3sin A （1）求 sin B sin C ；

（2）若 6cos B cosC 1 ， a 3 ，求 △ ABC 的周长．

【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用 .

【解析】 （ 1） ∵ △ ABC 面积 S

a 2

1

. 且 S

bc sin A

3sinA

2

【解析】 ∴

a 2

1

bcsin A

3sin A 2

【解析】 ∴ a 2

3

b c sin 2 A

2

【解析】 ∵由正弦定理得

2

3

2

A ，

sin A

sin B sin C sin

2

由 sin A 2

0 得 sin Bsin C

.

3

（ 2）由（ 1）得 sin B sin C 2

1

， cosB cos C

3

6

∵ A B C π

∴ cos A cos π B

C

cos B

C

1 sin B sinC cosB cosC

2

又 ∵ A 0，π

∴ A

60 ， sin A

1

3

， cos A

2

2

由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 bc 9 ①

由正弦定理得 b a sin B ， c a

sin C

sin A

sin A ∴ bc

a 2

sin BsinC 8

②

sin 2 A 由①②得 b

c

33

∴ a b

c 3 33 ，即 △ ABC 周长为 333

3. (2017 ·新课标全国Ⅱ卷理 17)17.

（12 分）

ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c , 已知 sin( A C) 8sin 2

B

．

(1) 求 cosB

2

(2) 若 a c 6 ,

ABC 面积为 2, 求 b.

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．

【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知

A C

B ，将 sin( A

C ) 8sin 2

B

转化

2

为角 B 的方程， 思维方向有两个： ①利用降幂公式化简 sin

2 B ，结合 sin 2 B cos 2 B

1求出 cos B ；②

2

利用二倍角公式， 化简 sin B

8sin 2

B

，两边约去 sin B

，求得 tan B

，进而求得 cos B . 在第（Ⅱ）中，

2

2 2

利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出 a c 、 ac ，从而求出 b ．

（Ⅰ）

【基本解法 1】

由题设及 A

B C, sin B

8sin 2

B

，故

2

上式两边平方，整理得

17cos 2B-32cosB+15=0

解得 cosB=1（舍去）， cosB=

15

17

【基本解法 2】

由 题 设 及 A B C

,sin B

8sin 2

B ， 所 以 2 sin B cos B

8sin 2

B ， 又 sin B

0 ， 所 以

2 2 2 2 2

B 1

1 tan

2 B

15

，

cosB

2

tan

4

B

17

2

1 2

tan 2

（Ⅱ）由 cosB=

15

得 sin B 8 ，故 S ABC 1

acsin B 4

ac

17

17 2 17 又 S ABC =2，则 ac 17

2

由余弦定理及 a c

6 得

所以 b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定

理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”

“角转边”，另外要注意 a c, ac, a 2 c 2 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．

4 （ 2017全国卷 3理） 17．（ 12分）

ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin A 3 cos A 0 ， a 2 7 ， b 2 ．

（ 1）求 c ；

（ 2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD

AC ，求 △ ABD 的面积． 【解析】（ 1）由 sin A 3cos A 0 得 2sin A π 0 ，

3

即 A π

k πk Z ，又 A 0, π ， 3 2π

∴ A π π，得 A

3 .

3

1

2

b 2

2

2bc cos A . 又 ∵ a 2

7, b

由 余 弦 定 理 a

c

2,cos A

代入并整理得

2

2

c 1

25 ，故 c 4 .

（ 2）∵ AC

2, BC

2 7, AB

4 ，

2

2

2

2 7 .

由余弦定理 cos C

a b c

2ab 7 ∵ AC

AD ，即 △ACD 为直角三角形，

则 AC CD cosC ，得 CD 7 .

由勾股定理 AD

CD

2

2

3 .

AC 又 A

2π

DAB

2π π π

3 ，则

3 2 6 ，

S △ABD

1

AD AB sin

π

3 .

2 6

5 （ 2017 全国卷文 1） 14 已知 a

π

,tan α =2，则

cos

(

π

(0， ) ) =__________。

2

4

【答案】

3

10

10

（法一）

0, ， tan

2

sin

2 sin

2cos ，

cos

2

又 sin

2

cos 2

1，解得 sin

2 5

，cos 5 ， cos

4 2

(cos

sin )

3 10．

5

5

2

10

（法二） cos(

) 2

( cos

sin )

4

2

cos 2

4

1 sin cos ．又

tan 2

2

sin cos

sin cos tan

2

， cos 2

9 ，

sin 2 cos 2

tan 2

1 5

4

10

由

0, 知

， cos

0 ，故

cos

3 10

4

4

4

10

2

4

4 6. （ 2017 全国卷 2 文） 3. 函数 f (x)

sin(2 x

π

) 的最小正周期为

3 A. 4π

B.

2π

C.

π

D.

π

2

【答案】 C

【解析】由题意 T

2

，故选 C.

2

【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数 y Asin( x ) B(A

0,

0) 的性质

(1) y max =A+B ， y min A B .

2

(2)周期T.

(3) 由

x π

k π(k

Z ) 求对称轴

2

3π (4) 由

π x π 2k π(k Z)求增区间 ;

π x

2k π

2

由2k π

2k π(k Z ) 求减区

2

2

2

间 ;

7（ 2017 全国卷 2 文） 13. 函数 f ( x)

2cos x sin x 的最大值为

.

【答案】

5

8（ 2017 全国卷 2 文） 16.

ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c , 若 2bccosB a cosC c cos A ,

则 B

【答案】

3

9（ 2017 全国卷 3 文） 4 ．已知 sincos

4 ，则

3

7 2 C ． A ．

B ．

9

9

sin 2 =（

）

2

D ． 7

9 9

【答案】 A

10 （ 2017 全国卷 3 文） 6．函数f ( x)= 1

sin( x+

3

)+cos( x? ) 的最大值为（）5 6

A．6

B． 1 C．

3

D．

1 5 5 5

【答案】 A

【解析】由诱导公式可得：cos x cos x sin x ，

6 2 3 3

则： f x 1

sin x sin x

6

sin x , 5 3 3 5 3

函数的最大值为 6 .

5 本题选择 A选项 .

7．函数

y =1+ +

sin x

的部分图像大致为（）x x

2

A B

D．

C D

【答案】 D

1、（ 2016 全国 I 卷 12 题）已知函数 f ( x) sin( x+ )( 0，πππ), x 为 f (x) 的零点，x

2 4 4

为 y f (x) 图像的对称轴，且

π 5π

单调，则的最大值为

f ( x) 在( ， )

18 36

（ A） 11?????? ?? （ B）9????? （ C） 7??????? ?（D）5 【答案】 B

考点：三角函数的性质

2、（ 2016 全国 I 卷 17 题）（本小题满分 12 分）

△ABC 的内角A，B， C的对边分别

为a， b，c，已知2cosC( a cosB+b cos A) c.

（I ）求C；

（ II ）若 c

7, △ ABC 的面积为

3 3

，求 △ABC 的周长．

2

【答案】（ I ） C

（ II ） 5 7

3

【解析】

试题解析：（ I ）由已知及正弦定理得， 2cosC sin cossin cos sinC ，

2cosCsin

sinC ．

故 2sinCcosC sinC ．

可得 cosC

1

．

，所以 C

2

3

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

3、（ 2015 全国 I 卷 2 题） sin20 °cos10° -con160 ° sin10 °=

（ A ）

3 （B ）

3

（C ）

1

（D ）

1

2

2 2

2

【答案】 D 【解析】

试题分析： 原式 =sin20 ° cos10 °+cos20 °sin10 ° =sin30 ° = 1

，故选 D.

2

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

4、（ 2015 全国 I 卷 8 题） 函数 f (x) = cos(

x

) 的部分图像如图所示，则 f ( x) 的单调递减区

间为

(A) （k π -

1

3

∈

（

π 1

π

3

4 , k π + ） ?? (b) 2k - 4 , 2k + ） ,k ∈??

4, ,k

4

1

3

1 3

(C) （k - 4 ,k + 4）,k ∈?? (D) （2k - 4 ,2k + 4 ）,k ∈??

【答案】 D 【解析】

1

+

试题分析： 由五点作图知，

4

2 ，解得 = ， =

，所以 f ( x) cos( x

) ，令

5 3

4

4

+

2

4

2kx

2k ,k

Z ，解得 2k

1 3

， k Z ，故单调减区间为（

1 4

＜ x ＜ 2k

4 2k ，

4

4

3 2k

）， k Z ，故选 D.

4

考点：三角函数图像与性质

5、（ 2015 全国 I 卷 16 题） 在平面四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=∠C=75°， BC=2，则 AB 的取值范

围是

【答案】（ 6

2 ， 6+ 2 ）

【解析】

试题分析：如图所示，延长 BA ，CD 交于 E ，平移 AD ，当 A 与 D 重合与 E 点时， AB 最长，在 △BCE 中，∠ B=∠ C=75°，∠ E=30°， BC=2，由正弦定理可得

BC

BE ，即

sin E sin

2

BE

C

，解得 BE = 6+ 2 ，平移 AD ，当 D 与 C 重合时， AB 最短，此时与 AB 交

于

sin 30 o

sin 75 o

BF

BC

F ，在△ BCF 中，∠ B=∠BFC=75°，∠ FCB=30°，由正弦定理知，

，即

sin BFC

sin FCB

BF 2

，解得 BF= 6

2 ，所以 AB 的取值范围为（ 6

2 ， 6+ 2）.

sin 30 o

sin 75 o

考点：正余弦定理；数形结合思想

6. （ 2014 全国 I

卷 8 题）设

(0, ) ，

1 sin ，则

(0, ) ，且 tan

cos

2

2

A . 3

2

B . 2

2 C . 3

D . 2

2

2

【答案】：Ｂ

【解析】：∵ tan sin 1 sin ，∴ sin cos

coscos sin

cos

cos

sin

cos

sin

，

2

2

,0

2

2 2

∴

2

，即 2

，选 B

2

7、（ 2014 全国 I 卷 16 题）已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a =2，且

(2 b)(sin A sin B)

(c b)sin C ，则 ABC 面积的最大值为

.

【答案】： 3

【解析】：由 a

2 且 (2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ，

即 (a b)(sin A

sin B) (c b)sin C ，由及正弦定理得：

(a b)(a b) (c b)c

∴ b2 c2 a2 bc ，故 cos A b2 c2 a2 1 ，∴ A 600，∴ b2 c2 4 bc

2bc 2

4 b 2 c2 bc bc ，∴ S ABC 1

bc sin A 3 ，

8、（2013全国 I 卷 15题）设当

=

2

f

(

x

) ＝sin

x

－ 2cos

x

取得最大值，则 cosθ=______

θ

时，函数

x

【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵ f (x) =sin x 2cos x = 5( 5

sin x

2 5

cos x) 5 5

令 cos = 5

， sin 2 5 ，则 f (x) = 5(sin x cos sin cos x) = 5 sin( x ) ，5 5

当 x = 2k , k z，即 x = 2k

2 ,k z 时， f (x) 取最大值，此时= 2k , k z ，

2 2

∴ cos = cos(2k ) = sin 2 5

.

2 =

5

9、（ 2013全国 I 卷 17题）（本小题满分 12分）

如图，在△ ABC中，∠ ABC＝ 90°， AB= 3 ， BC=1， P为△ ABC内一点，∠ BPC＝

90°

1

(1) 若 PB= ，求 PA；

2

(2) 若∠ APB＝ 150°，求 tan ∠ PBA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.

【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60o o

在△

，∴∠ PBA=30，

PBA中，由余弦定理得PA2 = 3 1 2 3 1 cos30o= 7

，∴PA=

7

；

4 2 4 2

（Ⅱ）设∠ PBA= ，由已知得，

sin

，在△ PBA中，由正弦定理得， 3 sin ，PB=

sin150o sin(30o )

化简得， 3 cos 4sin ，

∴ tan = 3

，∴ tan PBA = 3 .

4 4

10、（ 2016 全国 II 卷 7 题）若将函数y=2sin 2 x 的图像向左平移

π个单位长度，则平移后图象的对称轴

12

为

（ A） x kπ πk Z （ B） x kπ πk Z

2 6 2 6

（ C） x kπ πk Z （D） x kπ πk Z

2 12 2 12

【解析】 B

平移后图像表达式为

y 2sin 2 x

π ，

12

令 2 x

π π x k π π k Z ，

k π+ ，得对称轴方程：

12 2 2 6

故选 B ．

11、（ 2016 全国 II 卷 9 题）若 cos π

3 ，则 sin 2 =

4

5

（A ）

7

（B ）

1

（ C ） 1 （ D ） 7

25

5

5

25 【解析】 D

∵ cos

3

， sin 2

cos π 2

2cos 2

π

1

7 ，

4

5

2 4

25

故选 D ．

12、（2016 全国 II 卷13题）

△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别

为 4 ，cosC

5 1 ，

a ，

b ，

c ，若 cos A

，a

5

13

则 b ．

【解析】

21

13

∵ cos A

4 5

， cos C

，

5

13

sin A

3 12

， sin C ，

5

13

sin B sin A C sin A cos C cos Asin C 63 ，

65

由正弦定理得： b a 解得 b 21

sin A ．

sin B 13

13、（ 2015 全国 II 卷 17 题） ?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ， ?ABD 是 ?ADC 面积的 2 倍。 ( Ⅰ) 求

sin

B ; sin

C

(Ⅱ) 若 AD =1， DC =

2

求BD 和 AC 的长.

2

14、（ 2014 全国 II 卷 4 题）钝角三角形 ABC 的面积

是

1

， AB=1， BC= 2 ，则 AC=( )

2

A. 5

B.

5

C. 2

D. 1

【答案】 B 【 KS5U 解析】

15、（ 2014 全国 II 卷 14 题）函数

f x sin x 2 2sin cos x

的最大值为 _________.

【答案】 1

【 KS5U 解析】

16、（ 2013 全国 II 卷 15 题）设θ为第二象限角，若 tan 1 ，则 sin cos =_________.

2

4

17、（ 2013 全国 II 卷 17 题）（本小题满分12 分）

△ABC在内角 A、 B、C 的对边分别为 a，b， c，已知a=bcosC+csinB。

（Ⅰ）求 B；

（Ⅱ）若 b=2，求△ABC面积的最大值。

18、（ 2013 全国 III卷5题）若

(A) 64

(B)

25

【答案】 A tan 3 ，则 cos2 2sin 2

4

48

(C) 1

16

25

(D)

25

【解析】

试题分析：由 tan 3 ，得 sin 3

,cos 4 或 sin

3

,cos 4 ，所以

4 5 5 5 5

cos2 2sin 2 16 4 12 64 ，故选 A．

25 25 25

考点： 1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

19、（ 2013 全国 III 卷 8 题）在△ABC中， B = π

，BC边上的高等于 1 B C , 则cos A = 4 3

（A）3 10

（B）

10

（C）- 10 （D）- 3 10 10 10 10 10

【答案】 C

【解析】

试题分析：设 BC边上的高线为 AD ，则 BC 3AD ，所以 AC AD 2 DC 2 5AD ，

AB2 AC 2 BC 2 2AD 2 5AD2 9AD2 10

AB2 AD ．由余弦定理，知cos A

2AB AC 2 2AD 5 AD 10

考点：余弦定理．

，故选 C．

20、（ 2013 全国 III卷14题）函数y sin x 3 cos x 的图像可由函数y sin x 3 cos x 的图像至少

向右平移 _____________个单位长度得到．

【答案】

3

【解析】

试题分析：因为y sin x 3 cos x 2sin( x) ， y sin x 3 cos x 2sin( x) ＝

3 3

2sin[( x ) ] ，所以函数 y sin x 3cos x 的图像可由函数 y sin x 3 cos x 的图像至少向右 3 3 平移个单位长度得到．

3

考点： 1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．