2019年高考文科数学全国2卷含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 文科数学
1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=?B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ
2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --
3. 已知向量(2,3)=r a ， (3,2)=r b ，则-=r r
a b （ ）
A.
B. 2
C. D. 50
4. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23 B. 35
C. 25
D. 15
5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
6. 设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-x
f x e ，则当0 7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 8. 若 123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B. 3 2 C. 1 D.12 9.若抛物线)0(22 >=p px y 的焦点是椭圆 132 2=+p y p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8 10. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A. 10x y π---= B. 2210x y π---= C. 2210x y π+-+= D. 10x y π+-+= 11. 已知(0, )2 π α∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ） A. 15 B. C. 3 D. 5 12.设F 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的 圆与圆222 x y a +=交于,P Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为: A.2 B.3 C.2 D.5 二、填 空题 13.若变量,x y满足约束条件 2360 30 20 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?-≤ ?则 3 z x y =-的最大值是 . 14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 15. ABC ?的内角,, A B C的对边分别为,, a b c.已知sin cos0 b A a B +=，则B= . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 三、解答题 17.如图，长方体 1111 ABCD A B C D -的底面ABCD是正方形，点E在棱 1 AA上， 1 BE EC ⊥. （1）证明： BE⊥平面11 EB C （2）若1 AE AE =,3 AB=,求四棱锥 11 E BB C C -的体积. 18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式： (2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和. 19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表. y 的分组 [)0.20,0- [)0,0.20 [)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602≈. 20. 已知12,F F 是椭圆C ：22 221(0,0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐 标原点. （1）若2POF ?为等边三角形，求C 的离心率； （2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ?的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点； （2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 四、选做题（2选1） 22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点 (4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当03 π θ= 时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23. [选修4-5：不等式选讲] 已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围. 2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷 ） 文科数学答 案 1. 答案：C 解析： {}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=?B A . 2. 答案：D 解析： 因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 答案：A 解答： 由题意知(1,1)-=-r r a b ，所以-=r r a b 4. 答案：B 解答： 计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有 (1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()() 2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则 恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为 3 5. 5. 答案：A 解答： 根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 答案：D 解答： 当0 f x e ，又()f x 为奇函数， 有()()1-=--=-+x f x f x e . 7. 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. 8. 答案：A 解答： 由题意可知32 442T πππ =-= 即T=π,所以=2ω. 9.答案：D 解析： 抛物线)0(22 >=p px y 的焦点是)0,2 (p ，椭圆 1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴ p p 22 =，∴8=p . 10. 答案：C 解析： 因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案：B 解答： (0,)2 π α∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+?=， 则1 2sin cos tan 2 ααα=?= ，所以cos α==， 所以sin α==. 12. 答案：A 解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2 222)2??? ??=+-c y c x （-----①，圆的方程2 2 2 a y x =+-----②，则①-②，化简得到c a x 2=，代入②式，求得c ab y ±=， 则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2c ab c a -（，故c ab PQ 2=，又OF PQ =,则 ,2c c ab =化简得到2222b a c ab +==，b a =∴，故2222==+= =a a a b a a c e .故选A. 二、填空题 13. 答案：9 解答： 根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案：0.98 解答： 平均正点率的估计值0.97100.98200.9910 0.9840 ?+?+?= =. 15.答案：34 π 解析： 根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=,即()sin sin cos 0A B B +=，显然 sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，故34 B π= . 16.答案：26 1 解析： 由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题 17. 答案： （1）看解析 （2）看解析 解答： （1）证明：因为 11B C C ⊥面11A B BA ，BE ⊥面11A B BA ∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ?=，∴BE ⊥ 平面 11EB C ； （2）设12AA a =则 229BE a =+，22118+a C E =，22 194C B a =+ 因为222 11=C B BE C E + ∴3a =，∴ 11111h 3E BB C C BB C C V S -=1 363=18 3 =??? 18.答案： （1）1 22-=n n a ； （2）2n 解答： (1)已知162,2231+==a a a ，故16212 1+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故 4=q ，则12111242---=?==n n n n q a a . (2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22 )]12(1[n n n =-+. 19. 答案： 详见解析 解答: （1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721 100100 += ， 这类企业中产值负增长的企业比例是 2100 . （2）这类企业产值增长率的平均数是 ()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-?+?+?+?+?÷=???? 这类企业产值增长率的方差是 ()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296??--?+-?+-?+-?+-?÷=?? 所以这类企业产值增长率的标准差是 2 8.6020.172040.17100 = =?=≈. 20. 答案： 详见解析 解答: （1）若2POF ?为等边三角形，则P 的坐标为,22c c ?? ± ? ?? ?，代入方程22221x y a b +=，可得 22 223144c c a b += ，解得24e =± 1e =. （2）由题意可得122PF PF a +=u u u u r u u u u r ，因为12PF PF ⊥，所以22 2 124PF PF c +=u u u r u u u u r ， 所以()2 2 12 1224PF PF PF PF c +-?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，所以222122444PF PF a c b ?=-=u u u r u u u u r ， 所以2 122PF PF b ?=u u u r u u u u r ，所以122121162 PF F S PF PF b ?=?==u u u r u u u u r ，解得4b =. 因为( ) 212 124PF PF PF PF +≥?u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，即()21224a PF PF ≥?u u u r u u u u r ，即2 12a PF PF ≥?u u u r u u u u r ， 所以232a ≥ ，所以a ≥21. 答案： 见解析 解答： （1）1()ln (0)'=- >f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211 ()0'=+>g x x x 则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=- ，11 (2)ln 2ln 022 =->=g ， 所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ， 当00< 1 ln = x x ， 000000000 11 ()(1)ln 1(1) 1()0=---=---=-+ 1113( )(1)(2)110=----=->f e e e e ，2222 ()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点. 设12()()0==f x f x ，(1)20=- 有1111111 (1)ln 10ln 1+---=?= -x x x x x x ， 2222221 (1)ln 10ln 1 +---=?= -x x x x x x ， 设1()ln 1+=- -x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1 ()()0+=h x h x ， 则12()()0+=h x h x 时，有121=x x . 22.答案： （1 ）0ρ=l 的极坐标方程：sin()26 π ρθ+ =； （2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ?? ∈???? . 解析： （1）当03 π θ= 时 ，00=4sin 4sin 3 π ρθ== 以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，在直角坐标 系中有M ，(4,0)A ， OM k =，则直线l 的斜率3k =- ，由点斜式可得直线l ：(4)3 y x =- -，化成极坐标方程为sin()26 π ρθ+ =； （2）∵l OM ⊥∴2 OPA π ∠= ，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方 程为2 2 (2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθ ρθ =?? =?可得4 π θ= ，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ??∈? ??? . 23.答案（1）看解析 （2）看解析 解答： （1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ?-+≥? =-+--=-< 所以不等式()0f x <等价于224202 x x x ?-+ 1x x x ?-+- 等式的解集为{} 2x x <。 （2）当1a ≥时，由(,1)x ∈-∞，可知()2()(1)0f x a x x =--<恒成立，当1a <时根据条件可知()0f x <不恒成立。所以a 的取值范围是1a ≥。