历年高考数学真题全国卷版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 2．(2013大纲全国，理2)

3＝( )．

A ．－8

B ．8

C ．－8i

D ．8i

3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

4．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．

A ．(－1,1)

B ．11,2??-- ??

? C ．(－1,0) D ．1,12?? ?

?? 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ??+ ?

?

?

(x ＞0)的反函数f －1

(x )＝( )．

A ．121x -(x ＞0)

B ．1

21x

-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x

－1(x ＞0)

6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝4

3

-，则{a n }的前10项和等于( )．

A ．－6(1－3－10)

B ．1

9(1－310) C ．3(1－3－10)

D ．3(1＋3－10)

7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．

A ．56

B ．84

C ．112

D ．168

8．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：2

2=143

x y

+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点

P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值

范围是( )．

A ．13,24??????

B ．33,84??????

C ．1,12??????

D ．3,14??

?

???

9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1

,2??+∞ ???

是增函数，则a 的取值范围是( )．

A ．[－1,0]

B ．[－1，＋∞)

C ．[0,3]

D ．[3，＋∞) 10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则

CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．

A ．23

B ．

C ．3

D ．1

3

11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的

焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ?=u u u r u u u r

，则k ＝( )．

A ．1

2 B ．2 C ．2

12．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．

A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称

B ．y ＝f(x)的图像关于直线

π

=2x 对称

C．f(x)

的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是

周期函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝1

3

-，则cot α＝__________.

14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)

15．(2013大纲全国，理15)记不等式组

0,

34,

34

x

x y

x y

≥

?

?

+≥

?

?+≤

?

所表示的平面区域为

D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．

16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝3

2

，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为

S n.已知S3＝2

2

a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.

(1)求B；

(2)若sin A sin C

，求C

19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD 都是等边三角形．

(1)证明：PB ⊥CD ；

(2)求二面角A －PD －C 的大小．

20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，

每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为

1

2

，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．

21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：22

22=1x y a b

-(a

＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个

(1)求a ，b ；

(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．

22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝

1ln(1+)1x x x x

λ(+)

-

+. (1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值；

(2)设数列{a n }的通项111=1+23

n a n

+++L ，证明：a 2n －a n ＋

1

4n

＞ln 2.

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B

解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A

解析：

323=13=8-.故选A. 3． 答案：B

解析：由(m ＋n )⊥(m －n )?|m |2－|n |2＝0?(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0?λ＝－3.故选B. 4． 答案：B

解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12

-.故选B. 5． 答案：A

解析：由题意知11+x

＝2y ?x ＝1

21

y -(y ＞0)， 因此f －1(x )＝

1

21

x -(x ＞0)．故选A.

6． 答案：C

解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13

n a -.∴数列{a n }是以13

-为公比的等比数列．∵a 2＝43

-，∴a 1＝4.

∴S 10＝

101413113

????--??

???????+＝3(1－3－10)．故选C. 7． 答案：D

解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为2

8C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数

为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.

8． 答案：B

解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则22

00=143

x y +，

20

02PA y k x =

-，1002

PA y k x =+，于是12

2

2

0222003334244

PA PA x y k k x x -

?===---. 故1

2

31

4PA PA k k ＝－

. ∵2

PA k ∈[－2，－1]，

∴1

33

,84PA k ??∈????

.故选B. 9． 答案：D

解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －

21x ≥0在1,2??

+∞ ???

上恒成立，即2

12a x x ≥-在1,2??+∞ ???上恒成立．∵函数2

12y x x =-在1,2??

+∞ ???

上为减函数，∴max 2

11

<23212y -?=??

???

.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A

解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .

∵11BD AC

BD AA AC AA A ⊥??

⊥??=?I 1111BD ACC A CH ACC A ⊥?

?

??

平面平面

11=CH BD CH C O

BD C O O ⊥??⊥?

??

I CH ⊥平面C 1BD ，

∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝

2，则2

=

2AC OC ，2

222

11293=22222C O OC CC ??+=+ ? ???

由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322

222

CH ??， ∴2=3

CH .

∴sin ∠HDC ＝2

2

3==13

HC DC .故选A.

11． 答案：D

解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22

42k k

(+)

，x 1x 2＝4.① 由1122

22y k x y k x =(-)??=(-)?

∵0MA MB ?=u u u r u u u r

，

∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C

解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0

，得=3

t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；

当t =

；

当t =

. ∴g (t )max

，

即f (x ).故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：

解析：由题意知cos α＝3

==-.

故cot α＝

cos sin α

α

. 14．答案：480

解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的

5个间隔中，有2

5A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480?=(种)．

15．答案：1

,42??

????

解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影

部分所示．

∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12

BC k =，k AC ＝4， ∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点， 则12

≤a ≤4. 16．答案：16π

解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点， 则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.

又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .

又OK ⊥EK ，∴32

＝OE R

∴R ＝2.

∴S ＝4πR 2＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：设{a n }的公差为d .

由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．

若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．

解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .

由余弦定理得cos B ＝

2221

22

a c

b a

c +-=-， 因此B ＝120°.

(2)由(1)知A ＋C ＝60°，

所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin

A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1

1+2242

?

=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 19．

(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．

过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .

连结OA ，OB ，OD ，OE .

由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，

所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .

因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .

(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .

又PD ?平面PBD ，所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .

连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .

设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝1

2

PB ＝1，

故AG 3.

在△AFG 中，FG ＝12

CD =AF =AG ＝3，

所以cos ∠AFG ＝2222FG AF AG FG AF +-=??

因此二面角A －PD －C

的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直． 以O

为坐标原点，OE uuu r

的方向为

x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标

系O －xyz .

设|AB u u u r

|＝2，则A

(，0,0)，D (0

，，0)，C

(

，，0)，P (0,0

，．

PC uuu r ＝

(

，)，PD u u u r

＝(0

，

，)．

AP u u u r ＝

，AD u u u r

＝

，0)． 设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC uuu r

＝

(x ，y ，z

)·(

，

，)＝0，

n 1·PD u u u r

＝(x ，y ，z

)·(0，

，)＝0，

可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.

取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．

设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP u u u r

＝(m ，p ，q

＝0，n 2·AD u u u r

＝(m ，p ，q

，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.

取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2

〉＝

1212||||3

=-

·n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大

小为π-20．

解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．

则A ＝A 1·A 2.

P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14

.

(2)X 的可能取值为0,1,2.

记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝18

，P (X ＝2)＝P (1B ·B 3)＝

P (1B )P (B 3)＝1

4，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848

--=，EX ＝0·P (X

＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98

. 21．

(1)解：由题设知c

a

＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2.

所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.

将y ＝2代入上式，求得x =

由题设知，=a 2＝1.

所以a ＝1，b ＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，

k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝2298

8

k k +-.

于是|AF 1|

(3x 1＋1)，

|BF 1|

3x 2＋1.

由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝2

3

-.

故226283k k =--，解得k 2＝45

，从而x 1·x 2＝199-.

由于|AF 2|

1－3x 1，

|BF 2|

3x 2－1，

故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.

因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列． 22．

(1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝2

2

121x x x λλ(-)-(+)，f ′(0)＝0.

若12

λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若12

λ≥，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是12

.

(2)证明：令12

λ=.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0，

即

2ln(1)22x x x x (+)

>++． 取1x k

=，则

211

>ln 21k k k k k

++(+).

于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=??

-+=+??+??

∑ ＝21

21

211

ln 21n n k n k n

k k k k k --==++>(+)∑∑

＝ln 2n －ln n ＝ln 2. 所以21

ln 24n n a a n

-+

>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷I)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．

A ．A ∩

B ＝

B ．A ∪B ＝R

C ．B ?A

D ．A ?B

2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．

A ．－4

B ．45-

C ．4

D ．4

5

3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：22

22=1x y a b

-(a ＞0，b

＞0)C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ±

B ．y ＝13x ±

C ．y ＝12x

± D ．y

＝±x

5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5]

6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当

球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

A ．500π3cm3

B ．866π

3cm3 C ．1372π3cm3 D ．2048π

3cm3

7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：22

22=1x y a b

+(a ＞b ＞0)的右焦点为

F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则

E 的方程为( )．

A ．22=14536x y +

B ．22=13627x y +

C ．22

=12718x y + D ．22=1189x y +

11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ?-+≤?+>?

，，

，若|f (x )|≥ax ，

则a 的取值范围是( )．

A ．(－∞，0]

B ．(－∞，1]

C ．[－2,1]

D ．[－2,0] 12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝

2

n n

c a +，c n ＋1＝

2

n n

b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列 C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题

考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.

14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和

21

33

n n

S a

=+

，则{an}

的通项公式是an＝_______.

15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC

＝90°，AB

BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC

＝90°.

(1)若PB＝1

2

，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1

，

2

且各件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P 处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE 交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数

方程

已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t

=+??

=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；

(2)设a ＞－1，且当x ∈1

,22a ??-???

?时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．