当前位置：文档库 › 最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析

最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析

最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析章末综合测评(一)立体几何初步

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列推理错误的是()

A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lα

B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB

C.l?/α，A∈l?A?α

D.A∈l，lα?A∈α

【解析】若直线l∩α＝A，显然有l?/α，A∈l，但A∈α，故C错.

【答案】 C

2.下列说法中，正确的是()

A.经过不同的三点有且只有一个平面

B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D.垂直于同一个平面的两个平面平行

【解析】A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交.

【答案】 C

3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中B′O′＝C′O′

＝1，A′O′＝

2，那么原△ABC的面积是()

图1 A. 3 B.2 2

2 D.

【解析】由题图可知，原△ABC的高为AO＝3，

∴S

△ABC ＝

2×BC×OA＝

2×2×3＝3，

故选A.

【答案】 A

4.下列四个命题判断正确的是()

A.若a∥b，a∥α，则b∥α

B.若a∥α，bα，则a∥b

C.若a∥α，则a平行于α内所有的直线

D.若a∥α，a∥b，b?/α，则b∥α

【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异面；C中a可能与α内的直线异面；D 正确.

【答案】 D

5.已知一个圆锥的展开图如图2所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为()

图2

A.22π

3 B.

2π

C.2π

3 D.3π

【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝1 3

×π×12×22＝22π3.

【答案】 A

6.如图3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()

图3

A.AC

B.BD

C.A1D

D.A1D1

【解析】CE平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CE.

【答案】 B

7.正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是()

A.1

2 B.

3 D.

【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异面直线AD1与EF所成的角.

∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1

BD1

＝6

【答案】 C

8.如图4所示，则这个几何体的体积等于()

图4 A.4 B.6

C.8

D.12

【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S -ABCD ，其中SA ⊥平面ABCD ， SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形， ∠DAB ＝90°，

∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×1

2×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A

9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )

图5

A.BD ∥平面CB 1D 1

B.AC 1⊥BD

C.AC 1⊥平面CB 1D 1

D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°

【解析】由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错.

【答案】 D

10.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图6所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )

图6

A.1

B.2

C.4

D.8

【解析】如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝1

2＋

2×4πr

πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.

【答案】 B

11.如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

图7

①BD⊥AC；

②△BCA是等边三角形；

③三棱锥D-ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是()

A.①②④

B.①②③

C.②③④

D.①③④

【解析】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；

易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错.故选B.

【答案】 B

12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )

A.26

B.36

C.23

D.22

【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.

在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝3

4，高OD ＝

12－? ??

332

＝63，

∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝2

6. 【答案】 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.

【解析】由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CS

SD ，解得SD ＝9. 【答案】 9

14.如图8所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是________.

图8

【解析】连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三角形，设AD ＝a ，则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，所以∠B ′DC ＝90°. 【答案】 90°

15.若一个底面边长为6

2，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________.

【解析】球的直径等于正六棱柱的体对角线的长.设球的半径为R ，由已知，可得2R ＝

? ??

62×22

＋(6)2＝23，R ＝ 3. 所以球的体积为43πR 3＝4π

3×(3)3＝43π. 【答案】 43π

16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，则异面直线AB 与CD 所成的角等于________.

【解析】如图所示，分别取BC ，AC 的中点G 、F ，连接EG ，GF ，EF ，则EG ∥CD ，GF ∥AB ，

∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的角. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a

2，

∴△EFG 是等边三角形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图9所示，四棱锥V -ABCD 的底面为边长等于2 cm 的正方形，顶点V 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.

图9 【解】连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2 cm，

在正方形ABCD中，

求得CO＝ 2 cm，

又在直角三角形VOC中，

求得VO＝14 cm，

∴V V－ABCD＝1

3S ABCD·VO

＝1

3×4×14＝4

314(cm

3).

故这个正四棱锥的体积为4

314cm

18.(本小题满分12分)如图10所示，P是?ABCD所在平面外一点，E，F分别在P A，BD 上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.

图10

【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.

在?ABCD中，

易证△BFG∽△DF A，

∴GF

F A

＝BF

＝PE

，

∴EF∥PG.

而EF?/平面PBC，PG平面PBC，

∴EF ∥平面PBC .

19.(本小题满分12分)如图11，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

图11

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF ，如图：

(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝

EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.

故S 四边形A 1EHA ＝1

2×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝1

2×(12＋6)×8＝72.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97? ????

79也正确.

20.(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .

图12

【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，

又BM平面BCC 1B1，所以A1B1⊥BM.

又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.

在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，

同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，

所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.

又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，

因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A 1B1M.

21.(本小题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.

图13

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)求二面角A-PD-C的正弦值.

【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，

因P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，

∴CD⊥平面P AC，

又AE平面P AC，∴AE⊥CD.

由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.

(2)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.由(1)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.

由已知，可得∠CAD＝30°.

22.(本小题满分12分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图14所示.

图14

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；

(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

【解】(1)几何体的直观图如图.

四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，

∴其体积V＝1

2×1×3×3＝

(2)证明：∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC.

∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴BC⊥CC1.

∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，

∴B1C1⊥A1C.

∵四边形ACC1A1为正方形，

∴A1C⊥AC1.

∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.

(3)当E为棱AB的中点时，

DE∥平面AB1C1.

证明：如图，取BB1的中点F，

连接EF，FD，DE，

∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.

∵AB1平面AB1C1，

EF?/平面AB1C1，

∴EF∥平面AB1C1.

∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，

又EF∩FD＝F，

∴平面DEF∥平面AB1C1.

而DE平面DEF，

∴DE∥平面AB1C1.

章末综合测评(二)解析几何初步

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()

A.6

B.7

C.8

D.9

【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.

【答案】 B

2.过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A.－1 B.3 C.1

D.－3

【解析】由k AB ＝m －4

－2－m

＝tan 45°＝1，解得m ＝1.

【答案】 C

3.过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0

D.2x ＋y －5＝0

【解析】 ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝1

2(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.

【答案】 A

4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1

D.2

【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2， ∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A

5.如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )

图1

A.(2,2,1)

B.? ?

???2，2，23 C.? ?

??2，2，13 D.? ?

??2，2，43

【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝4

3. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为? ?

???2，2，43.

【答案】 D

6.若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )

A.? ????

0，

255 B.? ????

0，

355 C.(0，5)

D.(0,25)

【解析】设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|

12＋(－2)2

＝25

5.若直线与圆没有公共点，

则0

5，故选A.

【答案】 A

7.已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )

A.2

B.－2

C.±2

D.与A 有关

【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.

【答案】 A

8.若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.? ????－12，－16 B.? ????1

2，－16 C.? ??

??12，16 D.? ??

??－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为? ??

??1

2，－16，此即为直线所过的定点.故选B.

【答案】 B

9.已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直

线l的条数为()

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为|AB|＝5，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条.

【答案】 C

10.若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的方程是()

A.(x－5)2＋y2＝5

B.(x＋5)2＋y2＝5

C.(x－5)2＋y2＝5

D.(x＋5)2＋y2＝5

【解析】设圆心O(a,0)，(a<0)，则

5＝|a|

1＋22

，

∴|a|＝5，

∴a＝－5，

∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.

【答案】 D

11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()

A.2 2

B.2

C. 2

D.与k的取值有关

【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆心在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，又其半径为2，故截得的弦长为2 2.

【答案】 A

12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()

A.4

3 B.