2019年高考数学理科数学概率与统计分类汇编

2019年高考数学理科数学概率与统计

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7

D ．0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差

D ．极差 【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为1234

89x x x x x x <<<<<．

则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，

A 正确； ②原始平均数1234891

()9x x x x x x x =

<<<<<，后来平均数234

81

()7

x x x x x '=<<<，平均数

受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2

222111

[()()()]9q S x x x x x x =

-+-++-，22222381

[()()()]7

s x x x x x x '=-'+-'+

+-'，由②

易知，C 不正确；

④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大

【解析】方法1：由分布列得1()3

a

E X +=， 则2222111111211

()(

0)()(1)()333333926

a a a D X a a +++=-?+-?+-?=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．

方法2：则2222

21(1)222213

()()()0[()]3399924

a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，

则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．

4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】

5

3

【解析】由题意，该组数据的平均数为

6788910

86

+++++=，

所以该组数据的方差是2

2

2

2

2

2

15[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]6

3

-+-+-+-+-+-=

． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98

【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．

【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2?+?+?=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为

39.2

0.9840

=． 6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18

【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是3

0.60.50.520.108,???=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是2

2

0.40.60.520.072,???=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=

7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：

记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．

【答案】（1）0.5；（2）0.1．

【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．

（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×

0.4]×0.5×0.4=0.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2

3

．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）

20243

． 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为2

3

，故2~(3,)3

X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,33

3

k

k

k

P X k k -===．

所以，随机变量X 的分布列为

X

0 1 2 3

P

127 29 49 827

随机变量X 的数学期望()323

E X =?=．

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3

Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，

且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====

(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==

(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==

824120279927243

=

?+?=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为

主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

支付方式

（0，1000]

（1000，2000]

大于2000

仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B

10人

14人

1人

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．

【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100?30?25?5=40人．

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为40

0.4100

=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．

记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141

()0.4,()0.63025

P C P D ++=

===． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，

(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=?-+-?

0.52=，

(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

0.24

0.52

0.24

故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =?+?+?=．

（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得330

11

()C 4060P E ==． 答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：

P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．

11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为

此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,

,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认

为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,

,7)i =，其中

(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,

,7)i =为等比数列；

(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 1

27

p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．

(1)(1)P X αβ=-=-，

(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，

(1)(1)P X αβ==-，

所以X 的分布列为

X 1- 0 1

P

(1)αβ-

(1)(1)αβαβ+-- (1)αβ-

（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．

因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠， 所以1{}(0,1,2,

,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．

（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-+

+-+

877610()()()p p p p p p =-+-++-

81413

p -=．

由于8=1p ，故183

41

p =

-，

所以

4

4433221101 (

411

()

327 )(

5

())

p p p p p p p p p p

-

=-+-+-+=

-=．

4

p表示最终认为甲药更有效的概率，

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，

认为甲药更有效的概率为

4

1

0.0039 257

p=≈，

此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．