平行线等分线段定理及证明

平行线等分线段定理及证明

附图

定理内容

如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边

经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰

第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。也称“一二三定理”。

第二第三条即常说的“中位线定理”。

定理证明过程

证明如下：

已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL

证明：

(八年级数学教案)平行线等分线段定理

平行线等分线段定理 八年级数学教案 教学建议 1．平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等． 注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成． 定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段． 2．平行线等分线段定理的推论 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰． 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”． 推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分． 重难点分析

本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础. 本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意. 教法建议 平行线等分线段定理的引入 生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑： ①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等； ②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论. 教学设计示例 一、教学目标 1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力． 3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． 4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美 ●二、教法设计 学生观察发现、讨论研究，教师引导分析 ●三、重点、难点 1．教学重点：平行线等分线段定理 2．教学难点：平行线等分线段定理 ●四、课时安排 l课时 ●五、教具学具 计算机、投影仪、胶片、常用画图工具 ●六、师生互动活动设计 教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

2015年北师大版平行线分线段成比例定理讲义及习题练习

平行线分线段成比例定理讲义与习题练习 问题：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等吗？，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？ 总结：一组等距离的平行线在直线a 所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 ∵直线a // b // c ，AB = BC ∴A'B' = B'C'。 平行线分线段成比例定理： 1.三条平行直线L 1//L 2//L 3截直线AE 上的线段AC 、CE 长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF 上的线段BD 、DF 长度之间存在着什么关系呢？ 板书：由L 1//L 2//L 3可得： 32=CE AC ；32=DF BD 所以：3 2 ==DF BD CE AC 2.平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 观察上图我们容易发现下面结论成立. 1．应用定理，等分线段 （1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？ 已知：线段AB （如图7）。 如图7 求作：线段AB 的三等分点。 选择题:(1)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中错误 的是：（ ） A ． DF BD CE AC = B.BF BD AE AC = C. BF DF AE CE = D.AC BD BF AE = (2)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中成立 的是：（ ） A B L 1 C D L 2 E F L 3 A B L 1 C D L 2 A B L 1 C D L 2 E F L 3 A B L 1 C D L 2 E F L 3 c b a C B A A'B'C' A B

平行线分线段成比例教案

1 / 5 l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A版4-1!

一平行线等分线段定理 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、平行线等分线段定理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′. 图1-1-2 图1-1-3 2.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式. 3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多. 方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论. 图1-1-4 4.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置. 图1-1-5 误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5. 二、平行线等分线段定理的推论 1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰. 2.两个推论的证明如下: 推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点. 证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，

平行线等分线段定理

篇一：1平行线等分线段定理 平行线等分线段定理 【知识点精析】 1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的几个基本图形 平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论． 3．定理的两个推论 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰． 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边． 4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段． 【例题】 1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2 l3 2．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点． a b 3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb． 4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an = 1cn． 2 思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．

【练习与作业】 一、填空题 1．△abc中，∠c = 90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb． 2．已知三条直线 ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与 ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm． 3．如图，f是ab 的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae = 4．如图，l1∥l2 ∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ． 5．直角梯形abcd 中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ． 6．如图，已知ab ∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ． 7．如图，已知ad ∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点． 8．如图，已知ce 是△abc的中线，cd = 若cd = 5cm，则af = cm． 9．如图，在ad两 旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、 bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）． 第3题第4题第6题第7题 第8题第9题 1ad，ef∥bd，eg ∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2 二、选择题 10．下列用平行线 等分线段的图形中，错误的是（） c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（） a．9 b．10 c．11 d．12 12．ad是△abc的 高，dc = bc于f，则fc = （） a．1bd，m，n在ab

九年级数学 【教案】平行线分线段成比例

九年级数学 平行线分线段成比例 一、教学目标 1．知识目标： 了解平行线分线段成比例定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 （1）什么叫比例线段？ 答：四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b =c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段. （2）比例的基本性质？ 答：如果 a ：b =c ：d ，那么ad =bc. 如果 ad =bc ，那么 a ：b =c ：d . 如果 a ：b =c ：d ，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d. 2.引入新课 做一做 在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1 ，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3. 图4-6 （1）计算 的值，你有什么发现？ （2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？ （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 12122323B B B B A A A A 与

3.分组讨论，得出结论 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.想一想 （一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ （二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

平行线等分线段定理练习及答案

【金版学案】2015-2016学年高中数学1.1平行线等分线段定理练习 新人教A版选修4-1 1．平行线等分线段定理：如果一组________在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 2．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必________第三边． 3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________另一腰． 4．如图所示，D、E、F分别△ABC三边的中点，则与△DEF全等的三角形有________个． 预习导学 1．平行线 2．平分 3．平分 4．3 ?一层练习 1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是( ) 1．C 2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有( )

A ．AE ＝CE B ．BE ＝DE C ．CE ＝DE D ．C E ＞DE 2.C 3．如图所示，AB ∥CD ∥EF ，且AO ＝OD ＝DF ，BC ＝6，则BE 为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.A 4．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与直线a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和点A ′、 B ′、 C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32 ，则B ′C ′＝________． 4.32 5．如上图所示，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，

DN ∥CP .若AB ＝6 cm ，则AP ＝________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝________. 5.2 cm 4 cm ?二层练习 6．AD 是△ABC 的高，DC ＝1 3 BD ，M ，N 在AB 上，且AM ＝MN ＝NB ，ME ⊥BC 于 E ，N F ⊥BC 于F ，则FC ＝( ) A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 6.C 7．在梯形ABCD 中，点M 、N 分别是腰AB 与腰CD 的中点，且AD ＝2，BC ＝4，则 MN 等于( ) A ．2.5 B ．3 C ．3.5 D ．不确定 7．B 8．顺次连接梯形各边中点的连线所围成的四边形是________． 8.平行四边形 9．梯形中位线长10 cm ，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm ，则该梯形中的较大的底是________cm. 9.13 10．如图，F 是AB 的中点，FG ∥BC ，EG ∥CD ，则AG ＝________，AE ＝________． 10.GC ED ?三层练习

平行线分线段成比例定理(一)

[文件] sxc2jja0013.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行线分线段成比例 [标题] 平行线分线段成比例定理(一) [内容] 教学目标 1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算. 2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力. 教学重点和难点 平行线分线段成比例定理及应用. 教学过程设计 一、类比联想、发现定理 1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13. ∵l 1//l 2//l 3，AB=BC ， ∴EF=FG. 2.将上述命题改写成比例的形式. ∵l 1//l 2//l 3//l 4，AB:BC=1:1， ∴EF:FG=1:1，则有 1==FG EF BC AB 3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m 得出猜想. 教师启发学生思考： 在图5-13中，l 1//l 2//l 3//l 4，AB=BC=CD ，1,1≠≠BD AB CD AC ，那么还有类似比例式成立吗? 学生可从图中看出 2 1,12====FH EF BD AB GH EG CD AC ，猜想推广应成立.

4.举例进一步验证猜想. 教师可再举出图5-14中，AB BC 等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想. 5.(选)用面积法证明猜想. 对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计 说明. 二、用运动的观点深刻认识定理的内容 1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式. 2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如： 右全 左全右下 左下右上 左上右全 右下左全 左下右全 右上左全 左上右下 右上右下 左上=====,,, 3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF) 强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截 两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M 点，图5-15(c)的N 点. 三、应用举例、变式练习 例1 已知：如图5-16，l 1//l 2//l 3. (1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC ； (2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成 比例定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 § [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、 主要知识点 1． 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2． 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3． 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4． 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、 重点剖析 1． 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2． 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC AE DC GE =

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD B B C C ' '//AB C A B B C C '=''1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C C C B B A A ' ='+'1 11C C B B A A ' ='+'1 111=''+''B B C C A A C C 1==AD BF BC DE AD =CB DB =1=-=-DE DB AD BC 1=-AD BC FC BF =CE FC AE EN =EM BF =射线AM 2. 在AM 3. 连结BE

4.2 平行线分线段成比例教学设计

第四章图形的相似 2．平行线分线段成比例 山东省青岛市第六十四中学杨波 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 第二环节：小组活动，探究定理 1. 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。

平行线等分线段定理和平行截割定理

平行线等分线段定理和平行截割定理 一、三维目标： 知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. 过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、教学重点：平行线分线段成比例定理. 教学难点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。 三、教学方法：观察、探索、发现、概括归纳、讲练结合。 四、教学过程 （一）、图形变化的性质探究 1、教师提出问题：（1）、几何学研究的基本问题是什么？（2）、在初中数学中，我们都学习了哪几种常见的图形变化？（3）、观察课本中的图1-1、图1- 2、图1- 3、图1- 4、图1- 5、图1- 6、图1- 7、图1- 8、图1-9图、图1-10、图1-11、图1-12。想一想在这些变化过程中，哪些性质发生了变化？哪些性质保持不变？（4）、平移、旋转、反射、相似与位似的各自特点是什么？你能否给出它们的定义？ 2、请同学们阅读课本，并观察、探究、交流回答上述问题，并抽象概括一般规律。 3、巩固练习：课本P4中练习题。 （二）、平行线等分线段定理和平行截割定理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论1 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2 经过梯形一腰中点，且与底边平行的直线平分另一腰. 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 【定理的证明】学生自证，教师准对问题讲解，并引导学生概括归纳其证明方法。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. 3.三角形内角平分线定理：三角形的内角平行线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。 已知：如图，在ΔMNK中，OK平分∠MKN，KO交MN于点O.求证： MO KM KN ON =。 分析：因为MO,ON在同一条直线上，所以要证 MO KM=，可以考虑把折线MKN拉直。这样可

(完整版)初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD

例3 分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11

【教学设计】平行线分线段成比例的基本事实

平行线分线段成比例的基本事实 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

平行线分线段成比例测试题

D B E F 4.1-4.2平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理 考纲要求： 1．探索并理解平行线分线段定理的证明过程； 2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2 ； 3.平行线分线段成比例定理与推论的区别 4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题 一：知识梳理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段 推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原三角形的三边 二：基本技能： 判断下列命题是否正确 1. 如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别 交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ） 2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、 DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组 平行线能等分线段。 （ ） 4. 如图l 1//l 2// l 3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ） 5．如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 则： BC DE AC AE AB AD = = （ ） 三:典型例题 1 已知线段AB ，求作：线段AB 的五等分点。 2 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 的中点.求证EA ＝EB 。 4 3. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中 点，BM 的延长线交AC 于N ，求证：AN= 2 1 CN 。 4.如下图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=60°,AB=BC,E 为AB 的中点，求证:△ECD 为等边三角形。 5：已知：△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的一点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD 求证：.BC BD BE BG = A C G C B E D F l 3 l 2 l 1 A

平行线等分线段定理教案

平行线等分线段定理教案 一、教学目标 1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论. 2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图水平． 3. 通过定理的变式图形，进一步提升学生分析问题和解决问题的水平． 4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美 二、教法设计 学生观察发现、讨论研究，教师引导分析 三、重点、难点 1．教学重点：平行线等分线段定理 2．教学难点：平行线等分线段定理 四、教具学具 投影仪、常用画图工具 五、师生互动活动设计 教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习 六、教学步骤 【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质． 2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？ 【引入新课】 由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线L1，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线L2，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？ （引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理） 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这个点必须使学生明确． 下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）． 已知：直线a//b//c,AB=BC. 求证：DE=EF 分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得GE=EH），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法） 分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得AB=BC

平行线等分线段定理及推论中位线定理(一)

第七讲 平行线等分线段定理及推论 三角形和梯形的中位线定理 一、知识点和方法概述 1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF 2、三角形的中位线定理 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点 求证：BC DE //，BC DE 2 1= 3、梯形的中位线定理 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中 位线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等 于两底和的一半。 已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的 中点 求证：BC AD EF ////，)(2 1BC AD EF +=. 4、和梯形中点有关的辅助线的作法：

二、例题 例1 如图，在直角梯形ABCD 中，E AB BC AD BC AD C ,,//,90=+?=∠是CD 的中点，且AD=2，BC=8,求BE 的长度. 法1：提示：过E 作BC EF //，交AB 于F ，过B 作CD BG //，交EF 延长线于G . ∴四边形GBCE 是平行四边形 ∵在直角梯形ABCD 中，BC AD C //,90?=∠，AD=2，BC=8 ∴四边形GBCE 是矩形 ∴ EG=BC=8 ∵E 是CD 的中点 ∴DE=EC ∴AF=FB ∴5)(2 1,//=+=BC AD EF BC EF ∴GF=EG-EF=3 ∵AB BC AD =+ ∴AB=10，52 1==AB BF ∵在BGF Rt ?中，?=∠90G ∴ BG=4 ∴在BGE Rt ?中，54842222=+=+= GE BG BE .

平行线等分线段定理精品教案

平行线等分线段定理 【教学目标】 1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形。 2．熟练掌握任意等分线段的方法。 3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法。【教学重难点】 重点是平行线等分线段定理及证明； 难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用。 【教学过程】 一、从特殊到一般猜想结论 1．复习提问，学生口答。 （1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC． 说明： ①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明。 ②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题。 （2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC． 教法： ①引导学生用语言叙述该命题。 若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段。 ②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？

二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理 1.用化归的方法证明定理。 以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理。 已知：如图4-79（a），l1∥l2∥l3，AB=BC．求证：A1B1=B1C1． 分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？ 方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过A l作AC的平行线交l2于D，交l3于E，利用复习题（1）的方法来证明。 方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过B1作EF//AC分别交l1，l3于E，F，利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明。 2．用运动的观点掌握定理的变式图形。 （l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作【教学准备】，演示A l C1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明。

《平行线等分线段定理》教学设计

B C N B C F 《平行线等分线段定理》教学设计 执教 李裕达 【教学内容】人教版初中《几何》第二册§4.9平行线等分线段定理（课本P 176 ~ P 178） 【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形； 2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。 【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用 【教学难点】平行线等分线段定理的证明 【教学方法】引导·探究·发现法 【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等 【教学设计】 一、实际问题，导入新课 1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？ 2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD ）纸对折， 得折痕MN （如图1）； ·再把B 点叠在折痕MN 上， 得到Rt △BEP （如图2）； ·最后沿EP 折叠，便可得到 （如图1） 等边△BEF （如图2）。 （如图2） 3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。 二、复习引导，发现定理 1．复习提问 （1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？ （2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？ 师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。 2．操作实验 请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验： （1）画一条与这组平行线垂直的直线l 1，则直线l 1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？ （2）任意画一条与这组平行线相交的直线l 2，量一量直线l 2被这组平行线截得的线段是否相等。 3．引导猜想 引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？ 猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 4．验证猜想

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)92487

平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥ BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1 11c a b =+.

F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。