2019年高考数学全国卷真题-理科1卷

2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷一）

数学-理

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}24|<<-=x x M ，{}06|2<--=x x x N ，则=?N M

A.{}34|<<-x x

B.{}24|-<<-x x

C.{}22|<<-x x

D.{}32|<

2. 设复数Z 满足1||=-i z ，Z 在复平面内对应的点为),(y x ，则

A. 1)1(22=++y x

B.1)1(22=+-y x

C.()1122=-+y x

D.()112

2=++y x 3. 已知2.0log 2=a ，2.02=b ，3.02.0=c ，则

A.c b a <<

B.b c a <<

C.b a c <<

D.b c a <<

4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

215-（618.02

15≈-，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比也是2

15-。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则

其身高可能是

A.165 cm

B.175 cm

C.185 cm

D.190 cm

5. 函数2cos sin )(x

x x x x f ++=在],[ππ-的图像大致为 A.

B. C. D.

6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上

排列的六个爻组成，爻分成阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦。

在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A.165 B.3211 C.3221 D.16

11 7. 已知非零向量→a ，→b 满足||2||→→=b a ，且→→→⊥-b b a )(，则→a 与→

b 夹角为 A.

6π B.3π C.32π D.6

5π 8. 右图是求2

12121++的程序框图，图中空白部分中应填入 A. A

A +=21 B. A

A 12+= C. A

A 211+= D.A A 211+= 9. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知04=S ，55=a ，则

A.52-=n a n

B.103-=n a n

C.n n S n 822-=

D.n n S n 22

12-=

10. 已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若||2||22BF AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为 A.1222=+y x B.12322=+y x C.13422=+y x D.14

52

2=+y x 11. 关于函数|sin |||sin )(x x x f +=有下述四个结论：

①)(x f 是偶函数；②)(x f 在区间),2

(ππ

单调递增； ③)(x f 在],[ππ-有四个零点；④)(x f 的最大值为2

其中所有正确的结论的编号是

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

12. 已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点， 90=∠CEF ，则球O 的体积为 A.π68 B.π64 C.π62 D.π6

二、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。

13. 曲线x e x x y )(32+=在点)0,0(处的切线方程为 .

14. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若311=a ，624a a =，则=5S . 15. 甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场次安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 .

16. 已知双曲线C ：12222=-b

y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若→→=AB B F 1，021=?→

→B F B F ，则C 的离心率为 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. （12分）

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-.

（1）求A ；

（2）若c b a 22=+，求C sin .

18. （12分）

如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，41=AA ，2=AB ， 60=∠BAD ，E ，M ，N 分别

是BC ,1BB ,D A 1的中点.

（1）证明：MN //平面DE C 1

（2）求二面角N MA A --1的正弦值

已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为3

2的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P. （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；

（2）若→→=PB AP 3，求||AB .

20. （12分）

已知函数)1ln(sin )(x x x f +-=，)('x f 为)(x f 的导数.证明：

（1）)('x f 在区间)2

,1(π

-存在唯一极大值点； （2）)(x f 有且仅有两个零点.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选取一只施以甲药另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验.并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药的1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则甲药的-1分，乙药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)8,1,0(，

=i p i 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00=p ，18=p ，11+-++=i i i i cp bp ap p )7,,2,1( =i ，其中)1(-==X P a ，)0(==X P b ，)1(==X P c .假设5.0=α，8.0=β.

（i ）证明：{}i i p p -+1)7,1,0(， =i 为等比数列;

（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为???

????+=+-=222

1411t t

y t t x （t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为011sin 3cos 2=++θρθρ.

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）求C 上的点到l 距离的最小值.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc .证明：

（1）222111c b a c

b a ++≤++； （2）24)()()(333≥+++++a

c c b b a .