中国海洋大学线代试题2008-2009 1 A试题及答案
中国海洋大学 2008-2009学年 第1学期 期末考试试卷
数学科学 学院 《线性代数》 课程试题(A 卷) 共 4 页 第 1 页 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 文具(或本课程为开卷考试，可携带 文具和 资料)，满分为：100 分。
注意：本试卷共七道大题，请将答案写在答题纸上。 一.选择题（每题3分，共18分）
1. 321,,,,γγγβα均为4维列向量，已知5321==γγγαA ，
1321-==γγγβ
B ，则=+B A ( )
A. 4
B. 6
C. 32
D. 48 2.已知B A ,均为3阶矩阵，矩阵X 满足
E AXB BXA BXB AXA +-+=
其中E 是3阶单位矩阵，则 =X ( )
A. 1
2
2
)(--B A B. 1
1
)()(--+-B A B A C. 1
1
)()(---+B A B A D.条件不足，不能确定. 3. 设??????
?
?
?=1111a
a
a a a a a a a
a a a A ，若A 的伴随矩阵*
A 的秩为1，则=a ( ) A. 1 B. -1 C. 3 D. -1/3
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分
优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号
----------------装----------------订----------------线----------------
共 4 页 第 2 页
4. 设A 是n m ?矩阵，且其列向量组线性无关，B 是n 阶方阵，满足A AB =， 则秩)(B r ( )
A. 等于 n
B. 小于 n
C. 等于1
D. 不能确定.
5. 设A 是秩为2的54?矩阵，已知非齐次线性方程组b Ax =有解，则解集合中线性无关的解向量个数为 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 6. 与矩阵???
?
??=30
21
A 不相似的矩阵是( ) A. ???? ?
?32
01
B. ???? ??1053
C. ???? ??2112
D. ???
?
??3311
二．填空题：（每空3分,共18分）
1. 设3
2
1
4
214314324321
=
A , 则42322212432A A A A +++=____________(ij A 是ij
a 的代数余子式). 2.已知T
a )121(=，T )101
(=β，T
A αβ
=，则3A =
___________________.
3. 从2
R 的基 ???? ??=011α，???? ??-=112α 到基???
? ??=111β，???? ??=212β的过渡矩阵为
________________.
中国海洋大学 2008-2009学年 第1学期 期末考试试卷
六． (13分) 已知矩阵???
?
?
?
?----=52
1341
31a A 的特征值有重根，判断矩阵A 能否相似对 角化，并说明理由.
七． (12分) 已知二次型
3231212
3222132144255),,(x x x x x x cx x x x x x f -++++=
的秩为2，求c 并用正交变换把f 化为标准形，写出相应的正交矩阵. 一、选择题（每题3分，共18分）
1. C
2. B
3. D
4. A
5. C
6. D 二．填空题：（每空3分,共18分）
1. 0
2. ???
?
? ?
?10
1202
1016 3. 由()()C 21
21ααββ=，得=C ???
? ?
?--21
32
4. 1, 1, 0
5. -1
6. 2
32221y y y -+
7. (12分)
解：(1). 利用数学归纳法，得 七．1=n ，.21a A =
八．假设k n =时成立，证明1+=k n 时成立. 行列式按第一行展开，再按第一列展开得
12
12-+-=k k k A a A a A 1
12)2()())1((2+-+=-+=k k k a k ka a a k a .
由1.,2.得结论成立. -----------------------------------（4分）
(2). 0≠a 时，有唯一解. 由克莱默法则，得
a
n n A A A D x n
n n
)1(111+=
=
=
-. -----------------（8分）
(3). 0=a 时，有无穷多解，解为
T T k )0,,0,1()0,,0,1,0( +, k 为任意常数.------------（12分） (12分)
证明：设 0)()()(2211=++++++t t k k k αβαβαβ （1） 因为0=i A α，),,2,1(t i =，0≠βA ，用A 左乘（1）式两端，得
0)(21=+++βA k k k t ，
从而 021=+++t k k k . （2） ---------------（6分）
由（1）式又有
0)(221121=+++++++t t t k k k k k k αααβ . （3）
将（2）式代入（3）式，得
02211=+++t t k k k ααα .
因为t ααα,,,21 是基础解系，它们线性无关，故必有
021====t k k k ，
因此，向量组t αβαβαβ+++,,,21 线性无关. ------------（12分） 五．(15分)
解：对增广矩阵作初等行变换，有
()????
?
??+----→?????
?
?+---==12
1
0330
1141013
1330
1141
,a a a a b A B ???
?
? ?
?+-++---→33
20
012
101
141
2
a a a a ----------（6分）
数学科学 学院《线性代数》课程试题(A 卷) 共 4 页 第 3 页
若1=a ，则2)(=A r ，3)(=B r ，方程组无解.
若3-=a ，则32)()(<==B r A r ，方程组有无穷多解.
若1≠a 且3-≠a ，则3)()(==B r A r ，方程组有唯一解. ----------（9分） 当3-=a 时，
()????
?
?
?---→=00
01110
1141
,b A B 方程组通解是：T T k )1,1,5()0,1,3(-+-， k 为任意常数.----------（12分） 当1≠a 且3-≠a 时，
()????
?
?
?--+---→=11
01)2(10
1141
,a a b A B 得1
10,1
3,1
1123-+-
=-=
-=
a a x a x a x 方程组的唯一解为：T
a a a a )1
1
,
13
,
1
10(---+-
. ----------（15分）
六． (13分)
解：由矩阵A 的特征多项式
)108)(2(2
2
3
413152
1
3
4131
2
=++--=-----=
-----=
-a a a A E λλλλλλλλλλλ
----------（6分）
如果2=λ是重根，则a ++-1082λλ中含有2-λ的因子，于是0101622
=++-a ，
得2=a .此时)6)(2(1282
--=+-λλλλ，矩阵的三个特征值为2，2，6.
对于2=λ，由于
1)2(=-A E r
故2=λ有两个线性无关的特征向量，A 可相似对角化.----------（9分） 优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号
----------------装装----------------订订----------------线线----------------
优选专业年级 _______ 学号 姓名 授课教师 座号 ----------------装----------------订----------------线----------------
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4. 设A 是3阶实对称矩阵，秩2)(=A r ，若A A =2，则A 的特征值是______.
5. 已知矩阵???
? ?
?=51
3
a A 只有一个线性无关的特征向量，则=a _____________. 6. 二次型3221x x x f -=的规范型是 ____________________.
三. (12分)对于 n 元线性方程组
??????? ??=
??????? ??????????
?
?
?
?001212121212212
2
2
2
n x x
x a a
a a
a a
a a a （1）. 证明：n 阶系数矩阵的行列式n
n a n A )1(+=.
（2）. 当a 取何值时，线性方程组有唯一解，并利用(1)的结果求解的第一个分量1x .
（3）. 当a 取何值时，线性方程组有无穷多解，并求解.
四． (12分) 设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，β 不是 0=Ax 的解，证明：向量组t αβαβαβ+++,,,21 线性无关.
五． (15分) 当a 取何值时，线性方程组
???
?
?=
+++=-=+--0
)1(33314321
32321x
a x x x ax x x x 无解、有唯一解、有无穷多解？并在有解时求其所有解.
有2
22
166y y By y Ax x T
T
+==. -----------------------（12分）
若2=λ不是重根，则a ++-1082λλ是完全平方，于是?=0，即
0)10(482
=+-a ，
解出6=a . 矩阵的特征值为2，4，4.
对于4=λ，由于2)4(=-A E r ，说明4=λ只有一个线性无关的特征向量，
故A 不能相似对角化. -----------------------（13分）
七．(12分) 解：二次型矩阵
????
? ?
?--=c A 2
2251
215 2)(=A r . A 中有2阶子式非零，故0)2(242)(=-=?=c A A r ，得2=c .
-----------------------（4分）
由
0)6(2
2
2
2
51215
2
=-=-------=
-λλλλλλA E ，
当6=λ时，特征向量为T
T
)1,0,2(,)0,1,1(21==αα.
当0=λ时，特征向量为T
)2,1,1(3-=α. -----------------------（8分）
对21,ααSchmidt 正交化，3α单位化，得
?????
? ?
?-
-
=6
2
31
61
3
1
2
1613
12
1
0P ，经????? ??=????? ??321321y y y P x x x