初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版
1中考第一轮复习
三角形
中考大纲剖析
本讲结构
1
2
一、等腰三角形
二、直角三角形
1．直角三角形的边角关系．
①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．
2．特殊直角三角形
知识导航
3
三.尺规构造等腰三角形和直角三角形
四.全等三角形
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．
在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.
五.相似三角形
相似三角形的性质：
⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．
3
4
⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：
⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；
⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：
(1)E
D
C B
A
(3)E
D C
B
A
(4)
D C
B
A
D
C
B
A
(6)
E
D
C
B
A
(2)E
D
C
B
A
(5)
E
D
C
B
A
（10）
（9）
（8）
A B
D
E
A
B
C D
E
E
D
B
A
【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.
另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.
【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是
两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的
个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △
是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．
（2010顺义一模）
（3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，
点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ．
求证：DF EF =． （2012海淀期中）
模块一 特殊三角形
夯实基础
A
C
F
E
D
B
5
（4）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在射线EF 上，BP 交CE 于
D ，点Q 在C
E 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =
2
1
CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 .
【解析】（1）C ，“两圆一垂”；
（2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得； （3）证明：过D 点作AC 的平行线交BC 于点G ， 则∠B =∠ACB =∠BGD ；∴BD =DG =CE ； 易证△DFG ≌△EFC ；∴DF =EF .
注：本题方法很多，还可以过D 作BC 平行线，或过E 作AB 的平行线，由“平行线截等腰三角
形”得新等腰三角形.
（4）y = –x +6； 提示：延长BQ 与射线EF 相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.
【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的
两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ） （2010宣武一模） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-
（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、
y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）
A ． 222+
B ．52
C ．62
D ． 6
（2010西城二模）
以下探究主题为：几何最值问题 【探究1】如图，ABC △为等边三角形，边长AB =4，点A 、C 分别在x 轴、y
轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，
点B 到原点的最大距离是________.
【探究2】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在运动过程中，点B 到原点的最小距离是__________.
能力提升
6
【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33， 点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△
ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值
为_______，最小值为_______.
【解析】（1）C ，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM 、CM 、CM 、AM 均等于FQ 的一
半，于是M 的轨迹围成一个半径为1的圆；
（2）A ，如右图1，取AC 中点D ，连结OD 、BD ，当O
D 、B 三点共线时，OB 的值最大；
探究1：
AC 中点D ，连结OD 、
BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；
探究2：如右图2，取AC 中点D ，连结OD 、BD ，当O D 、B 三点共线时，OB 2；
探究3：“△ABC 绕点C 旋转”等价于“CD 绕点C 旋转”，如下图1，连结CP ，当PD=PC+CD 时， PD 最大，当PD =︱PC-CD ︱时，PD 最小. 如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为2，如 图3，当CP ⊥AB 时，PD 2. 图1
图2
图3
P
D C
B
A
P
D
C
B
A
P ()
A
B
C
D
【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：
（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值
最大，“内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段AP 的最大或最小值）；
（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P 是线段BC 上的动点，求线段AP 的最大或最
小值）.
P 2
(P 1
)
C
B A
P
模块二 全等三角形
P
D
C B A
图1图2
7
【例3】 △ABC 与△CDE 均为等边三角形，点C 为公共顶点，连结AD 、BE 相交于点P ，BE 交AC
于点M ，AD 交CE 于点N ，
（1）如图1，当点B 、C 、D 在同一直线上，请证明以下结论：
① AD =BE ；
② 连结PC ，则PC 平分∠BPD ； ③ 60APB ∠=?；
④ 连结MN ，则△MCN 为等边三角形； ⑤ PB=P A+PC ，PD=PE+PC
（⑥ 连结AE ，点P 为△ACE 的费马点. 学生版上没有） （2）如图2，当△CDE 绕点C 旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？
图1
图2
A
B
C
D
N
P
M
E
N
M
P
E
D
C
B
A
【解析】（1）由ACD BCE △≌△可得①；过点C 分别作AD 、BE 边上的高，由“全等三角形面积相
等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等，证得②；由“八”字模型倒角证得③；由BMC ACN △≌△或者CND CME △≌△得CN=CM ，证得④；由120APC EPC ∠=∠=?，在四边形ABCP 和EDCP 中利用旋转可证得⑤；由⑤中的结论可知PA+PC+PE=BE ，120APC EPC APE ∠=∠=∠=?，点P 到△ACE 的三个顶点的距离和最小，即可证得⑥. （2）结论①②③⑤⑥均成立.
【例4】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（?<
线段BD .
图1
图2
A B
C
D
E
D
C
B
A
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明；
能力提升
夯实基础
8
图3图2
图1
2
n-1
B 2
C 2A C
B 1
C 1
C 1
B 1
C B A
（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值. （2013北京中考）
【解析】（1）1
302
α?-；
（2）ABE △为等边三角形，连接AD 、CD 、EB
∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60?得到线段BD 则BC BD =，60DBC ∠=? 又∵60ABE ∠=?
∴1
60302
ABD DBE EBC α∠=?-∠=∠=?-且BCD △为等边三角形.
在ABD △与ACD △中
AB AC
AD AD BD CD
=??
=??=?
∴ABD △≌ACD △（SSS ） ∴1122BAD CAD BAC α∠=∠=∠=
∵150BCE ∠=? ∴11
180(30)15022
BEC αα∠=?-?--?=
在ABD △与EBC △中
BEC BAD EBC ABD BC BD ∠=∠??
∠=∠??=?
∴ABD △≌EBC △（AAS ）∴AB BE = ∴ABE △为等边三角形 （3）∵60BCD ∠=?，150BCE ∠=?∴1506090DCE ∠=?-?=?
又∵45DEC ∠=? ∴DCE △为等腰直角三角形 ∴DC CE BC == ∵150BCE ∠=?
∴(180150)152EBC ?-?∠=
=? 而1
30152
EBC α∠=?-=? ∴30α=?
【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若BAC DAE ∠=∠ ①ABC △为等腰三角形（AB=AC ）； ②ADE △为等腰三角形（AD=AE ）；
③ABD ACE △≌△
以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证
ABE △为等边三角形，已知DBC △为等边三角形，则需证ABD △≌EBC △即可.
【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长
是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，
C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段
B 1
C 1 + B 2C 2的值
是__________；如图3, 点12......、、、n
B B B ，夯实基础
模块三 相似三角形
B
A
B
C
D
E
9
12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.
（2）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的
直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
【解析】（1）
1,2a a ,1
2
na 提示：由“A”字相似模型来求B n C n 的长； （2）D 提示：“三垂”相似模型；
【例6】 如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°
且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q .
（1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA
的延长线交于点Q .设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ,EF 与边
AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．
(2012东城期末)
能力提升
10
【解析】（1）∵ ∠BAC =90°，AB =AC =2， ∴ ∠B =∠C
，BC =
又∵FEB FED DEB EQC C ∠=∠+∠=∠+∠,DEF C ∠=∠, ∴ ∠DEB =∠EQC . ∴ △BPE ∽△CEQ ． ∴
BP CE
BE CQ
=． 设BP 为x ，CQ 为y ， ∴
y =
． ∴ 2y x =自变量x 的取值范围是0＜x ＜1． （2）解：∵ ∠AEF =∠B =∠C ,且∠AQE ＞∠C ,
∴ ∠AQE ＞∠AEF . ∴ AE ≠AQ .
当AE =EQ 时，可证△ABE ≌ECQ . ∴ CE =AB =2 . ∴ BE =BC -EC
=2. 当AQ =EQ 时，可知∠QAE =∠QEA =45°.
∴ AE ⊥BC . ∴ 点E 是BC 的中点. ∴ BE
. 综上，在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能成等腰三角形，此时BE
长为2
.
【思维拓展训练】
提高班
训练1. 如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该
纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . （1）DE 的长为 ；（2）将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块， 其中最小一块的面积等于 ． 【解析】4，4
训练2. ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于 点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；
图3
G
E
F
L A
B
C D
A
B
C
D E
F
G
H
图2
图1
H G
F
E D
C
B
A
⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论． （2010房山二模） 【解析】（1）设对角线交点为O ，连结OE ，用面积法证明；
11
（2）CH=EF-EG ；
（3）连结AC 交BD 于点O ，由（1）的结论可知CO=EF+EG ，于是12
BD EF EG =+；
（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中构造. 训练3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ．
⑴ 求证：DE BF EF -=．
⑵ 当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由． ⑶ 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．
图2
图1
A
B
C
D
G G F
E
D
C
B A
【解析】（1）由AED BFA △≌△可得；
（2）EF =2GF ，易证AFB BFG ABG △∽△∽△，于是2AB AF BF
BG BF FG
===，所以AF =2BF ， BF =2FG ，所以EF =2FG ； （3）DE+BF=EF .
模块一 特殊三角形 课后演练
【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =?∠，线段AB 的垂直平分
线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°
⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．
⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，
AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AG
AF = ． 【解析】（1）C ； （2）7或11；（3
【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，
过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则
PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．
实战演练
图1
E
D
C
B A
G F
E
D
C
B
A
12
模块二 全等三角形 课后演练
【演练3】 在ABC △中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点
G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直 角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边 恰好经过点B ．
⑴ 在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写 出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵ 当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍 与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的 长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后 证明你的猜想；
⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示位置 （点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，⑵中的猜想是 否仍然成立？（不用说明理由） 【解析】⑴ BF CG =；
在ABF ?和ACG ?中，
∵90F G FAB GAC AB AC ∠=∠=?∠=∠=，，， ∴(AAS)ABF ACG ??≌， ∴BF CG =． ⑵ DE DF CG +=；
过点D 作DH CG ⊥于点H （如图4）． ∵DE BA ⊥于点E ，90G DH CG ∠=?⊥，，
∴四边形EDHG 为矩形，∴DE HG DH BG =，∥，∴GBC HDC ∠=∠， ∵AB AC =，∴FCD GBC HDC ∠=∠=∠，又∵90F DHC CD DC ∠=∠=?=，， ∴(AAS)FDC HCD ??≌，∴DF CH =．
∴GH CH DE DF CG +=+=，即DE DF CG +=． ⑶ 仍然成立．
（注：本题还可以利用面积或三角函数来证明，比如⑵中连结AD ）
【演练4】 图中是一副三角板，45?的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30?的三角板Rt ABC △斜
边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=?∠=?∠=∠=?，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．
⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．
⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．
图2
图1
E
H
A
B
C
F
G
M
N N
M
G
F E
C
B
A
13
E 3
E 2E 1D 4
D 3
D 2
D 1
C
B
A 【解析】⑴ ∵3090A AC
B ∠=?∠=?，，D 是AB 的中点，∴B
C B
D =，60B ∠=?
∴△BCD 是等边三角形．
又∵CN DB ⊥，∴1
2
DN DB =，
∵90EDF ∠=?，BCD ?是等边三角形．
∴30ADG ∠=?，而30A ∠=?，∴GA GD =．
∵GM AB ⊥，∴1
2
AM AD =
又∵AD DB =，∴AM DN =．
⑵ ∵DF AC ∥，∴30BDF A ∠=∠=?，90AGD GDH ∠=∠=?，
∴60ADG ∠=?．
∵60B ∠=?，AD DB =，
∴ADG DBH ??≌，∴AG DH =，
又∵BDF A ∠=∠，GM AB ⊥，HN AB ⊥， ∴AMG DNH ??≌．∴AM DN =．
模块三 相似三角形 课后演练
【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作
11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ． 则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．
【解析】()
2
1
1n +
第十八种品格：坚持
品格教育—坚持
有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。有些人做事，为了成功，为了成功的目标而坚持。但是坚持的结果都是成功。因此坚持常常是成功的代名词。
想要实现自己的梦想，就要坚持就要努力，这样才可以成就梦想。
【坚持的三个层次】
一、学会以坚持不懈的态度对待事物；
二、坚持心中那份信念，成功最后即会到来；
三、坚持不懈的过程中会遇到挫折，迎难而上，也许终会柳暗花明。
孟母断机
孟子早年家境贫寒，相传孟母仉氏靠纺线织布维持生活。孟子到学馆学习了一段时间后，开始的新鲜劲头过去了，贪玩的本性难移，有时就逃学，对母亲谎称是找丢失的东西。
有一次孟子又早早地跑回了家，孟母正在织布，知道他又逃学了。孟母仉氏把孟子叫到跟前，把织了一半的布全部割断。孟子问为什么要这样，孟母回答说：“子之废学，若吾断斯织也！”，教育孟轲，学习就像织布，靠一丝一线长期的积累，只有持之以恒，坚持不懈，才能获得渊博的知识，才能成才，不可半途而废。逃学就如同断机，线断了，布就织不成了，常常逃学，必然学无所成。
孟轲从此勤学苦读，没有辜负母亲的期望，终于成了一位伟大的思想家和教育家。
今天我学到了
14
初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版
1中考第一轮复习 三角形 中考大纲剖析 本讲结构 1
2 一、等腰三角形 二、直角三角形 1．直角三角形的边角关系． ①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数． 2．特殊直角三角形 知识导航
3 三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 四.全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL． 在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合. 五.相似三角形 相似三角形的性质： ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比． 3
4 ⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定： ⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似； ⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型： (1)E D C B A (3)E D C B A (4) D C B A D C B A (6) E D C B A (2)E D C B A (5) E D C B A （10） （9） （8） A B D E A B C D E E D B A 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求. 另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”. 【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ． （2010顺义一模） （3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠， 点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =． （2012海淀期中） 模块一 特殊三角形 夯实基础 A C F E D B
初三数学讲义
初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理： 1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（不能 直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ B D
圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 6. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ B A
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暑假数学（九年级）教学具体授课计划
备注： 1.本授课计划的第一、二、五、六、九、十、十六是对七、八年级重点 知识点的回顾与复习。编排次序对应于九年级上册相应知识点，以便更加系统明了地做到知识点之间的融会贯通。
2.教学进程大体按照该计划进行。但在授课过程中，也会根据学生的实 际情况，适当调整各知识板块的教学进度，或增补缩减相应的资料。 3.不足之处敬请批评指正。欢迎各位家长、老师提出更合理中肯的建 议！ 第一讲数与式的复习（一） 【教学目标】 1. 理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式。 2. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根。 3. 了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质。 4. 了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件，掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行 分式的通分和约分。 【重点难点】 重点：概念的理解与区分 难点：易混淆，各概念的性质及条件 【知识梳理】 1.实数分类：
实数???? ?? ?? ????????????? ???? ????????????????????无限不循环小数 负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 3.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （1）正数大于零，零大于负数。 （2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。 （3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。 （4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 ［知识点击］ 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 ［例题选讲］ 例1?化简x^4r^ +厂只+ 厂九 1 + 1— (x 2)(x 3) (x 3)(x 4)1 1,1 --- — ---------- ---- 十 x 1 x 2 x 2 1,1 1 ----- 十 ------ — ----- x 3 x 3 x 4 例2. 解：原式二 i (x 1)(x 2) x y kz(1) 解：易知：-一-= -―z= -一z = k 贝y x z ky(2) 亠z y x =2 或x+y+z=O y z kx(3) (1)+(2) +(3) 得: (k -2)(x+y+z)=0 k 若k =2贝9原式=k 3 = 8 若x + y + z =0,则原式二 k 3 =-1 例3.设 2 1， 求 x mx 1ft x 1 4 2 2 x m x 的值。 1 解：显然2 X 0,由已知x mx 1 “ =1 , x 贝y x +丄= x m + 1 4 2 2 .x m x 1 (2) x + 1) 2-2 x -m 2 2 ???原式二 一 2m 1 =(m +1) 2-2- m 2 = 2 m -1 例4.已知多项式3x3 +ax 2 +3x +1能被x2+1整除，求a的值 解: 1- a =0 二a =1 例5:设n为正整数，求证 1111 ++ …....+v 1 3 15(2n1)( 2 n 1) 2 证：左边=1(1 - 1 1-1 + ??…? +1-1 ) 23352n 12n 1 1(1-1) 22n1 1 《全等三角形及三角形全等的条件》 【知识精讲】 全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式. 重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如： (1) 满足一个条件? ? ?一角对应相等 一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件???? ????????角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1( (3) 满足三个条件?????????????????对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等 三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？ (1) 两边对应相等???(?))SAS 等一直角边、斜边对应相 两直角边对应相等（ (2) 两锐角对应相等（×） (3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ） 【典例剖析】 1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。 2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D 只有丙 3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。 b a c a c c a 丙 72? 50? 乙50?甲50? C B A 50?72?58? 初三数学 图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y 轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L 由B 点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由 A 点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t 秒，它们到达图中所示的位置，连结P Q。 （1）当t 为多少时，? PAQ为直角三角形？ （2）当t 为多少时，? PAQ的面积最大？ （3）求（2）中? PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。 y B 0, 3 P A 4, 0 x O Q L 图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心， 5 为半径的⊙P 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C、D两点。 （1）直接写出A、B、C、D 四点的坐标（演算在草稿进行）； （2）分别过A、C两点作⊙P 的切线 a 和b，求a、b 的函数表达式（写出切线 a 的表达式的求解过程，切线 b 的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。） （3）第（2）问中的a、b 两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。 y b C P(1，1) O A D B x a 图，直线AB与x 轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，2）；直线CD与x 轴交于C（2，0），与y 轴交于D（0，4）。 （1））求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。（2））设AB与CD相交于点P，连结AD，求△ PAD的面积。 2 y 4 D B 2 P C A x O 2 4 如图， 二次函数 y = ax + bx + c 的 图 象与 x 轴 交于点 A （ 6，0）和点 B （2，0），与 y 轴交 于点 C （0， 2 3 ）；⊙P 经过 A 、B 、C 三点. （1） ）求二次函数的表达式； （2） ）求圆心 P 的坐标； （3） ）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点 Q ，使得以 P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出点 Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。 y C ·P 2 3 2 3 O 2 B A x 2 6 图，以△ ABC 的边 AB 为直径的⊙ O 经过 BC 的中点 D ，过 D 作 DE ⊥AC 于 E 。（ 1）求证：AB=AC （ 2 分） A E O （2） 求证： DE 是⊙ O 的切线（ 3 分） （3） 若⊙ O 的半径为 3，切线长 DE= 2 B D C 2 ，求 cos ∠C 的值。（4 分） 图，在平面直角坐标系中有矩形 OABC ，O 是坐标系的原点， A 在 x 轴上，C 在 y 轴上，OA=6， 初三数学讲义 存在性问题 教学过程： 一、教学衔接（课前环节） 1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见； 2、检查学生的作业，及时指点 3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容 二、知识点解析 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。 这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。 一、函数中的存在性问题（相似） 1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值； （2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 二、函数中的存在性问题（面积） 2. 如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x =相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 初三数学寒假培优提高班讲义（1）————圆（1） 1、如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半径且OC AB ，垂足为D ，CD =__________cm. 2、Rt △ABC ，∠A=90 °，AB=6，AC=8，以A 为圆心，AB 为半径的圆交BC 于D ，求弦BD 的长。 3、在半径为5cm 的圆内，有两条平行弦长分别为6cm,8cm,则这两条平行弦之间的距离是多少？ 4、矩形ABCD 中，AB =5，BC =12 ，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是 5、 已知半径分别是17cm 和10cm ，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB 的长是16cm ，求圆心距0102的长. 图5-2 图5-1 6、（2005年上海中考）已知：如图6，圆O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，E 、F 分别是边AC 和BC 的中点，求证：四边形CEDF 是菱形. 7、（2006年上海中考）本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径． 8、（2008年上海中考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点． （1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整； （2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i 是坡面CE 的坡度），求r 的值． E F D B A O C 图7 O C A 图8 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 1 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简2312++x x + 6512++x x + 1271 2++x x 解：原式= )2)(1(1 ++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1 ++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41 +x =)4)(1(3 ++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ) )()((+-+的值。 2 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 12+-mx x x =1，求 1 2242 +-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x m x x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2 = 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 目录 本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲如何做几何证明题 第二讲平行四边形（一） 第三讲平行四边形（二） 第四讲梯形 第五讲中位线及其应用 第六讲一元二次方程的解法 第七讲一元二次方程的判别式 第八讲一元二次方程的根与系数的关系 第九讲一元二次方程的应用 第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式 第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形 第十二讲专题复习三：相似三角形 第十三讲结业考试（未装订在内，另发） 第十四讲试卷讲评 第一讲：如何做几何证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 【巩固】如图所示，已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED F E D C B A 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到 直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C D O E B C 2018-2019初中数学九年级教师一对一辅导讲义（全册） 学员编号：12345678 年级：九年级课时数：3 学员姓名： xxx 辅导科目：数学学科教师：授课类型一对一 教学目标掌握函数的概念、性质、图象、应用 星级★★★ 授课日期及时段 201x年月______日_______---______ 数形结合思想 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在初中数学学习中占重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以形助数”“以数助形”的角度来看，主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）； （2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。 例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 典例：已知反比例函数y＝3 x (x>0)的图象经过点(m，y1)、(m＋1，ｙ 2 )、(m＋2，y3)， 则下列关于y1＋y3与2y2的大小关系正确的是( ) (A)y1＋y3 >2y2(B)y1＋y3 < 2y2 (C)y1＋y3＝2y2(D)不能确定法一：特殊值法 法二：做差法 法三：数形结合 课前检测 一轮复习3------函数的概念、性质、图象、应用 知识梳理 一、平面直角坐标系 1·平面直角坐标系 概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限为象限。 注意：（1）坐标轴上的点不属于任何一个象限。 （2）建立的坐标系，可以选择适当的参照点为原点，在确定x轴、y轴的正方向； （3）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a ，b）； 注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 2·坐标特征 ○1坐标轴上的点的坐标特征： ○2各象限内的点的坐标特征： ○3与坐标轴平行的直线上点的坐标特征： 平行于x轴： 平行于y轴： ○4各象限角平分线上点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________， 第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________． 3·点的平移 在平面直角坐标系中， 将点P(x，y)向右(或向左)平移a个单位，可以得到对应点(x＋a，y)[或(x－a，y)]； 将点P(x，y)向上(或向下)平移b个单位，可以得到对应点(x，y＋b)[或(x，y－b)]． 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 平移口诀：“” 4·点的对称（构造全等证明） 点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为__________； 学科教师辅导讲义 一、 知识梳理 二、 知识概念 （一）反比例与反比例函数 1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x k y 中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 体系搭建 （2）反比例函数解析式的特征 ① 等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含 有自变量x ，且指数为1. ② 比例系数0≠k ③ 自变量x 的取值为一切非零实数。 ④ 函数y 的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）。 （二）反比例函数的图像与性质 1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线） 2、图像特征： （1）反比例函数的图像是双曲线，x k y = （k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=），也是中心对称图形。 （3）系数k 的几何意义：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 （三）反比例函数与直线相交问题 1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标； 2、判断直线与双曲线有无公共点，可用△=b 2 -4ac 来确定； 3、交点个数可以通过△的正负判断： 1）△＞0，有两个交点； 2）△=0，只有一个交点； 3）△＜0，没有交点。 （四）用反比例函数图解不等式 1、比较反比例函数的大小 1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小； 2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。 2、利用函数图像解不等式 模型建立：如图，一次函数y=kx+b 的图像与反比函数y=的图像相交于M,N 两 点。 1） 利用图中图像求反比例和一次函数的解析式； 2） 根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解； 3） 根据图像写出关于x 的不等式：kx+b ＜的解集。 3、求线段的最值 1）给出x 与y 的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算； 2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。 4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K 值 1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x 轴、y 轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为∣k ∣、∣k ∣2 ； 2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反比例函数上的点计算。 考点一： 反比例函数的定义与表达式 例1、下列函数：xy=1，y=，y=，y= ，y=2x 2中，是y 关于x 的反比例函数的有（ ）个． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第一单元：数与式………………………………………………………………………… 第一关：规律探究 (5) 第二关：数与式求值……………………………………………………………… 第三关：解方程与不等式（组）………………………………………………… 第四关：方程应用 (12) 第二单元：函数………………………………………………………………………… 第一关：利用图象求解相关题型 (16) 1-1 利用图象求值 (16) 1-2 利用图象判断式子的正误 (1) 1-3 双图象问题 (2) 第二关：函数解析式求法……………………………………………………… 第三关：函数与实际问题……………………………………………………… 第四关：函数综合………………………………………………………………第三单元：几何………………………………………………………………………… 第一关：三角形………………………………………………………………… 1-1 三角形三线…………………………………………………………… 1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明…………………………… 1-3 全等三角形…………………………………………………………… 1-5 解直角三角形 (56) 第二关：四边形 (60) 第三关：圆 (68) 第四单元：专题复习 (77) 专题一：新定义问题 (77) 专题二：动点问题 (88) 专题三：中考作图题 (103) 专题四：阅读理解问题 (108) 一、考点透视 1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小. 2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值. 3. 能利用数轴解决与实数有关的问题. 4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数. 5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小. 6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示. 7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化. 8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算. 9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件. 12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合 运算与分式的化简求值. 13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四 则运算. 14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系. 15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二 次方程化成一般形式. 16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的 图象解法感受它们的关系. 17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程. 第一章 数与式 初三上数学辅导讲义(一) 一元二次方程的解法 一、用配方法解方程 1．(1)x 2－2x －12＝0 (2)2x 2－4x －1＝0 二、用公式法解方程 2．(1)5x 2＋2x －1＝0 (2)6x 2＋13x ＋6＝0 三、用因式分解法解方程 3．(1)x 2－6x ＋9＝4 (2)9(x －2)2＝4(x ＋1)2 四、选择适当的方法解方程 4．(1)x 2－4x ＋1＝0 (2)3x (x －1)＝2x －2 五、利用一元二次方程根的定义解方程 5．(2014·济宁)若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两根是m ＋1，2m －4，则b a ＝___． 6．(2014·内江)关于x 的方程m(x ＋h)2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是：x 1＝－3，x 2＝2，则方程m(x ＋h －3)2＋k ＝0的解是( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5 C ．x 1＝－3，x 2＝5 D ．x 1＝－6，x 2＝2 六、利用一元二次方程根的判别式解方程 7．关于x 的一元二次方程mx 2－(3m －1)x ＋2m －1＝0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的解． 一元二次方程的根与系数的关系 知识点：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝____． 一、直接求两根之和与两根之积 1．一元二次方程x 2＋3x ＝1的两根之和与两根之积分别是( ) A ．3，1 B ．－3，－1 C ．3，－1 D ．－3，1 二、求相关对称式的值 2．设x 1x 2是一元二次方程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值． (1)x 12＋x 22 (2)x 2x 1＋x 1 x 2 (3)x 12＋x 22－3x 1x 2 三、已知方程的一根求另一根与待定系数 3．已知x ＝3是关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0的一根，则另一根是__ __，m ＝__ __． 4．已知2＋3是关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根，求方程的另一个根，及m 的值． 四、与判别式结合求待定系数的值 5．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1和x 2. (1)求k 的取值范围； (2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． 6．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 初三数学一对一讲义 1．下列运算，正确的是( ) A ．a ＋a 3＝a 4 B ．a 2·a 3＝a 6 C ．(a 2)3＝a 6 D ．a 10÷a 2＝a 5 2．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( ) A ．(x ＋1)2＝6 B ．(x －1)2＝6 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝9 3．下列事件是必然事件的是( ) A ．打开电视机屏幕上正在播放天气预报 B ．到电影院任意买一张电影票，座位号是奇数 C ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后偶数点朝上 D ．在地球上，抛出去的篮球一定会下落 4．如图J3-1，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( ) A ．BC ＝2DE B ．△ADE ∽△AB C C 、.A D A E ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE 图J3-1 图J3-2 5．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象如图J3-2，则下列结论中正确的是 ( ) A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＞0，b ＜0 C ．k ＜0，b ＞0 D ．k ＜0，b ＜0 6．如图J3-3，在4×6的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 都在格点上，则下列结论不正确的是( ) 图J3-3 ①能与线段AB 构成等腰三角形的点有3个；②四边形ABEG 是矩形；③四边形ABDF 是菱形；④△ABD 与△ABF 的面积相等． 则说法不正确的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 7．分解因式：a 3b －ab 3＝______________________. 8．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于____________度． 沪教版初三数学寒假作业答案 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 第十五页 1，A2，D3，D4，A5，B6，y=100/x7，k>0 第十六页 8， 【1】 ∵m=ρv ∴ρ=m/v ∵v=10m**ρ=1.43kg/m** ∴m=14.3kg ∴ρ=14.3/v 答：ρ=14.3/v 【2】 当v=2m**时 ρ=14.3/2 =7.15kg/m** 答:氧气的密度为7.15kg/m**。 9， 【1】 8×12m**=96m** 答：蓄水池的容积是96m**。 【2】答：y将会减小。 【3】答：y=96/x 【4】 当y=6时， 6=96/x x=16m**/h 答：排水量至少为16m**/h。 【5】 当x=24m**/h时 y=96/24 =4 答：最少每4小时将满池的水全部排完。 10， 【1】 将A(﹣3，4)代入y=k/x 得：k=﹣12 ∴y=﹣12/x 由题意得：一次函数与x轴的交点坐标为(5，0) 将A(﹣3，4);(5，0)分别代入y=mx﹢n 得m=﹣0.5 n=2.5 ∴y=﹣0.5x+2.5 答：反比例函数：y=﹣12/x;一次函数：y=﹣0.5x+2.5。 【2】钝角三角形(画个图，把我算出来的点描进去，然后延长得出交点，一次连接3个点，看一下就是钝角) 第十七页 1，B2，C3，C4，C5，D6，-17，y=(x-2)**-38，y=-2﹙x+1)**+59，(2，0)10，y=-﹙x+2)**-5 11，当y=0时 x**﹣2x﹣3=0 解得： x**=1 x**=-3 ∴A的坐标为(1，0)或(-3，0) 当X=-2时 y=4+4-3 =5 ∴B的坐标为(-2，5) 答：A的坐标为(1，0)或(-3，0);B的坐标为(-2，5 12，人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
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