吉林省长春市2019届高三质量监测(四)数学理

长春市普通高中2019届高三质量监测（四）

数学试题卷(理科)

考生须知：

1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.

2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.

3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.

4. 考试结束，只需上交答题卡.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。 1. 设集合{3,1,1,3}A =--，2{|230}B x x x =+-=. 则()A

B =R e

A. {1,3}-

B. {1,3}--

C. {1,3}-

D. {1,3}

2. 若复数1i

1i

z a +=+为纯虚数，则实数a 的值为

A. 1

B. 0

C. 12

-

D. 1-

3. 为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是 A. 药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B. 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 C. 药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 D. 药物A 、B 对该疾病均没有预防效果

4. 已知ABC △的三个顶点坐标分别为(1,1)A ，(3,3)B -，(4,2)C ，则向量AB 在AC 方向上的投

影为

A.

B.

C.

2

D. 2-

5. 设公差小于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3611S a =，则当n S 取得最大值时n 的值为

A. 6

B. 7

C. 8

D. 11

6. 函数()sin()(0,0,)()22

f x A x A x π

π

ω?ω?=+>>-

<<∈R 的部分 图像如图所示，则()3

f π

=

A.

1

2

B.

C. 12-

D. 7. 如图，在三棱柱111ABC A BC -中，侧棱1AA ⊥底面111A

B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是 A . 1CC 与1B E 是异面直线

患病未患病服用药没服用药

患病未患病服用药没服用药0.4

B . A

C ⊥平面11ABB A

C . AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥

D . 11//AC 平面1AB E

8. 设x ，y 满足约束条件360

200,0x y x y x y --?

?-+???≤≥≥≥，若目标函数

(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 9. 如图所示程序框图，若输出的x 为1-，则输入0x 的值为

A. 1

B. 1

2

C. 1-

D. 2

10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几

何体

的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为

A.

B.

C.

D.

11. 双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过

焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1||PA 是12||F F 和12||A

F 的等比中项，则该双曲线的离心率为

A.

B.

C. 2

D.

12. 已知函数()x

f x e =，对任意的12,x x ∈R ，都有121212

()()

||(()())f x f x k f x f x x x -

则实数k 的取值范围是 A. [2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞

C. 11[,]22

-

D. 11(,][,)22

-∞-+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13. 已知6

(1)ax -的展开式中3

x 的系数为20，则a =____________. 14. 已知函数()sin cos f x x x =+，则曲线()y f x =在12

x π

=

处的切线的斜率为______.

15. 如图，直角OAB △中，4OA =，斜边AB 上的高为OC ，M 为OA

的中点，过B 点且垂直于y 轴的直线交直线MC 于点N ，则点N 的轨

迹方

E P

C D F G 程为____________.

16. 半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为___________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. （本小题满分12分）

在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，60A =，已知D

为BC 边上一点，2CD DB =，若AD =

. （Ⅰ）求sin sin

B

C

的值；

（Ⅱ）若ABC △的面积为a 的值.

18. （本小题满分12分） 某省高中男生身高统计调查数据显示： 全省100000名男生的身高服从正态分布(170.516)N ，，现从某校高三年级男生中随

机抽取

50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于

157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式

分成6组：第一组[157.5162.5)，，第二组[162.5167.5)，，…，第六组[182.5187.5]，，

下图是

按照上述分组方法得到的频率分布直方图. （Ⅰ）求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数；

（Ⅱ）从这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.

（附：参考数据：若ξ服从正态分布2

)(N μσ，，则()0.682P μσξμσ-<+=≤，(22)0.9544P μσξμσ-<+=≤，(33)0.9974P μσξμσ-<+=≤. ）

19. （本小题满分12分）

已知平行四边形ABCD 中，60A =，2AD AB =，点E

为AD 的中点，点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将ABE △折起至PBE △位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直，设点G 为PBE △的重心. （Ⅰ）求证：//GF 平面PED ； （Ⅱ）求平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值.

20. （本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知点P 是离心率为1

2

的椭圆C 上的点，12

,F F 为椭圆C 的左右焦点，且12F PF △的周长为6.

E A B C

D

F

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）已知(2,0)A -与(2,0)B 为平面内的两个定点，方程为1x my =+（m ∈R ）的直线l 与

椭圆C 交于M ，N 两点，问直线AM 与BN 的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由. 21. （本小题满分12分）

已知函数()21

2

x f x e bx ax =-+(,)a b ∈R .

（Ⅰ）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于

12

； （Ⅲ）若()f x 在R 上是单调函数，求ab 的最小值.

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程选讲

已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l

的参数方程为2112

x y t

?=????=+??（t 为参数）

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；

（Ⅱ）设曲线C 和直线l 相交于,A B 两点，点P 为曲线C 上异于,A B 的一点，求PAB △面积

的最大值.

23. （本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲

已知函数()|2|f x x =-.

（Ⅰ）若不等式(2)(1)4f x a f x -++-≥(3)a <的解集为1{|2x x ≤

或9

}2

x ≥，求实数a 的值；

（Ⅱ）若对x ?∈R ，(2)2(1)1f x a f x -++-≥，求实数a 的取值范围.

长春市普通高中2019届高三质量监测（四）

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. C

2. D

3. B

4. B

5.B

6. B

7. C

8. A

9. D 10. C 11. A

12. D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 1-

14.

15. 28(0)y x x =≠ 16.

83

π 简答与提示：

1. 【命题意图】本题考查二项式定理问题.

【试题解析】由二项式展开式可求得1a =-.

2. 【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.

【试题解析】

将()cos sin ,(

)cos

sin

12

12

12

2

f x x x f π

π

π

''=-=-=

. 3. 【命题意图】本题考查抛物线的定义的相关知识.

【试题解析】由题意可知||||2NM NB -=，从而点N 的轨迹为以M 为焦点的抛物线，并去掉其顶点，故28(0)y x x =≠.

4. 【命题意图】本题考查球和导数的综合应用.

【试题解析】由题意设圆锥的高为h ，底面半径为r ，若圆锥体积最小，有

r =

有22148((2)4)332323

h V r h h h h πππ

π==?=?-++≥--.

三、解答题

17. (本小题满分12分)

【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.

【试题解析】解：（1）在ABC ?中，222

a c

b b

c =+-， （2分）

ADB ADC π∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=

22222

2

214210a b a b c b +-+-=，

（4分）

有2c b =，故

sin 1

sin 2

B C = （6分） （2）由ABC △

的面积为12

2

S b b =

??=，得2,b = （9分） 再由余弦定理可得a ==.

（12分）

18. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识. 【试题解析】解：（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为

1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5cm ?+?+?+?+?+?=.（2分） （2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.25010?=，

即这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数为10人. （4分）

130=， （6分） ）， 这50人中182.5cm 以上（含182.5cm ）的有5人

. （8分） 随机变量ξ可取0，1，2，

()11

552102551459C C P C ξ===，()25210102

2459

C P C ξ====，

（10分）

∴252

0121999

E ξ=?

+?+?=.

（12分）

19. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）证明：延长BG 交PE 于H ，连接HD .

2////2BG GH

GF HD GF PED BF FD HD PDE ??

=????

?????=???

?

??

平面平面.

（6分）

（

2）以E 为原点，以EB 方向为x 轴，以EC 方向为y 轴，

以过点E 垂直于平面BCDE 向上方向为z 轴，建立坐标系.

(2,0,0)B

，(1D -

，G

(BD =

-，(3

BG =-，

1(1,3,n =，

（8分） 2(0,1,0)n

=. （10分） 1212||cos 7||||21

n n n n θ?=

==?.

（12分）

20. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：（1）由1

2

e =

且226a c +=， （2分） 可得2a =，1c =，即椭圆的方程为

22

143

x y +=.

（4分）

（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立22

143

1x y x my ?+

=???=+?

消去x 得， 22(34)690m y my ++-=

即122634m y y m -+=+，122

9

34y y m -=+ （6分）

AM ：11(2)2y y x x =++①，BN ：2

2(2)2y y x x =--②，

①②可得1122(2)

2

=1(2)2y x x y x x ++--，即1

12222=122

y x x y x x ++?--，

（8分）

21

222121122211212121

1

2191832(2)(3)323434

392(2)(1)234

y m m

y x y x y my my y y x m m y m x y x y my my y y y x m ---++++-++======------++

（10分）

解得4x =，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线4x =上. （12分）

21. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+， （1分）

设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， （2分）

所以()()01f x f a ''≥=+，

因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>， 所以函数()f x 在R 上单调递増.

（4分）

（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，

因为

1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，

所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222

t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.

（6分）

令()()21

11,2

x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，

所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()211

11122

h x e <-+?=，

所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 1

2

f x <，

故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于1

2

.

（8分）

（3）()21

2

x f x e bx ax =-+

()x f x e bx a '=-+

由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数

因此()0x

f x e bx a '=-+≥

令()()x

g x f x e bx a '==-+

()x g x e b '=-

当0b =时，0ab =，

当0b <时，()0x

g x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾

当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>?>

22ln (0)ab b b b b - >≥

（10分）

令22

()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-

()0()00F x x F x x ''>?>

当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2

e

-.

（12分）

22. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 （1）曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=

直线:0l x =.

（5分）

（2）设(2cos ,22sin )P θθ+， 点P 到直线l

的距离d =

|4sin()622

π

θ-=≤，||AB = 从而PAB ?.

（10分）

23. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.

【试题解析】（1）当3a <时，32,|||3|3,323,3a x x a x a x a a x x a x +-≤??

-+-=

-<

，由题意可知，

79

234,,222

a x a x a +--≥≥==，经检验成立. （5分）

（2）令()(2)2(1)||2|3|g x f x a f x x a x =-++-=-+- 当3a =时显然不成立；

当3a <时，63,()6,336,3a x x a g x x a a x x a x +-≤??

=-+-<

，从而()31g x a ≥-≥，2a ≤.

当3a >时，63,3()6,336,a x x g x x a x a x a x a +-≤??

=-+<

，从而()31g x a ≥-≥，4a ≥

所以4a ≥或2a ≤.

（10分）