当前位置：文档库 › 常微分方程练习题

常微分方程练习题

§1 一阶常微分方程

1．求下列微分方程的通解：

（1）)(22y y y x y '+='-；

（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；

（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；

（4）x

y x y y x tan =-'；（5）2122???

? ??-++='y x y y ；（6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；

（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；

（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；

（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；

（10）22x xe xy y -=+'；

（11）x x e x y y x 1

22-=-'；

（12）02)6(2=+'-y y x y ；

（13）x

y y y y y -+='ln 2；（14）0)(24=-+dy x y xydx ；

（15）x y x x y y =-+'1

2；（16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；

（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；

（18）212

22sin 22sin 1x e y x y y x ++='+；（19）02)1(322=+'-xy y y x ；

（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：

（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；

（2）x y x y y tan +='，6

1π==x y ；（3）022=---'x y y y x ，11==x y ；

（4）0)

()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ；（5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；

（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；

（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；

（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。

3. 试确定具有连续导数的一元函数?，它满足2)0(-=?，使得

0)(]tan )(2[sin =+-dy x ydx x x x ??

是全微分方程，并求此全微分方程的通解。

4．试确定在),0(∞+具有连续导数的一元函数?，它满足

?+=??

? ??-x

x dt t t t t 121)()(ln )(???。 5．有一曲线)(x f y =（0)(>x f ），它通过)1,1(点，且该曲线在],1[x 上所形成的曲边梯形的面积等于22-y

x ，其中)(x f y =。求)(x f 。 6．设),(y x u 具有二阶连续导数，且不恒等于0。证明)()(),(y g x f y x u =的充要条件为y

u x u y x u u ????=???2。

7．某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为

6V ，流入湖泊内不含A 的水量为6V ，流出湖泊的水量为3

V 。已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家标准。为了治理污染，从2000年起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过V

m 0。问至多需经过多少年，湖泊中的污染物A 的含量会降至0m 以内（假定湖水中A 的浓度是均匀的）？

8．一摩托艇以km/h 10的速度在静水上运动，全速时停止发动机。过了s 20后，摩托艇的速度减至km/h 6，试确定发动机停止2分钟后，摩托艇的速度。假定水的阻力与摩托艇的运动速度成正比。

§2 二阶线性微分方程

1．求下列微分方程的通解：

（1）082=-'+''y y y ；

（2）064=+'+''y y y ；

（3）0)4(=-y y ；

（4）02)4(=''+'''-y y y ；

（5）122+='+''x y y ；

（6）x xe y y y -=+'+''323；

（7）x e y y y x 2sin 52=+'-''；

（8）x x y y cos +=+''；

（9）x xe y y y x cos 22=+'-''；

（10）x x y y 2sin sin =+''；

（11）0332=+'-''y y x y x ；

（12）x x y y x y x ln 22=+'-''；

（13）348)12(4)12(2-=-'-+''-x y y x y x 。

2．求下列微分方程的特解：

（1）0134=+'-''y y y ，00==x y ，30='=x y ；

（2）x xe y y 4=-''，00==x y ，10='=x y ；

（3）x xe y y x sin 42+=+''，00==x y ，00='=x y ；

（4）x e x y y y --=+'-'')712(65，00==x y ，00='=x y 。

3．已知x e y =是方程0)1(=-'-''+xy y y x 的一个解，求这个方程的通解。

4．用常数变易法求方程x xe

y y y 12=+'+''的通解。 5．设)cos sin (21x C x C e y x +=（1C ，2C 是任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，求该方程。

6．设一元函数f 具有二阶连续导数，且1)0()0(='=f f 。试确定f ，使得在全平面上曲线积分

?-'+-L

x dy y x f ydx x f e ]sin )([)](5[2 与路径无关，并求?-'+-)

,(0),0(2]sin )([)](5[ππdy y x f ydx x f e x 。

7．设一元函数f 具有二阶连续导数，)sin (y e f z x =满足方程z e y

z x z x 22222=??+??，求f 。

8．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机减速停下。现有一质量为kg 9000的飞机，着陆时的水平速度为km/h 700。经测试，减速伞打开后，飞机所受阻力与飞机的速度成正比（比例系数6100.6?=k ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少？

9．一长为20m 且质量均匀的链条悬挂在钉子上，开始挂上时有一端为8m 。问不计钉子对链条的摩擦力时，链条自然滑下所需的时间？

§3 可降阶的微分方程

1．.求解下列微分方程：

（1）211x

y +=''；

（2）x y y +'=''；

（3）03='+'+''y y y ；

（4）212y x y '+=''；

（5）y y y '+'=''3；

（6）21y y ''+='''；

（7）y y y y y '='-''22；

（8）y y y x y xy '='+''32。

2．.求解下列微分方程的特解：

（1）0=+'''x y y ，10==x y ，10='=x y ；

（2）12='+''y y ，00==x y ，00='=x y ；

（3）032=''''-''y y y ，10==x y ，10='=x y ，10=''=x y 。

3．设有一两端固定的均匀且柔软的绳索，它仅受重力的作用而下垂，问该绳索在平衡状态时是怎样的一条曲线。

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程．二求下列方程的解１ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程试题

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程末考试试卷

常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（30分） 1．)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3．若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。二．计算题（60分） 10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

常微分方程计算题word

常微分方程习题集（3）（三）、计算题 1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ； 2. 解方程： 024=++xy xy dx dy ； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：； 6. 解方程： x y x y y x tan =-'； 7. 解方程：； 8. 解方程：y y x e y ' ='； 9. 解方程：xy x y y x dx dy 3225423++-=； 10. 解方程：y x y y xy dx dy 22 ++-=； 11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='； 13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程： x x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3 432842y xy x y y x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：； 18. 解方程：04)4(=+x x ； 19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：； 22. 解方程：6244x y y x =+' ； 23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程：； 25. 解方程：021 212 2=++'x y y ； 26. 解方程：04)3() 5(=-x x ；

常微分方程期末试题答案

2005——2006学年第二学期数学专业常微分方程课程试卷（A ）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y ' 连续是保证方程 ),(d d y x f x y =初值唯一的充分条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(2 1y y x y '+ '=的通解是221 C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()() x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --

二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）? =x x p d )(e μ （B ）? =x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-= 'x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=,12 15．求方程 0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解解：取()()x y y x N x y y x M ln ,,,3 +== 则()()x y x N y x M x y 1 ,,==，于是原方程为全微分方程所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1 3 1

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分方程试题模拟试题(一)

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（）．（A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当，在xoy 平面上任一点的解（）．（A ）都不是惟一的（B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交（D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（）．（A ）不稳定结点（B ）稳定焦点（C ）不稳定焦点（D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（）零点．（A ）无（B ）只有一个（C ）至多只有有限个（D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）

常微分方程期末复习提要(1)

常微分方程期末复习提要中央电大顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ；当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ；令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。（2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+；用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。（3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，

常微分方程计算题及答案.

计算题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+ -=的通解 4、求方程组dx dt y dy dt x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程 '24y xy x += 6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程 ''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程 x y y e x (')-= 14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解

17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解 18、解微分方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式： 1 0|()()|(1)! n n n ML x x x x n ??+-≤-+。 22、求初值问题 22,(1)0dy x y y dx =--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。 23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ??-+= ??? 24、2 221dy y dx x y ??+= ?+-?? 25、 21210dy x y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x = +- 28、22dy y x dx xy -=