矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间
目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念
定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一
个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。 此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于n
R 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积
()∑==n
i i i y x Y X 1
,，n R 成为一个内积空间。内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称
为欧氏空间。由于n 维实内积空间都与n
R 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于n
n R
B A ?∈?,，定义内积为()∑==
n
j i ij ij b a B A 1
,,，则n n R ?成为一个内积
空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f b
a
?
=
)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积
的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质
(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；
(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈?βα,，有
()()()ββααβα,,,2≤，
并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数
()αα,称为向量α的长度，记
为α。
若1||=α，则称α为单位向量。对于任一非零向量α，取|
|αα
β=
，则β是与α线性相关的单位向量。这种做法称为向量的单位化。
利用向量长度的概念，Cauchy-Schwarz 不等式又可以表示为
()βαβα?≤,。当βα,都
不是零向量时，由此不等式可得
()
1,≤?β
αβα。因此，可以利用等式()β
αβα??=
,cos 来定义两个
非零向量βα,的夹角?，且限制?的取值范围为π?≤≤0。
定义 当()θβα=,时，称βα,是正交的，记为βα⊥。零向量与任何向量正交。
例2－4 若βα,是两个正交向量，则有
222||||||βαβα+=+
一般地，如果k ααα,,,21 是k 个两两正交的向量，则有
22221221||||||||k k αααααα+++=+++
从定理2－1可以推出如下简单推论。
推论 设V 是内积空间，V ∈?βα,，有
(1) βαβα+≤+； (2) βαβα-≥-。
把定理2－1应用到欧氏空间n
R 和例2－3中],[b a R 得不等式
∑∑∑===?
≤
n
i i
n
i i
n
i i
i y
x
y
x 1
21
21
dx x g dx f dx x g x f b
a b a b a ????≤??
? ??)()()(222
这是历史上两个著名的不等式。
§2 正交基与子空间的正交关系
2.1 正交基的概念
内积空间中两两正交的一组非零向量，称为正交组。正交组是线性无关的。
定义2－3 在n 维欧氏空间中，由正交组构成的基称为正交基。如果正交基中每个向量
的长度都等于单位长度，则此正交基便称为标准正交基（或单位正交基）。 定理2－2（存在性）任一n 维欧氏空间V 都存在标准正交基。
通过施密特（Schmidt ）正交化过程，可将欧氏空间的基转化为标准正交基。
标准正交基下的内积
设欧氏空间V 中的两向量在其标准正交基n ααα,,,21 的表达式分别为：
n n x x x αααα+++= 2211，n n y y y αααβ+++= 2211，
则有 ()n n y x y x y x +++= 2211,βα。 两组标准正交基之间的过渡矩阵是一个正交矩阵
设n e e e ,,,21 及n e e e ''',,,21 是欧氏空间V 的两组标准正交基，从前一组基到后一组基
的过渡矩阵为A ，即n i a n
k k ki i ,,2,1,
1
==
'∑=e e 。则
()
n j i j
i j i a a a a a a n
k kj ki n k n
t t k tj ki n
t t tj n
k k ki j i ,,2,1,,0,1 )
,(),(),(111
1
1
=??
?≠====
=''∑∑∑∑∑=====e e e e e e
这表明E A A T
=，即过渡矩阵为A 是一个正交矩阵。 2.2 正交子空间
定义2－4 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。如果对任意的21,V V ∈∈βα，都有
()0,=βα，则称1V 与2V 是正交的，并记为21V V ⊥。
特别地，如果V 中某个向量α与子空间1V 中的每个向量都正交，则称α与1V 正交，记为
1V ⊥α。
定理2－3 内积空间V 的两个正交子空间21,V V 的和21V V +是直和。
证明：如果存在21,V V ∈∈βα，使得θβα=+，则有
()()()()()αααβαααβααθ,,,,,0=+=+==，
所以θα=。同理可证，θβ=。因而零向量的表示方式是唯一的，即21V V +是直和。
定义2－5 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。且满足V V V V V =+⊥2121,，
则称2V 是1V 的正交补子空间，简称为正交补，记为⊥1V 。
定理2－4 n 维欧氏空间V 的任一子空间1V 都有唯一的正交补。
证明：若{}θ=1V ，则V 就是1V 的正交补。若1V 是V 的()n m m ≤维子空间，我们取1V 的
一组正交基m e e e ,,,21 ，并将其扩充为V 的一组正交基n m m e e e e e ,,,,,,121 +。
),,(12n m L V e e +=就是1V 的正交补。
唯一性。设除2V 外，还有3V 也是1V 的正交补。则3121V V V V V ⊕=⊕=。
令2V ∈α，则V ∈α，故存在3311,V V ∈∈αα，使得31ααα+=。因为311,αααα⊥⊥，所以 ()()()()()1113111311,,,,,0ααααααααααα=+=+==，于是θα=1。由此可得
33V ∈=αα，即有32V V ?。同理可证23V V ?，因此有32V V =。□
推论 n V V =+⊥11dim dim 。
§3 内积空间的同构
定义1 两个内积空间V 与V '是同构的，如果V 与V '之间存在一个一一对应的映射σ，使得对任意的V ∈βα,及R k ∈均满足：
(1) ()()()βσασβασ+=+；(2) ()()ασασk k =；(3) ()()βασβσα,,=。
这就是说，两个内积空间认为是同构的，首先作为线性空间它们是同构的；其次，在这个同构之下向量内积是保持不变的。
定理2－5 所有的n 维欧氏空间都同构。
证明：设V 是n 维欧氏空间，n e e e ,,,21 是它的一组标准正交基。对于任意的
V n n ∈+++=e e e x ξξξ 2211，定义n R V →:σ为()()n ξξξσ,,,21 =x ，则σ是一个
一一对应，且满足定义1中的条件(1)、(2)。再证明(3)亦满足即可说明任一个n 维欧氏空间都与n
R 同构。由于同构是一种等价关系，所以所有的n 维欧氏空间都同构。□
§4 正交变换
定义2－7 保持内积空间V 中向量内积不变的线性变换T ，称为V 的一个正交变换。即对任意的V ∈βα,，都有()()βαβα,,=T T 。 定理2－6 设T 是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则下列各命题互相等价： (1) T 是正交变换；
(2) T 保持向量的长度不变，即V ∈?α，有αα=
T ；
(3) 若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基； (4) T 在任一标准正交基下矩阵是正交矩阵。 证明：(1)?(2)
若T 是正交变换，则由()()βαβα,,=T T ，取αβ=，两边开方即可推出αα=T 。
反之，若T 保持向量的长度不变，即V ∈?α，有()()ααα
ααα,,=
==
T T T ，
则有()()()()βαβαβαβα++=++,,T T ，即
()()()()()()βββαααβββααα,,2,,,2,++=++T T T T T T ，
于是，得()()βαβα,,=T T ，即T 是正交变换。 (1)?(3)
若T 是正交变换，则对V 的任一组标准正交基n e e e ,,,21 ，都有
ij j i j i T T δ==),(),(e e e e ，n j i ,,2,1, =，
因此n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基。
反之，若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基，则
对V 中的任二向量n n x x x e e e +++= 2211α，n n y y y e e e +++= 2211β， 便有n n T x T x T x T e e e +++= 2211α，n n T y T y T y T e e e +++= 2211β， 因此()()βαβα,,2211=+++=n n y x y x y x T T ，即T 是正交变换。 (3)?(4)
设T 在标准正交基n e e e ,,,21 下的矩阵为A ，即是说∑==
n
k k ki i a T 1
e e ，n i ,,2,1 =。
若n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基，则作为两个标准正交基之间的过渡矩阵，A 是正交矩阵。
反之，若A 是正交矩阵，则有
ij n
k kj ki n t t tj n k k ki j i a a a a T T δ===∑∑∑===1
1
1
),(),(e e e e ，n j i ,,2,1, =
这说明n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基。□
例2－5 设T 是欧氏空间3
R 的线性变换，()()()3321132321,,,,,,,R x x x x x x x x x T ∈?=，
试证明T 是正交变换。 证明：()()αααα,,=T T 即可。
例2－6 (1) 证明：V 的线性变换T 是正交变换?T 保持V 中任意两向量βα,的距离
不变，即 βαβα-=-T T 。
（2）内积空间中保持距离不变的变换是否一定是线性变换？
证明：1) 若T 正交变换，则βαβαβα-=
-=-)(T T T 。反之，若该式成立，则取
其中的θβ=，即可说明αα=T ，即T 正交变换。
（2）不一定。反例：0ααα+=T ，这里V ∈0α是一个固定向量。
例2－7 设T 是内积空间V 的一个变换，证明：如果T 保持向量的内积不变，即
()()V T T ∈?=βαβαβα,,
,,，
则T 是一个线性变换，因而一定是正交变换。
证明：通过证明 ()()()()()()()0,=--+--+βαβαβαβαT T T T T T ，说明：
()()()βαβαT T T +=+；通过证明 ()()()()()0,=--ααααkT k T kT k T ，说明：()()ααkT k T =。
§5 点到子空间的距离与最小二乘法
5.1 点到子空间的距离
定义2－8 (1) 设V 是欧氏空间，又V ∈βα,，则向量βα-的长度βα-称为向量α
与β的距离，记为()βα,d 。
(2) 设W 是V 的子空间，则点α到W 的距离定义为：()()βααβ,inf ,d W d W
∈=。
命题：设()s L W ααα,,,21 =，则s i W i ,,2,1,
=⊥?⊥ααα。
命题：设W ∈β且满足条件()W ⊥-βα，则W ∈?γ，都有γαβα-≤
-。
在初等几何里，我们知道点到直线（或平面）的距离以垂线最短，该结论说明了：欧氏空
间V 的一个向量α到子空间W 的各个向量之间的距离也以“垂线” βα- 最短。
证明：因为W ∈-γβ，故()()γββα-⊥-。又因()()γββαγα-+-=-，所以
2
22
γββαγα-+-=-，于是γαβα-≤-。
5.2 最小二乘法
给定不相容方程组B AX =，这里T
s n s ij b b b B a A ),,,(,)(21 ==?，
T
n x x x X ),,,(21 =。则使平方偏差∑=-+++=s
i i n in i i b x a x a x a 1
22211)( δ最小的一组数
0201,,,n
x x x ，称为此方程组的最小二乘解，求最小二乘解的方法叫做最小二乘法。
令AX Y =，则2
B Y -=δ。所谓的最小二乘法就是要找一组数0
0201,,,n
x x x ，使Y 与B 的距离最小。设),,,(21n A ααα =，则有
),,,(212211n n n L x x x Y αααααα ∈+++= 2－6
所以最小二乘法可以叙述为：在),,,(21n L ααα 中找一向量Y ，使得向量B 到它的距离比到子空间),,,(21n L ααα 其他向量的距离都短。即向量AX B Y B C -=-=必须垂直于子空间),,,(21n L ααα ，而保证这一结论成立的充分必要条件是
0),(),(),(21====n C C C ααα ，
即
0,,0,021===C C C T n T T ααα 。这组等式相当于θ=-)(AX B A T ，亦即
B A AX A T T =。
这就是最小二乘解所满足的代数方程。
例 用最小二乘法解方程组??????
?-=-+=++=+=+1
2021321
32131
21
x x x x x x x x x x
解：????????
??--=??
???
?
??????-??????????-=311164144121
111101011
111021011111A A T ，
????
?
?????-=??
???
?
??????-??????????-=3121021111021011111B A T ， 解方程组????
?
?????-=????????????????????--312311164144321x x x ，求得最小二乘解为6
4,613,617321-=-==x x x 。 §6 酉空间（复内积空间）
1. 酉空间的定义 设V 是复数域C 上的线性空间。若V ∈?βα,，都有一个复数()βα,与之对应，并且满足下列各个条件，则称复数()βα,为向量βα,的内积。 (1) ()()αββα,,=；(2) ()()βαβα,,k k =，C k ∈；
(3) ()()()V ∈+=+γγβγαγβα,
,,,；
(4) ()0,≥αα，当且仅当0=α时，等号成立。 此时线性空间V 称为复内积空间，或酉空间。
例2－9 n
C
中向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =的内积定义为
()∑===n
i i i H
y x XY
Y X 1
,，则n C 成为一个酉空间。
在酉空间中，内积具有下列基本性质：
(1) ()()βαβα,,k k =；(2) ()()()γαγαγβα,,,+=+；(3) ()()0,00,==βα。 在酉空间中，向量α的长度也定义为
),(||ααα=
虽然，当0),(=βα时也称向量βα,为正交的，但在酉空间中不再定义向量间的夹角，因为向量的内积一般是复数。又若n C X ∈（见例2－9），则有
221||||||n x x X ++=
2. Cauchy-Schwarz 不等式
定理1（Cauchy-Schwarz 不等式） 设V 是酉空间，V ∈?βα,，有()βαβα?≤,，
并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
证明：若θβ=，结论显然成立。设θβ≠。由0),(≥--βαβαk k 得
0),(),(),(),(≥+--βββαβαααk k k k 。
取()()
βββα,,=
k ，并用()ββ,来乘上面不等式的各项，得 0),(),(),(),(),(),(),)(,(≥+--βαβαβαβαβαβαββαα，
或),)(,(),(ββααβα≤，即()βαβα?≤,。
如果βα,线性无关，则0≠-βαk ，则0),(>--βαβαk k ，从而()βαβα?<,。
如果βα,线性相关，例如βαk =，则()()()βαβββββα?===,,,k k 。□
对于例2－9的酉空间n
C 中的Cauchy-Schwarz 不等式为
2
212
2111n n n n y y x x y x y x ++?
++≤
++ 。
注：设V 是酉空间，则V ∈?βα,，有βαβα+≤+。
)
,(),Re(2),(),(),(),(),()
,(2
βββαααβββαβαααβαβαβα++=+++=++=+
因为()()βαβαβα?≤≤,,Re ，所以()
2
2222β
αββ
ααβα+=++≤+。
3. 在酉空间中的正交基和标准正交基。
(1) 正交组线性无关；线性无关组可进行正交化。
(2) 在n 维酉空间中，标准正交基n e e e ,,,21 下的任二向量
n n e e e x ξξξ+++= 2211， n n e e e y ηηη+++= 2211
的内积可以表示为：()n n ηξηξηξ+++= 2211,y x 。
4. 酉空间的酉变换
定义2－11 酉空间V 的酉变换T ，是保持任二向量内积不变的线性变换，即对任意的
V ∈βα,，都有()()βαβα,,=T T 。
定义2－12 若n
n C
A ?∈，且E AA
A A H
H ==，则A 称为酉矩阵。
酉矩阵具有下列基本性质： (1) A 行列式的模等于1； (2) 111)()(,
---==H H H A A A A ；
(3) 1
-A 也是酉矩阵；两个n 维酉矩阵的乘积也是酉矩阵；
(4) A 的每个列（行）向量是单位向量；不同的列（行）向量是酉正交的（在n
C 的
内积定义下正交）。
定理2－7 设T 是n 维酉空间V 的线性变换，则下列各命题互相等价： (1) T 是酉变换； (2) T 保持向量的长度不变，即V ∈?α，有αα=T ；
(3) 若n e e e ,,,21 是V 的标准正交基，则n T T T e e e ,,,21 也是V 的标准正交基；
(4) T 在任一标准正交基下矩阵是酉矩阵。
5. 所有的n 维复内积空间都同构，且都同构于n
C 。
§7 正规矩阵
定义2－12 设n
n C
A ?∈，且H
H AA A A =，则称A 为正规矩阵。
如：对角矩阵，实对称矩阵，反对称矩阵（A A T
-=），厄米特矩阵（A A
H
=），反厄
米特矩阵（A A H
-=），正交矩阵及酉矩阵等都是正规矩阵。
定理2－8 n
n C
A ?∈为正规矩阵?A 酉相似于对角形矩阵，即存在酉矩阵Q ，使得
????
?
????
?
?
?==-n H AQ Q AQ Q λλλ
2
11
， 2－11 其中n λλλ,,,21 是A 的特征值。 引理 若1e 是酉空间n
C 的一个单位向量，则存在一个以1e 为第一个列向量的酉矩阵Q 。
证明：因1e 为单位向量，所以可以从1e 开始构造n
C 的一个基。经过正交化过程后得到n
C
的一个标准正交基n e e e ,,,21 ，从而),,,(21n Q e e e =是酉矩阵。证毕。
定理2－8的证明：充分性。设2－11成立，则有：
12
1
-?
???
??
???
??
?=Q Q A n λλλ
，12
1-?????
?
?
????
??
?=Q Q A n H λλλ
， 于是有 A A Q Q AA H n n H
=?????
?
?
????
??
?=-12
21
1λλλλλλ
。所以A 为正规矩阵。 必要性（数学归纳法）。对于一阶矩阵，定理成立。设定理对1-n 阶矩阵已成立，现证明对n 阶正规矩阵A ，定理的结论也成立。
(1) 设1λ是A 的一个特征值，1e 是A 的属于1λ的单位特征向量，111e e λ=A 。由引理
知，存在酉矩阵),,,(211n Q e e e =。由(
)n
Q Q Q Q E e e 1
111111
1,---==， ，
知
()T
Q 0,,0,1111 =-e 。于是
()()
??
?
???=?????
????
???===-----B B b b A Q A Q Q A A A Q AQ Q n n
n 000,,,,,,1111121111112111111βλ
λλ
e e e e e e
(2) 设1111AQ Q A -=，验证1A 是正规矩阵。
(3) 说明0=β及B 是正规矩阵。
H
H H H
H H H H H
H
A A B
B B B B B B B A A 1111111111110
=??????+=??????+=???
???????
??=β
βββλλβββ
λβ
λλλβλβλ
故有1111λλββλλ=+H ，从而θβ=及H
H
BB B B =。
(4) 由归纳法，存在1-n 阶酉矩阵C ，使得()n H diag BC C λλ,,2 =。
设??
?
???=C Q 0012，则2Q 及21Q Q Q =都是n 阶酉矩阵。
(5) 验证Q 即为所求。
推论1 设A 是n 阶正规矩阵，其特征值为n λλλ,,,21 ，则 1) A 是Hermite 矩阵?n λλλ,,,21 全为实数。 2) A 是反Hermite 矩阵?n λλλ,,,21 为零或纯虚数。 3) A 是酉矩阵?每个特征值的模为1。 推论2 Hermite 矩阵n
n C
A ?∈的两个不同特征值μλ,对应的特征向量n
C ∈y x ,正交。
§8 Hermite 二次型
定义2-13 设()
n
n ij C
a A ?∈=为Hermite 矩阵，()n T
n C x x ∈=,,1 x ，则称
()∑==
=n
j i j i ij
H
x x a
A f 1
,x x x 为Hermite 二次型。A 的秩称为该二次型的秩。
标准化
定理2-9 Hermite 二次型()x x A x f H
=经过满秩线性变换(
)
,≠∈=?C C
C C n
n y x 后，仍为Hermite 二次型，且秩不变。
注：称矩阵AC C B H
=和矩阵A 是Hermite 相合的。一个Hermite 二次型经过满秩线性变换y x C =化成标准型()∑==
n
i i
i
i y
y b f 1
y 等价于矩阵A 与对角矩阵
()n b b diag B ,,1 =Hermite 相合。
定理2-10 每个Hermite 二次型()x x x A f H =可经过某个酉变换y x Q =（Q 是酉矩阵）化成标准型()∑==
n
i i
i
i y
y f 1
λy 。其中n λλλ,,,21 是A 的特征值。
例2-10 将3231232113121122x x i x x x x i x x i x x x x i x x f -++++-=化成标准型。
解：????
??????--=0212011i i i i
A ，特征值0，3，2-；相应的特征向量分别为 ()()()T T T i i i i -==-=,1,0,,1,,1,,2321εεε。
321,,εεε两两正交，单位化后为3322112
1,3
1,6
1εεε=
=
=
e e e 。
令()321,,e e e =Q 并作酉变换y x Q =，得标准型332223y y y y f -=。
注意：由定理2-10可知，对每个Hermite 二次型AX X X f H =)(，都存在满秩线性
QY X =，使其化为标准形∑==n
i i i y f 1
2||λ，且系数i λ为A 的特征值（n i ,,2,1 =）。
正定性
定义2-14 0≠?x ，Hermite 二次型()0)(<>=x x x A f H
，则称该二次型是正定的（负
定的），这时Hermite 矩阵A 也称为正定的（负定的）。
若f 恒为非负（正）数，则f 叫做半正（负）定的，相应地A 也叫做半正（负）定的。
定理2-11 Hermite 二次型()x x x A f H
=为正定（半正定）?A 的特征值全为正数（非
负数）。
定理2-12 Hermite 矩阵A 为正定矩阵?存在满秩矩阵C ，使得E AC C H
=
?存在满秩矩阵B ，使得B B A H
=
?A 的各阶顺序主子式大于零。
定理6 设()x x x A f H =，()x x x B g H =，是两个Hermite 二次型，且矩阵B 正定。则存在满秩线性变换y x C =，将两个二次型同时化成标准型：
()∑∑====n
k k n
k k i y g y f 1
2
1
2
,
λy 。
这里n λλλ,,,21 是方程0=-A B λ的根（矩阵A 相对于矩阵B 的广义特征值）。
证明：(1) 1C ?，使得E BC C H =11。
(2) 11AC C D H =是Hermite 矩阵，存在酉矩阵2C ，使得
()n H H H diag C AC C C DC C λλ,,1211222 ==。
(3) 令21C C C =即为所求。
(4) 证明n λλλ,,,21 是方程0=-A B λ的根。考虑
()()
AC C BC C C A B C H H H -=-λλ
())())((,,211n n diag E λλλλλλλλλ---=-=
的根。
第二章 内积空间
第二章 内积空间 目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。 §1 内积空间的概念 定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一 个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。 (1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。 此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。 例2－1 对于n R 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积 ()∑==n i i i y x Y X 1 ,，n R 成为一个内积空间。内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称 为欧氏空间。由于n 维实内积空间都与n R 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。 例2－2 如果对于n n R B A ?∈?,，定义内积为()∑== n j i ij ij b a B A 1 ,,，则n n R ?成为一个内积 空间。 例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f b a ? = )()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积 的条件，从而],[b a R 构成内积空间。 内积()βα,具有下列基本性质 (1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+； (3) ()()0,,==βθθα。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
第二章内积空间
第二章 内积空间 在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性 质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。 §2.1欧氏空间与酉空间 一、欧氏空间与酉空间 定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ，λ?∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈ 0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ= 则称(,)x y 为V 的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21 ),(x x x =为x 的长度或模。 例1 在[]n P x 中定义1 0((),())()()f x g x f x g x dx =?，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n P x 构成一个欧氏空间。 例2 在n n ?R 中对,n n A B ??∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ?R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ??∈∈R R （1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ=== （3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+
求矩阵的基本运算
求矩阵的基本运算 #include 矩阵的基本运算 （摘自：华东师范大学数学系；https://www.wendangku.net/doc/018318111.html,/）§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为 C=×== 即Matlab返回： C = 19 22 43 50 如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与 B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np ×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘 法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B： A= B= 则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵 矩阵的基本运算法则 1、矩阵的加法 矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ?矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）： （1）交换律：+=+A B B A （2）结合律：()()++++A B C =A B C 注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。 2、数与矩阵相乘 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ?矩阵，λ和μ为数）： （1）结合律：()λμλμ=A A （2）分配律：()λμλμ+=+A A A （3）分配律：()λλλ+=+A B A B 注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 3、矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）： （1）交换律：≠AB BA （不满足） （2）结合律：()()=AB C A BC （3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B （4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA 4、矩阵的转置 矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）： （1）()T T =A A （2）()T T T +=+A B A B （3）()T T λλ=A A （4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式 由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）： （1）T =A A （2）n λλ=A A （3）=AB A B 6、共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）： （1）+=+A B A B （2）λλ=A A （3）=AB AB 7、逆矩阵 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A （2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111 λλ--=A A （3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A 参考文献： 【1】线性代数（第五版），同济大学 1.1矩阵的表示 1.2矩阵运算 1.2.14特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k)% 以向量 v 的元素作为矩阵 X 的第 k 条对角线元素，当 k=0 时， v 为 X 的主对角线；当 k>0 时，v 为上方第 k 条对角线；当 k<0 时， v 为下方第 k 条对角线。 X = diag(v)% 以 v 为主对角线元素，其余元素为 0 构成 X。 v = diag(X,k)%抽取 X 的第 k 条对角线元素构成向量 v。k=0：抽取主对角线元素； k>0 ：抽取上方第 k 条对角线元素；k<0 抽取下方第 k 条对角线元素。 v = diag(X)% 抽取主对角线元素构成向量 v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril% 取下三角部分 格式L = tril(X)%抽取 X 的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的下三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。 函数triu% 取上三角部分 格式U = triu(X)%抽取 X 的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的上三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape，”前者主要针对 2 个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对 于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape 函数变维 格式 B = reshape(A,m,n)%返回以矩阵 A 的元素构成的 m×n 矩阵 B B = reshape(A,m,n,p,)% 将矩阵 A 变维为 m×n×p× B = reshape(A,[m n p])%同上 B = reshape(A,siz)% 由 siz 决定变维的大小，元素个数与 A 中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n)% 将矩阵 A 复制 m×n 块，即 B 由 m×n 块 A 平铺而成。 B = repmat(A,[m n])%与上面一致 B = repmat(A,[m n p]) %B 由 m×n×p× 个 A 块平铺而成 repmat(A,m,n)%当 A 是一个数 a 时，该命令产生一个全由 a 组成的 m×n 矩阵。 1.3矩阵分解 1.3.1Cholesky 分解 函数chol 格式R = chol(X)% 如果 X 为 n 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足 R'*R = X ；若 X 非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X)% 不产生任何错误信息，若X 为正定阵，则p=0 ，R 与上相同；若X 非正定，则p 为正整数， R 是有序的上三角阵。 1.3.2 LU 分解 第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵 第三节矩阵的基本运算 §3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ， 结果为 C=×== 即Matlab 返回： C = 19 22 43 50 如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法 对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和B A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A B B A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ： A= B= 则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D = 1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12 6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法 在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算． 通常： ???? ??4321???? ??8765???? ???+??+??+??+?8463745382617251???? ??50432219??????? ??=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221) 11211 ?????≠?1234?? ???132246?? ??? 实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。 第五章特征值问题与实二次型 目的要求 学习本章，要求读者掌握特征值、特征向量、相似矩阵、约当型矩阵、二次型的标准形、正定二次型等重要概念，并学会计算特征值和特征向量，掌握化n阶矩阵为对角矩阵的条件和方法，学会将实二次型化为标准形。 §1 方阵的特征值问题 定义设A是n阶方阵，如果和n维非零列向量x使关系式 （1） 成立，那么，这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。 将（1）式改写为 （2） 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 （3） 即 上式称为方阵A的特征方程。 记，则称为方阵A的特征多项式，显然A的特征值就是特征方程的解。 设为其中的一个特征值，则由方程 求得的非零解便是A的对应于特征值的特征向量。 简言之，方阵A的特征值和特征向量的求法如下： 1. 计算A的特征多项式； 2. 求出的全部根，即得A的全部特征值； 3. 对于每一个特征根，求出齐次线性方程组（2）的非零解，即得属于的特征向量。 §2 相似矩阵 一、相似矩阵的定义 设A，B都是n阶方阵，若有可逆方阵P，使 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似。 定理若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。（证明） 但该定理的逆不一定成立，即特征多项式相同的矩阵不一定是相似的。 例 它们的特征多项式是，但A和B不相似。 推论若n阶方阵A与对角矩阵 相似，则即是A的n个特征值。 那么，我们要问，对于n阶方阵A，如何寻求可逆矩阵P，使 假使已经找到可逆矩阵P，使，那么P应满足什么关系？ 将P用列向量表示为 由得，即 于是有. 可见是A的特征值，而P的列向量就是A的对应于特征值的特征向量。 反之，由上一节知A恰好有n个特征值，并可对应地求得n个特征向量，这n个特征向量可构成矩阵P，使（因特征向量不唯一，矩阵P也不唯一）。 但n个特征向量构成的矩阵P是否可逆？我们说，如果n个特征向量是线性无关的，则P可逆，此时可得，也就是矩阵A与对角阵相似，但对方阵A，不一定能找到n个线性无关的特征向量。 那么，一个方阵具备什么条件才能与对角矩阵相似呢？我们仅讨论A为实对称矩阵的情形。 二、实对称矩阵的相似矩阵 我们知道实阵A的特征值不一定是实数。 例如： 则特征值为。 但是，对于实对称矩阵，则特征值一定为实数。 定理1实对称矩阵的特征值为实数。 定理2设是实对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交。 定理3 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使 FindFundamentalMat 定义 两幅图像中对应点计算出基本矩阵 函数形式 编辑 intcvFindFundamentalMat( constCvMat* points1, constCvMat* points2, CvMat* fundamental_matrix, int method=CV_FM_RANSAC, double param1=1., double param2=0.99, CvMat* status=NULL); 参数 编辑 ?points1 ?第一幅图像点的数组，大小为2xN/Nx2 或3xN/Nx3 (N 点的个数)，多通道的1xN 或Nx1也可以。点坐标应该是浮点数(双精度或单精度)。: ?points2 ?第二副图像的点的数组，格式、大小与第一幅图像相同。 ?fundamental_matrix ?输出的基本矩阵。大小是3x3 或者9x3 ，(7-点法最多可返回三个矩阵). ?method ?计算基本矩阵的方法 o CV_FM_7POINT – 7-点算法，点数目= 7 o CV_FM_8POINT – 8-点算法，点数目>= 8 o CV_FM_RANSAC – RANSAC 算法，点数目>= 8 o CV_FM_LMEDS - LMedS算法，点数目>= 8 ?param1 ?这个参数只用于方法RANSAC。它是点到对极线的最大距离，超过这个值的点将被舍弃，不用于后面的计算。通常这个值的设定是0.5 or 1.0 。 ?param2 ?这个参数只用于方法RANSAC 或LMedS。它表示矩阵正确的可信度。例如可以被设为0.99 。 ?status ?具有N个元素的输出数组，在计算过程中没有被舍弃的点，元素被被置为1；否则置为0。这个数组只可以在方法RANSAC and LMedS情况下使用；在其它方法的情况下，status一律被置为1。这个参数是可选参数。 说明 矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减 法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 ? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为 第2章 MATLAB 矩阵运算基础 在MATLAB 中如何建立矩阵?? ?? ??194375，并将其赋予变量a 请产生一个100*5的矩阵，矩阵的每一行都是[1 2 3 4 5] 产生一个1x10的随机矩阵，大小位于（-5 5） 有几种建立矩阵的方法各有什么优点 可以用四种方法建立矩阵： ①直接输入法，如a=[2 5 7 3]，优点是输入方法方便简捷； ②通过M 文件建立矩阵，该方法适用于建立尺寸较大的矩阵，并且易于修改； ③由函数建立，如y=sin(x)，可以由MATLAB 的内部函数建立一些特殊矩阵； ④通过数据文件建立，该方法可以调用由其他软件产生数据。 在进行算术运算时，数组运算和矩阵运算各有什么要求 进行数组运算的两个数组必须有相同的尺寸。进行矩阵运算的两个矩阵必须满足矩阵运算规则，如矩阵a 与b 相乘（a*b ）时必须满足a 的列数等于b 的行数。 数组运算和矩阵运算的运算符有什么区别 在加、减运算时数组运算与矩阵运算的运算符相同，乘、除和乘方运算时，在矩阵运算的运算符前加一个点即为数组运算，如a*b 为矩阵乘，a.*b 为数组乘。 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和，差，积，左除和右除。 求?? ?? ??+-+-+-+-++=i 44i 93i 49i 67i 23i 57i 41i 72i 53i 84x 的共轭转置。 计算???? ??=572396a 与??????=864142b 的数组乘积。 “左除”与“右除”有什么区别 在通常情况下，左除x=a\b 是a*x=b 的解，右除x=b/a 是x*a=b 的解，一般情况下，a\bb/a 。 对于B AX =，如果??????????=753467294A ，???? ??????=282637B ，求解X 。 已知：???? ??????=987654321a ，分别计算a 的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。 ??????-=463521a ，?? ????-=263478b ，观察a 与b 之间的六种关系运算的结果。矩阵的基本运算
矩阵的简单运算公式
矩阵的基本运算法则
matlab中矩阵基本运算命令.docx
第三章矩阵与线性代数计算
三矩阵的基本运算
Matlab常用函数、数组及矩阵的基本运算
基本矩阵
计算基本矩阵
矩阵的运算及其运算规则
MATLAB矩阵运算基础练习题