选修2-2,导数 教材分析

选修2-2 ：教材与教法分析

第一章 导数及其应用

一、地位与作用

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在选修模块中，学生将学习导数和定积分的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受它们在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

二、课标要求

导数及其应用的基本教学要求是：

1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =的导数（文科只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x

=的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表．

3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求)

7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求)

8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．

三、内容说明

1．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

2．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。

3．教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

4.关注微积分的文化价值。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时机让学生通过了解微积分的发展史。例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实习作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值。

第一：变化率与导数

1．教材分析

本节主要包括三方面内容：变化率、导数概念、导数的几何意义．实际上，它们是理解导数思想方法及其内涵的不同角度．首先，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种变化率在数量上的精确描述，即导数；然后，从数形转换的角度，由数到形，借助函数图象，探求切线斜率与导数的关系，阐明导数的几何意义．导数概念的核心——变化率。变化率：平均变化率、瞬时变化率。 平均变化率 ——割线的斜率——切线的斜率。要重视4页上方的思考题。

导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有着极其丰富的实际背景和广泛应用。教科书选取了两个典型的变化率问题，引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画显示问题的过程，体会导数的基本思想，理解导数的含义。

教学重点：让学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

教学难点：让学生体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的逼近方法；理解导数的概念．

2．教学建议

（1）从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题入手，引入平均变化率，让学生了解平均变化率的几何意义．

（2）从平均速度到瞬时速度，从瞬时速度到导数，让学生经历导数概念的形成过程．

（3）从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义．

（4）建立导函数概念．

（5）极限的处理： 一般地，导数概念学习的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此，教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述。这样一来，其一，避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力放于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

但是极限的符号还是可以引入的，这个不要过多解释，只把其作为表示语言表述:当x ?趋近于0时，00(x x)(x )f f x

+?-?趋近于一个定值，这个定值就是x 0处的导数。 在教学中值得注意的是，教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基本方法，并不追求理论上的严密性和过多的技巧，建议教学时充分关注这一点，将教学重点放在概念内涵的理解上。

第二：导数的计算

1．教材分析

本节主要包括三方面内容：一是利用导数定义求几个常见函数的导数；二是利用导数公式及导数的运算法则求函数的导数．三是复合函数的导数。

利用导数定义求导数是最基本的方法，但最终要归结为求极限，而新课程并未介绍极限知识，因此教科书只是采用这种方法计算了五个常见函数的导数，意在让学生感受这种基本方法．同时也课对导数概念进行复习、巩固。

教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法则，并未推导这些公式和法则，只要求利用它们求简单函数的导数，意在让学生掌握公式法求导数．

教学重点：让学生会根据导数定义求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =

，y =求函数2,,y c y x y x ===，1y x

=的导数）；建议不要粗略而过，要一一求解。 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．

教学难点：（1）利用导数定义求几个常见函数的导数；（2）求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数，文科数学不做要求)．

2．教学建议

（1）联系函数研究的需要，提出导数的运算问题．

（2）让学生感受定义法求导数的过程．以便后来不觉得抽象

（3）联系几何直观和物理意义，进一步认识导数内涵，逐步培养学生用数学知识解释现实问题的习惯．

（4）通过适量的练习，让学生熟悉公式法求导数．

（5）对复合函数求导问题，仅限于形如()f ax b 的函数求导，关键是正确地分析出复合函数的复合过程，找出相应的中间变量，应避免过量的形式化的运算练习．

建议复习符合函数的相关知识：举例说明何为复函数，内层函数、外层函数？学生必须能够准确快速识别出一个复合函数是由什么函数符合而成的。控制难度内层只限一次函数

复合函数求导法则的推导、怎样才能让学生更快更好的理解、掌握？仔细研究课本，期望大家贡献一些好的方法。举例：求导过程的书写举例说明。进行必要的纠错与反馈，不能轻易相信学生人人都掌握好了。

（6）增加课时 ,求切线方程

第三 导数在研究函数中的的应用

1．教材分析

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．变化规律可用函数性质来描述．导数方法是研究函数性质的通法．本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性；二是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值．

教学重点：

（1）利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

（2）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

2．教学建议

（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系．

（2）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的单调性（求单调区间）的方法与步骤．

（3）结合函数图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念．

（4）借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．

（5）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤．

（6）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤．

（7）通过适量的综合性练习，让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性．

第一，避免过量的形式化的运算练习。关于导数的计算，有两种方法，一是用导数定义计算函数的导数，二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法则计算函数的导数。值得注意的是，由于没有介绍极限知识，因此第一种方法只是用导数方法计算四个函数（选修2-2是五个函数）的导数，目的在于让学生在感受用定义求导数的过程中进一步理解导数；第二种方法是教科书直接给出了导数公式和运算法则，并没有进行公式推导，也不要求推导，只是会用它们进行简单的计算即可。避免过量、复杂的形式化练习，防止将导数和积分作为一些规则和步骤来学习，而忽略了它们的思想和价值。比如我们经常看到学生不动脑筋、不加思考，求导——令导数为0——解x ——接下来不会了？

第二，控制应用的广度与深度。例如，在用导数求函数极（最）值时，将函数控制在不超过三次多项式；关于生活中的问题，尽量选取背景比较简单，学生比较熟悉的物理问题，像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。

第四：生活中的优化问题举例

不超课本难度为原则

引导自学

不能缺失

因材施教

第五：定积分与微积分基本定理

（一）定积分

1．教材分析

本节主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题（求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移）进行详细讨论的基础上，抽象概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．

初步介绍定积分的概念和简单应用，初步体会定积分的思想，为进一步学习微积分打下基础。

通过微积分的发展史，是学生体会微积分的思想文化价值。

教学重点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念、定积分的几何意义．

教学难点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念．

2．教学建议

（1）创设问题情境，揭示“以直代曲”“逼近”的思想方法．求曲边梯形面积和求变速直线运动物体位移的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，在教学中，要让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．

（2）概括共同特征，引出定积分概念．

（3）借助几何直观，揭示定积分的几何意义．

（4）直观感知定积分的基本性质．

对于定积分，教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单，而且和导数一样，这种计算方法的目的在于让学生了解定积分的概念。利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数公式，由于导数公式有限而且没有讲原函数等知识，故对于定积分的计算要求很简单，基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数。

（5）定积分的几何意义——图形面积，代数和、正负等

(二) 微积分基本定理

1．教材分析

微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．教学重点：直观了解微积分基本定理的含义，并用微积分基本定理计算简单的定积分．

教学难点：了解微积分基本定理的含义．

2．教学建议

（1）创设问题情境，揭示寻求计算定积分新方法的必要性．

（2）让学生经历微积分基本定理的发现过程．教学中，可借助变速直线运动物体求位移问题，探究速度与位移（即导数与定积分）之间的联系，归纳出微积分基本定理．

（3）通过例题教学，揭示用微积分基本定理计算定积分的关键．

（三）定积分的简单应用

1．教材分析

本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程（位移）以及求变力所作的功．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题．同时，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．

教学重点：应用定积分求平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等问题，让学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．

教学难点：将实际问题化归为定积分问题．

2．教学建议

（1）创设问题情境，让学生体验定积分的价值．教学中，可从平面几何中用初等方法难以解决的平面图形面积问题入手，让学生经历将平面图形面积问题化归为定积分问题的过程．再以定积分在物理中的应用，强化学生的认识．

（2）通过例题教学及变式训练，帮助学生归纳总结求比较复杂的平面图形面积的方法和步骤，并让学生进一步体验定积分的价值．

3. 易错点辨析

单调性问题

例1 已知a 为实数，f(x)= (x 2－4)(x －a), 若f(x)在(－∞,－2]和[2,+∞)上都是递增的，求a 的取值范围． 错解：f(x)=x 3－ax 2－4x+4a, f /(x)=3x 2－2ax －4,

∵f(x)在(－∞,－2]和[2,+∞)上都是递增的，

∴在(－∞,－2] 上f /(x)>0恒成立……①

且在[2,+∞)上f /(x)>0恒成立……②，

对于①，∵函数f /(x)=3x 2－2ax －4的开口向上，且过点(0,－4)，

∴只需f /(-2)>0,

对于②同理可得f /(2)>0，解得－2

辨析：若f(x)在区间[a,b]上满足f /(x)>0(<0)，则f(x)在[a,b]上是增（减）函数，但反过来不成立. 反之应为若f(x)在[a,b]上是增（减）函数，则f /(x)≥0(≤0)．所以该题应为f /(-2)≥0且f /(2)≥0, 易得－2≤a ≤2．

极值问题

例2 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x =1处有极值为10，求f(x)

错解：f /(x)＝3x 2+2ax+b, ∵f(x)在x =1处有极值为10，

∴ ???=???-==?????=+++==++=3311410

1)1(023)1(2/b a b a a b a f b a f ＝－或解得 ∴ f(x)= x 3+4x 2－11x+16, 或 f(x)= x 3－3x 2+3x+9．

辨析：函数f (x)在一点x 0处的导数为0，是f(x)在该点处有极值的必要非充分条件，以上解法中还应验证在x =1两侧导数是否异号．事实上

当a=－3, b=3时，f /(x)=3x 2－6x+3=3(x-1)2≥0, ∴x =1不是极值点，与题意不符，舍去．

当a= 4, b=－11时，f /(x)=3x 2+8x －11=(3x+11)(x －1), 易知x =1两侧f /(x)异号，∴x =1是f(x)的极值点．∴只有f(x)= x 3+4x 2－11x+16．

切线问题

例3 已知函数f(x)=

31x 3+34, 求(1)过点A(2, 4)的切线方程；(2)过点B(2, 34)的切线方程． 错解：f /(x)＝x 2

(1) 由f /(2)＝4知, 所求切线的斜率为k ＝4, 故切线方程为y －4 =4(x-2), 即4x －y －4=0．

(2) 斜率k= f /(2)＝4, ∴切线方程为 y －3

4= 4(x －2), 即12x －3y －20=0． 辨析：求过一点的曲线的切线应注意两点：（1）所给的点在不在已知曲线上；（2）若所给的点在已知曲线上，还要看是不是以该点为切点作切线．本题点A 在曲线上，但不一定以A 为切点，点B 不在曲线上．若求以A 为切点的切线（等价于A 点处的切线），则(1)的解法正确．

正确解法如下：

设切点为P(x 0, y 0)，则切线的斜率为k=f /(x 0)=x 02，故切线的方程为：

y －y 0= x 02( x －x 0), 即y －(31x 03+3

4)= x 02( x －x 0) (1) 代点A(2, 4)得: x 0=－1或x 0=2, 进而可得切线为

4x －y －4=0或x －y+2=0．

(2) 代点B(2,

34)得: x 0=0或x 0=3, 进而可得切线为: y =

3

4或27x －3y －50=0．

第二章 推理与证明

一、内容说明

“推理与证明”是新课标新增内容(选修1-2第二章，选修2-2第二章)，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）．“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用．

二、课标要求

1．合情推理与演绎推理

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

2．直接证明与间接证明

（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

（2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

3．数学归纳法（文科不做要求）

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

4.数学文化

①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。

②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

（一）合情推理与演绎推理

1．教学重点与难点

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行一些简单推理．

教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题．

2．教材分析

合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式．

（1）“合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一．

数学能力要求的历史变化：最初（1952年大纲）三大能力——计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力； 1978年增加了“培养学生分析问题与解决问题的能力”；

2003年颁布的《普通高中数学课程标准》（实验稿）中， 增加合情推理要求。

《考试说明》六大能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力。

（2）归纳推理和类比推理是合情推理的两种常用的思维方法．

归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．由于归纳推理是由部分到整体、由个别到一般，所以结论不一定可靠，只能算是一种猜想．

类比推理是由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．其思维过程是从特殊到特殊，类比的基础是事物之间的相似性或某种特殊性．由于类比推理是由特殊到特殊的推理，因此结论不一定可靠，只能算是一种猜想．

合情推理具有两大功能：一是探索一般结论，二是发现解题思路．

（3）演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式．三段论由三部分构成：（两个前提，一个结论） 大前提----已知的一般原理； 小前提----所研究的特殊情况； 结论----根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论可用右边的格式来表示．用集合观点就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，则S 中所有元素都具有性质P ．

演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就一定是正确的．但错误的前提会导致错误的结论．

（4）合情推理与演绎推理的联系与差异：

①从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异．合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，是由部分到整体、由个别到一般、由特殊到特殊的推理，合情推理作出的结论未必可靠，有待于进一步证明或否定．演绎推理是由一般到特殊的推理，只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就一定是正确的．正如波利亚所说：“论证推理（即演绎推理）是可靠的、无可置疑的和终决的．合情推理是冒险的、有争议的和暂时的．”

②从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度上讲，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．演绎推理回答如何证明定理或命题的问题，是“论证”的手段，而合情推理回答如何发现定理或命题的问题，是发现的工具．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性．

合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式．许多重要的科学结论（包括数学的定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比等，即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误．对于数学学习来说，既要学会证明，也要学会猜想．

3．教学建议

（1）要注意结合实际例子，使学生了解合情推理的含义；

（2）要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法；

（3）要通过数学史事，使学生认识合情推理在数学发现中的作用；

（4）要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握演绎推理的基本模式----“三段论”推理模式；

（5）要通过反例，让学生理解演绎推理的前提与结论之间的蕴涵关系；

（6）要通过具体实例，帮助学生了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，让学生既学会猜想，又学会证明．

（二）直接证明与间接证明

1．教学重点与难点

M 是P ， S 是M ∴S 是P

教学重点：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解分析法、综合法和反证法的思考过程、特点．

教学难点：根据问题的特点,结合分析法、综合法和反证法的思考过程、特点,选择适当的证明方法或使用不同的证明方法解决同一问题.

2．教材分析

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认，这是数学区别于其他学科的显著特点.直接证明与间接证明是两类基本的数学证明方法．

（1）综合法的思维特征是：由因导果．即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．

（2）分析法的思维特征是：执果索因．即从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明．很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用．

（3）反证法是间接证明的一种基本方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法．反证法证题的步骤可归结为：反设—归谬—结论．

3．教学建议

（1）先讲综合法，后讲分析法．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法是学生使用较多、较为熟悉的一种方法．分析法虽然在过去也经常使用，但学生在理解上显然不如综合法那样容易．

（2）要突破分析法这一教学难点．分析法的主要困难有两点：一是学生对这种证明方法的思考过程不理解；二是学生对这种证明方法的表达方式不习惯．突破难点的方法有两点：一是结合具体的数学实例，让学生感受分析法证明的可靠性，以及“要证……只需证……”这种表达的必要性；二是将分析法与综合法对比着进行讲解］帮助学生加深对分析法思考过程及特点的理解．

（3）通过具体的数学实例，帮助学生形成既分析又综合的思维方式，学会将分析法与综合法结合起来运用．结合方式有两种：一是先用分析法探寻证题思路，再用综合法有条理地表述证明过程；二是将分析法与综合法结合起来，证明某些较复杂的数学问题．

（4）结合已经学过的数学实例，帮助学生了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．在必修课的教学中，学生已经使用反证法证明了一些较简单的数学命题，对于反证法学生并不是完全陌生的．本次教学应尽量利用学生已有的经验，进一步加深对反证法的思考过程、特点的了解．

一是要提炼用反证法证题的基本模式．反证法证题的步骤可归结为：反设—归谬—结论．其中，正确反设是用好反证法的前提，推出矛盾（归谬）是用好反证法的关键．反设是否正确，与逻辑知识密切相关，要联系常用逻辑用语中的相关知识．

二是总结反证法的适用范围．反证法主要适用于以下两种情形：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

（三）数学归纳法

1．教学重点与难点

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握数学归纳法的基本步骤，运用数学归纳法证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题．

教学难点：（1）对数学归纳法基本原理的理解；（2）在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．

2．教材分析

本节分为两部分：第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的数学命题，教科书安排了两个例题，通过证明数学命题巩固对数学归纳法的认识．

数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法．在证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n 取无限多个正整数的情形．

用数学归纳法证题分为两大步骤：

第一步（归纳奠基）：证明当0n n 时命题成立，其中0n 是命题成立的初始值，不一定是自然数1．这一步

是论证的基本保证，是递推的基础，必须保证其真实性．

第二步（归纳递推）：假设0(,)n k k n k *=≥∈N 时命题成立，证明1n k =+时命题也成立．这一步是命题具有后续传递性的保证，是递推的依据．由1k k ?+时必须使用归纳假设，否则不算数学归纳法．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立．

数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．

3．教学建议

（1）通过递推数列求通项问题，引发学习数学归纳法的欲望，说明探索新的证明方法的必要性．

（2）分析“多米诺骨牌”全部倒下的原理—递推思想．

（3）给出数学归纳法的基本原理．

（4）结合例题，讲解数学归纳法的证题步骤与要求，帮助学生理解数学归纳法证题中的“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可．

（5）向学生指明数学归纳法的适用范围．教学时要使学生明确，数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题．一般说，从n k =时的情形过渡到1n k =+时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．

（6）让学生经历数学研究与发现的完整过程，并进一步熟悉数学归纳法．在教科书例2的教学中，应引导学生关注两个问题：一是归纳猜想；二是归纳递推，要注意从n k =时的情形到1n k =+时的情形是怎样过渡的．

（7）通过变式训练，让学生形成运用数学归纳法解题的经验．

第三章 数系的扩充与复数的引入

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

课标要求

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

高中数学_导数的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思

《导数的简单应用》教学设计 教材分析： 教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。 根据新课程标准的要求如下： （1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。 （2） 情感、态度与价值观目标： 培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 3.教学重点与难点： 教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法； (2)利用函数的单调性求参数的取值范围。 教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法； （2） 构造函数求参数的取值范围。 针对这节复习课的特点我设计了 （一） 必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节. 环节（一）：必备知识： 我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。 （2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，

人教版数学选修2-2：导数及其应用测试题

《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为

专题04导数及其应用(解析版)

大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（北京卷） 专题04导数及其应用 本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳. 1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1 x+1 +lnx的定义域是____________． 【答案】(0,+∞) 【解析】 由题意得{x>0 x+1≠0，∴x>0 故答案为：(0,+∞) 2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是． 【答案】解：根据题意，函数f（x）＝e x+ae﹣x， 若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+ae x＝﹣（e x+ae﹣x），变形可得a＝﹣1， 函数f（x）＝e x+ae﹣x，导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x 若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x≥0在R上恒成立， 变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]． 3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3?3x，x≤a ?2x，x＞a ． ①若a＝0，则f（x）的最大值为； ②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是． 【答案】解：①若a＝0，则f（x）={x3?3x，x≤0?2x，x＞0 ，

则f ′（x ）={3x 2?3，x ≤0 ?2，x ＞0 ， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={ 3x 2?3，x ≤a ?2，x ＞a ， 令f ′（x ）＝0，则x ＝±1， 若f （x ）无最大值，则{a ≤?1 ?2a ＞a 3 ?3a ，或{a ＞?1 ?2a ＞a 3?3a ?2a ＞2， 解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1） 4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12?x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于?2的切线方程； （Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y ?13=0，（Ⅱ）32. 【解析】 （Ⅰ）因为f (x )=12?x 2，所以f ′(x )=?2x ， 设切点为(x 0,12?x 0)，则?2x 0=?2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y ?11=?2(x ?1)，即2x +y ?13=0. （Ⅱ）显然t ≠0， 因为y =f (x )在点(t,12?t 2)处的切线方程为：y ?(12?t 2)=?2t (x ?t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t ， 所以S (t )=1 2×(t 2+12)? t 2+122|t| ， 不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )= t 4+24t 2+144 4t =14(t 3+24t + 144t )， 所以S ′(t )=1 4(3t 2+24?144 t )=3(t 4+8t 2?48) 4t

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

《导数的应用》教学设计

导数 一、考纲要求 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题. 二、知识梳理 1．函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数． 问题探究：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，和统称为极值． 3．函数的最值与导数 函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值． 三，考点探究 考点一：函数的单调性与导数 【例1】设函数f(x)＝x3—3x2－9x－1．求函数f(x)的单调区间．

新课标人教A版高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结

高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个 根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±????

导数压轴题处理专题讲解

导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -

专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

导数及其应用 复习课 教案

导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()

3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数

(新高考专用)专题 导数(含详细解析)

初高中数学学习资料的店 初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 13 页 专题12 导数 1．已知函数()()211ln ,022 f x x a x a R a =--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）22y x =-+（2）当0a <时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+； 当0a >时，函数()f x 的递增区间为 )+∞ ，递减区间为(； （3）()(],00,1-∞ 【解析】（1）3a =时，()2113ln 22f x x x = --，()10f =()3f x x x '=-，()12f '=- ∴()y f x =在点()() 1,1f 处的切线方程为22y x =-+故答案为：22y x =-+; （2）()()20a x a f x x x x x -'=-=>①当0a <时，()20x a f x x -'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+ ②当0a >时，令()0f x '= ，解得x = x = 所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为( 当0a <时，()20x a f x x -'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+; 当0a >时，函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(. （3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥而()111ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；

《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议(精)

《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议 广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆 导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具． 在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有： (1)导数概念及其几何意义； (2)导数的运算； (3)导数在研究函数中的应用； (4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)； (5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求) 本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章. 一、课标要求 导数及其应用的基本教学要求是： 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x =的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表． 3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求) 7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求) 8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值． 二、课时安排 1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下： 变化率与导数 约3课时

2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2 导数 一、单选题（共3题；共6分） 1、（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A、 B、 C、 D、 2、（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1 3、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（） A、﹣ B、 C、 D、1 二、解答题（共8题；共50分）

4、（2017?浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥ ）． （Ⅰ）求f（x）的导函数； （Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 5、（2017?山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分） （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6、（2017?北京卷）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（13分） (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个 零点x0， g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0， 2]，满足| ﹣x0|≥ ． 8、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b2＞3a； （Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 9、（2017?新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分） (1)讨论f（x）的单调性； (2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 10、（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 11、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．