二次根式拓展提高讲义及答案

二次根式拓展提高（讲义）

一、知识点睛

1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式．

(1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．===

(2)若出现2x -或x -，则x _____=．

(3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ．

2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A

如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________.

3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用．

(1)222_________a ab b ±+=；

(2)若00m n ＞

，＞，则 ()()22

22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+=

4． 实数比较大小．

(1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化

二、精讲精练

1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

2．已知212102

x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数．

4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则

20132012a b -=________．

5．若21--x 有意义，则x 的值为________．

6．化简()2

241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________．

8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+

10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b

c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++

-．

11．化简：()2

244123x x x -+-

-．

12．如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，AB 在数轴上，若以

点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M ，则点M 所表示的数为（ ） M

-1210D

C B A

A ．10

B ．51-

C ．101-

D ．5

13．如下图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B

两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）

C

B

A 310-1

A ．1+3

B ．2+3

C ．23-1

D ．23+1

14．数轴上A ，B 两点对应的实数分别是2和2，若点A 关于

点B 的对称点为点C ， 则点C 所对应的实数为 ．

15．若23x =+，则267____________．x x -+=

16．若20122=-x ，则245x x +-=__________．

17．已知2323=-=+x y ，，求22x xy y ++的值．

18．已知1110a a +

=+，求221a a

+的值．

19．化简下列各式：

（1）322+；

（2）423-；

（3）526+；

（4）620+；

（5）23-；

（6）962+．

20．比较实数大小．

（1）331-______4；

（2）____155137；++

（3）

165-______176-；（4）151-______173-；

（5）

512-______0.5； （6）7892

--______-8．

【阅读理解与创新探究】

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．

【思想应用】

实数与数轴上的点一一对应，为了在数轴上找到2这个点的位置，可以借助于勾股定理来构造直角三角形来解决．请你利用勾股定理在下图的数轴上找出点5．

3210-1-2-3

【思想类比1】 试比较x -y 与-x y （x ＞y ＞0）的大小，并说明理由． 小明受此启发，想用数形结合的思想来处理，联想到勾股定理，分别以y ，x y -为直角边作如图（1）所示的直角三角形，则其斜边长为x ，就能轻松解决上述问题，你能说明里面的道理吗？

___________________________________________. y x x -y

C

B

D E

A

图（1） 图（2）

【思想类比2】已知m，n均为正实数，且m+n=2．

求22

+++的最小值．

m n

14

如图（2），AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E 是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，试表达CE和DE的长度，并据此解决上述最小值问题．

【探究迁移】代数式22

x x

++-+的最小值是____．

4(12)9

三、回顾与思考

______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________

【参考答案】

一、知识点睛

1．（1）0；0；0 （2）0 （3）0 （4）x ；x

2．c -a ；b -c ；2

a b c += 3．a b ±；m n +

二、精讲精练

1．B 2．-2 3．169 4．-2 5．±1 6．6 7．18 8．-7

9．3 10．2c -a 11．2 12．C 13．D 14．42- 15．0 16．2003 17．15 18．9210+

19．（1）21+ （2）31- （3）32+

（4）51+ （5）622-

（6）36+

20．（1）＞ （2）＜ （3）＜ （4）＜ （5）＞ （6）＜

【阅读理解和创新探究】

【思想应用】作图，略

【思想类比1】∵()()()222

x y y x -+=

∴由勾股定理逆定理可得， ∴以x y -、y 、x 为三边长的三角形是直角三角形 ∴由三角形三边关系可得，

x y x y --＜ 【思想类比2】设AE =m ，BE =n ，且m +n =2．

如图，可得CE =21m +，DE =24n +．

∴CE +DE =21m ++24n +

∴连接CD ，则CD 长就是最小值

即CD =()2

2122++=13．

【探究迁移】13

二次根式能力拓展题(提高篇)

二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2） x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++的值。 4、先化简，再求值：221,39a b ==。 5、计算：) ...1 6、已知1a 222214164821442 a a a a a a a a a --++÷ -+-+-,再求值。

7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 8、已知：2 323-+=a ，2 323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简：

⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷ 13、已知：11a a +=+221 a a +的值。 14、已知1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）

3． 2 )1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a －12 -a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知2 3 3x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则 2 22y xy x +-＋ 2 22y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y

人教版八年级数学下《二次根式》拓展练习

《二次根式》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 4．（5分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x＝2D．x＜﹣2 5．（5分）下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝． 7．（5分）若，则a m＝． 8．（5分）若u、v满足v＝，则u2﹣uv+v2＝．9．（5分）已知，求x y的值． 10．（5分）若有意义，则x的取值范围为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）已知+＝b+8 （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 12．（10分）若a，b为实数，且，求．13．（10分）已知x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．14．（10分）已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实

数根，求实数a的取值范围． 15．（10分）若y＝﹣2，求（x+y）y的值．

《二次根式》拓展练习 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：有意义，则a+1≥0， 解得：a≥﹣4， 故a能取的最小整数为：﹣4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误； B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误； C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误； D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0， 解得：x≥3，

《二次根式》典型例题和练习题之欧阳歌谷创编

《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷（2021.02.01） 二次根式的定义： 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是．[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、

第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则 x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 4x 233x 2+-+-，求 xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若 0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数，且()0 2312 =-+-y x ，则y x -的值为 （ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋6 52+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 （公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用）

二次根式能力拓展题(提高篇)

二次根式能力拓展题 (提高篇)

二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1）（2） x x x x x 5022322123-+ （3）0)a > 3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：22，其中1,39a b ==。 5、计算：) ...1 6、已知1a =，先化简222214164821442a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。

7、已知：321+=a ，321 -=b ，求b a b a 2222+-的值。 8、已知：232 3-+=a ，2 323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 112121222--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==+++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12--+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3a a a ÷-

12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷- 13、已知：11a a + =+221a a +的值。 14、已知1 1039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分）

1． ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ） 4．ab 、31 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－815 27102÷31225 a ＝_． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分）

二次根式拓展提高练习(沪教版)

二次根式拓展提高练习 1、化简： 2 3)20x y >> 4a b ==，用a 、b 表示9.4

5、计算：232xy 6、计算：(?- ? 7、计算：2+=_________. 8、当 a =，求代数式2963a a a -+-的值.

9、已知：3a b +=，1ab =，且a b >的值. 10、已知：x = y =，求44x y +的值. 11、已知1a ，b =2c =，那么a ，b ，c 的大小关系是＿＿＿＿. A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c b a << 12、把代数式(x -___________； 13、已知：2b =，则 11a b +的平方根为_____________； 14、若a 、b 为实数，且|1|0a -， 则1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993) ab a b a b a b +++++++++的值为_____________；

15 =成立的条件是_________ =-，则x 的取值范围是_________； 16 、若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是__________； 17、如果||1a a =- ，那么|21|a --； 18 、代数式3--_________；这时,a b 的关系是_________； 19 a b ==，用,a b =_________； 20 、化简：； 21 、若最简二次根式a =________； 22、若△ABC 的三边长分别为,,a b c 0=，则最大边c 的取值范围为____________。 23、已知a 为实数，且满足200a a -=，则2200a -的值为________； 24、已知01x << ； 25、已知a =的值。 26、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______； 27、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________； 28、化简： 2 1a a a --=______________ 29、若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是_______________； a a a a a a a -+---+-+22212121,321 求

初二下册二次根式所有题型专题

二次根式专题 题型一：二次根式的概念 【例题1】 当为实数时，下列各式，，， 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） （1） ；（ 2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） （x ＞1） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2. 下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中二次根式的个数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 题型二：二次根式的意义（取值范围） 【例题2】 x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） （2）y=－； 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义，则x 的取值范围是 ； 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________； 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数2 1 -+= x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23-

题型三：二次根式的性质（)0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a，） 【例题2】 1.计算下列各式： (1)（3）（4） 2.已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：． 3.已知a、b 都是实数，且b，化简?＋1的结果是多少？ 【练一练】 1.=________. 若，则______.若=0，则=__________. 2.若，则____________；若，则______________. 3.已知，求的值为____________. 4.若，则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边，则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += ． 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - -

二次根式拓展提高讲义及答案

二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2

2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．

八年级数学二次根式拓展提高之恒等变形(实数)拔高练习(含答案)

八年级数学二次根式拓展提高之恒等变形(实数) 拔高练习 试卷简介:全卷共三个大题，第一题是填空（7道，每道5分）；第二题是计算（3道，每道5分）；第三题是解答（4道，每道10分），满分120分，测试时间30分钟。本套试卷有一定的难度系数，包含了根式的意义及其与绝对值、完全平方式的综合运用，同学们可以在做题过程中回顾课本，加深对根式的理解。 学习建议:本讲内容是在课本基础上的拔高训练，深入地剖析了根式，需要同学们更加深入地理解根式的意义，也要熟悉其与绝对值、完全平方式的综合运用。虽然题目有些难度，但万变不离其宗，大家可以在做这部分题的时候多回顾课本，真正做到理解最基本的知识点。 一、填空题(共7道，每道5分) 1.化简：=______. 答案：6 解题思路：被开方数必须大于等于零，∴，即. 又，∴a-1=0 ∴a=1 代入所求式子，答案为6. 易错点：忽略了被开方数是大于等于零这一隐含条件 试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件 2.若有意义，则a-b=______. 答案：0 解题思路：若使有意义，需满足2ab-b-a2-b2≥0，即-(a-b)2≥0 ∴(a-b)2≤0 又(a-b)2≥0 ∴(a-b)2=0 ∴a-b=0 易错点：没有掌握被开方数必须大于等于零这一条件 试题难度：二颗星知识点：二次根式有意义的条件 3.已知，若axy-3x=y，则a=______. 答案： 解题思路：算术平方根和完全平方式都是大于等于零的，而二者之和等于零，所以二者分别 等于零，故可得出x=，y=3.然后代入axy-3x=y，可得a=. 易错点：求不出x、y的值 试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件 4.若，则3x+4y=______.

二次根式培优提高训练

《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解

基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=

八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念拓展练习(pdf,含解析)(新版)新人教

初中数学·人教版·八年级下册——第十六章二次根式 16.1二次根式 16.1.1二次根式的概念 基础闯关全练 拓展训练 1.(2019河南驻马店平舆期末)下列各 式:①38;②-(-b);③a2;④;⑤x2+2x+1,一定是二次根式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2019海南海口十四中4x的取值范围是() A.x≠-1 B.x≥-1 C.x>-1 D.x<-1 3.(2019重庆璧山四校期中联考)若x、y都是实数,且2x-1+1-2x+y=4,则xy的算术平方根为() A.2 B.±2 C.2 D.不能确定 能力提升全练 拓展训练 1.使式子6+x-2x+3有意义的最小整数x是. 2.(2017山东济宁十三中模拟)无论x取何实数,式子x2+6x+m都有意义,则m的取值范围为. 三年模拟全练 拓展训练 1.(2018 x的取值范围是() A.x>0 B.x≠9 C.x≥0且x≠9 D.x>0或x≠9 2.(2019山东德州宁津实验中学第一次月考,11,★★☆)如果式子-m+ P(m,n)在平面直角坐标系中的位置是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2019安徽宿州十八中期末,12,★★☆)若a、b为实数,且 a+b=.

五年中考全练 拓展训练 1.(2016云南曲靖中考,10,★☆☆)如果整数x>-3,那么使函数y= -2x有意义的x的值是(只填一个). 2.(2019四川内江中考,22,★★☆)若|1001-a|+a-1002=a,则a-10012=.核心素养全练 拓展训练 1.已知m满足2x+3y-m=0, 3x+2y+1+2m=0,且x+y-2020=-2020-x-y,求m的值. 2.先阅读,后回答问题. x为何值时x(x-1)有意义? 要使式子有意义需满足x(x-1)≥0, 由乘法法则得x≥0,x-1≥0或x≤0,x-1≤0, 解得x≥1或x≤0, 即当x≥1或x≤0时,x(x-1)有意义. 体会解题思想后,解答:x

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

16.1 二次根式 教学设计 教案

教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： （1）理解二次根式的概念， （2）利用公式的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 2、过程与方法： 通过自主合作学习，和教师合作精讲，掌握学习目标。 3、感态度与价值观： 培养学生辩证唯物主义观点。 2. 教学重点/难点 二次根式中被开方数的取值范围。 3. 教学用具 多媒体，白板。 4. 标签 教学过程 1 、引入新课 【师】同学们好（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：面积为3的正方形的边长为 ___面积为S的正方形的边长． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130则他的宽为 __________． 问题3：一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t与开始落下时离地面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表示t，那么t为 _________． 答案：

【板书】 第十六章二次根式 2 、新知介绍 【师】很明显都是一些正数的算术平方 根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如\（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 思考: （学生活动）议一议： 1）-1有算术平方根吗？(没有) 2）0的算术平方根是多少？（0） 3）当a<0，有意义吗？（没有） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有： 不是二次根式的有： 【板演/PPT】 【师】大家刚才都完成了任务，接下来我们一起学习二次根式性质： 我们学过，，a≥0的式子叫二次根式，我们知道a≥0那么呢？因是a的算术平方根所以≥0.下面我们根据二次根式的非负性解决实际问题。 例2：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥1/3 当x≥1/3时，在实数范围内有意义． 3、巩固训练（生演板）

初中数学八年级下册《二次根式》优秀教学设计

二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0 ）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（ a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3， BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以，所以所求点的坐标． 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们（a ≥0）?的式子叫做二次根式，号． 3x B A C

（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 有意义吗？ 老师点评:（略） 例1 （x>0） 、 、 （x ≥0，y ?≥0）． 分析 ；第二，被开方数是正数或0． 解： x>0）、- x ≥0，y ≥0）；、 、． 例2． 当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P 练习1、2 、3． 四、应用拓展 例3．当x + 在实数范围内有意义？ 分析+ 中的≥0和 中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+在实数范围内有意义． 例4(1)已知+5，求的值．(答案:2) 1x 1x y +1x 1x y +1313 11x +11x +11 x +23010x x +≥??+≠? 32 3211 x +x y

最新二次根式最常见题型(答案)

精品文档 二次根式 二次根式： 当 ______________ 时，J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义，则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时，J （1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式： x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ，则x 的取值范围是 。 化简：X 2—2X ， 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时，J （x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「，x ， 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数，则（ a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸（y"）工2^（ X 却 两,J x 2出,x 中，二次根式有（ A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3， 则 J （2 ￡ f -J （a d j 等于（ ） -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0，b w 0 时， _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式，则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算：\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算： （届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ，面积为2^6，则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ，下列等式总能成立的是（ ） （T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ，以下说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算：J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0，求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数，且叩a ■ ib -1 "：」1 —b =0，求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25.

奥数训练之二次根式全新

二次根式 一、二次根式的两个非负性. 1）、被开方数非负的应用：【a ≥0】 例1：已知：y=32-x +x 23-+2.则x y = . 例2：已知：b= b a a 3462+-+b a a 3426+-则a 2-ab+b 2= . 例3：设a.b.c 均为不小于3的实数. 则2-a +1+b +11--c 的最小值是 . 针对性训练： 1、代数式x +1-x +2-x 的最小值为 . 2、求：4+a +a 29-+a 31-+2a -的值为 . 2）、结果非负【a ≥0】的应用 例1：已知：4+x +（2x+y ）2=0则x-y 的值为 . 针对性训练习： 1、已知：2-m +x 2+y 2+4x-6y+13=0则（x+y ）m 的值为 . 2、①.110-x +1有最小值时x= ，这个最小值为= . ②.42+x +1有最小值时x= ，这个最小值为= ③.9-24x -的最大值为 ，最小值为 . 3）、综合应用.8 例1：已知：2001-a +a -2000=2003-a 求：a 例题：已知：3x +5y =7其中（x>0）求m=2x -3y 的取值范围. 针对性练习： 1、已知：实数a 满足a -2004+2005-a =a 则a-20042的值为 .

4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【2)( a a =】 例1: 填空：y-21-y =( )2 例2：已知：2（x +1-y +2-z ）=x+y+z.求x.y.z 的值. 例3：已知a+b 2+11--c =42-a +2b-3 求：a+2b-2 1 c 的值. 针对性练习 1、a,b,c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求()()()b a c a c b c b a +++++的值 2、如果( ) 9214+++=-+-+z y x z y x ，那么x+y+z 的值是多少 二、2a =a 的应用 拓展为b a 2= a b 反过来a b =b a 2时要注意a 符号 例1：设x<0.y<0.在x x y -y 13xy -y x 3化简= . 例2：若3-x +()21-x =2则x 的取值范围是 . 例3：已知：-32

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二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a （ a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . （ 3）形如m a（a≥ 0）的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a （ a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : （1）双重非负性 : a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性 : 2 a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性 : a 2 a(a0) a a(a .（主要用于二次根式的化简） 0) 重要结论 : （1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 （3）A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. （4） A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________.

二次根式的运算拓展与提高

二次根式的运算拓展与提高 【例1】 已知2 542 4 52 2 2 +--- --= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 【例2】 化简 2 2 ) 1(111++ + n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题) A ．1 111++ + n n B ．1 111++ - n n C ．1 111+- + n n D ．1 111+- - n n 【例3】计算： （1） ) 23)(36(23346+ + ++； （2； 【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题) 巩固练习 1．如果2 2332+-+ -= x x y ，那么4x y -= ． 2．已知3=xy ，那么y x y x y x +的值为 ． (成都市中考题) 3．计算2001 ) 13(2) 13(2) 13( 1999 2000 2001 ++-+-+= ．(天津市选拔赛试题) 4．若 ab ≠0，则等式ab b b a -= - -3 5 1成立的条件是 ．(淄博市中考题) 5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子a a -- -11) 1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1 7．已知)0,0(02 >>=+-y x y xy x ，则 y xy x y xy x 4353-++-的值为( ) A ．3 1 B ． 2 1 C ． 3 2 D ． 4 3 8．已知3 21 += a ，那么 a a a a a a -+-- +-2 2 2 1 21 1 的值等于（ ）

2020-2021学年八年级数学人教版下册 第十六章 二次根式 综合提升训练题

2021年人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式 综合提升训练题 一、选择题 1．估计(的值应在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 221a =-，那么（ ） A ．12a < B ．12a ≤ C ．12a > D ．12 a ≥ 3有意义，则字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-2 B ．x ≠4 C ．x <-2 D ．x ≥-2且x ≠4 4．下列计算结果，正确的是（ ） A 3 B C ． 1 D ．2＝5 5．实数a ，b |||+|-+a b a b 的结果是（ ） A ．2a ﹣b+1 B ．a ﹣2b+1 C ．﹣a+2b ﹣1 D ．2a+b ﹣1 6是整数，则n 的值不可能是（ ） A ．2 B ．8 C ．32 D ．40 7．化简2+|x ﹣2|结果为（ ） A ．0 B ．2x ﹣4 C ．4﹣2x D ．4 8．下列计算正确的是（ ） A = B = C D 9．下列式子一定成立的是（ ） A 2a =﹣2 B 2a =＋2 C =D = 10．已知实数x y ，满足50x -=，则x y ，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ．21或18 B ．21 C ．18 D ．以上均不对．

二、填空题 11．已知实数31a ，则a 的倒数为________． 12_____ 13．已知52 x =|4|x -的结果是_____． 14．14．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是___. 15．数轴上有A ，B ，C 三点，相邻两个点之间的距离相等，其中点A 表示B 表示1，那么点C 表示的数是________． 三、解答题 16．先化简，再求值：2224112a a a a a -÷----，其中2a =． 17．先化简，再求代数式2211122x x x -??-÷ ?++??的值，其中1x =-． 18．（1）()() 33 （2 19．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 只要我们找到两个正数a 、b ，使a b m +=，72a b -=，使得22m +==那么便有： )a b ==> 7m =，12n =，由于437+=，4312?= 即227+== 2===+（1）填空：625-= ，1046+= ； （2）化简：29813 -． 20．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？