全等三角形单元练习(Word版 含答案)

全等三角形单元练习（Word版含答案）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将

△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．

【答案】363

【解析】

【分析】

分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；

【详解】

解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°

∵∠C＝45°

∴∠AME＝∠C

又∵∠AME＞∠C

∴这种情况不成立；

②若AE＝EM

∵∠B＝∠AEM＝45°

∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°

∴∠BAE＝∠MEC

在△ABE和△ECM中，

B

BAE CEN

AE EII

C

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABE≌△ECM（AAS），

∴CE＝AB6，

∵AC＝BC2AB＝3

∴BE ＝

23﹣6；

③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45° ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAE ＝45° ∴AE 平分∠BAC ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝

1

2

BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．

2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形

（1）如图，在ABC ?中，25,105A ABC ∠=?∠=?，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．

（2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．

【答案】130? 1807?

?? ???

【解析】 【分析】

（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=?，即可得到答案；

（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答

案．

【详解】

（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，

∴∠BDA=180°-25°×2=130°．

故答案为：130°；

（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，

∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴4∠B=180°，

∴∠BAC=90°．

②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，

∴∠BAC=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°．

③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，

∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴5∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°．

④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，

∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=3∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴7∠BAC=180°，

∴∠BAC=

180 ()

7

?．

综上所述，∠A的最小度数为：

180 ()

7

?．

故答案是：

180 ()

7

?．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．

3．如图，已知等边ABC ?的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ?，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】

作CG ⊥MN 于G ，证△ACE ≌△BCF ，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出1

2

4CG BC ==，在Rt △CMG 中，由勾股定理求出MG ，即可得到MN 的长． 【详解】

解：如图示：作CG ⊥MN 于G ，

∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=60°，

∴∠

ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE ， 即∠ACE=∠BCF ， 在△ACE 与△BCF 中

AC BC ACE BCF CE CF =??

∠=∠??=?

∴△ACE ≌△BCF （SAS ）， 又∵AD 是三角形△ABC 的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°， ∴1

2

4CG BC =

=， 在Rt △CMG 中，2222543MG CM CG =-=-=， ∴MN=2MG=6， 故答案为：6． 【点睛】

本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．

4．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．

53

【解析】

试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=433

，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =

12AC?BE=12AC×EH×3EH=13BE=1

3

×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣

∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =

223314231442

?-?-??=53，故答案为53

．

考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．

5．如图，点P 是AOB ∠内任意一点，OP =5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线

OB 上的动点，PN PM MN ++的最小值是5 cm ，则AOB ∠的度数是__________．

【答案】30° 【解析】

试题解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ， 分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：

∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ， ∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ； ∵点P 关于OB 的对称点为C ，

∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，

∴OC=OP=OD ，∠AOB=1

2

∠COD ， ∵PN+PM+MN 的最小值是5cm ， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP ， ∴OC=OD=CD ，

即△OCD 是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°．

6．如图，在ABC ?中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若

70C ∠=?，50DAC ∠=? 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10? 【解析】 【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ?，根据全等三角形的性质得到

CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到

F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ： ∵D 是BC 的中点 ∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF = ∴ACD FDB ?

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠ ∵AC BE =， 70C ?∠=， 50CAD ?∠= ∴BE BF =， 70DBF ?∠= ∴50BEF F ?∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--= ∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-= 故答案为：10?

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

7．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________

【答案】4

【解析】

如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰

长是4cm，可求得BD=1

2

AB =4×

1

2

=2，因此此三角形的面积为：

S=1

2

AC?BD=

1

2

×4×2=8×

1

2

=4（cm2）．

故答案是：4．

8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是

______________．

【答案】2018

1802??? ???

【解析】 【分析】

根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A 2019为顶点的内角度数． 【详解】

解：∵在△CBA 1中，∠B=20°，A 1B=CB ，

∴∠BA 1C=

°180-2

B

∠=80°， ∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角， ∴∠DA 2A 1=

12∠BA 1C=1

2

×80°； 同理可得∠EA 3A 2=（

12）2×80°，∠FA 4A 3=（1

2

）3×80°， ∴第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是（1

2

） n-1×80°．

∴第2017个三角形中以A 2019为顶点的底角度数是（12

）2018

×80°， 故答案为：（12

） 2018

×80°． 【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．

9．如图，D 为ABC ?内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若

8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.

【答案】1.5

【解析】

【分析】

延长BD交AC边于点E，根据BD⊥CD,CD平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.

长，再根据A ABD

【详解】

延长BD交AC于点E，

∵BD⊥CD，

∴∠BDC=∠EDC=900，

∵C D平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD

又∵CD=CD

∴△BCD≌△ECD

∴BD=ED,CE=BC=5，

∴AE=AC-CE=8-5=3，

∠=∠,

∵A ABD

∴BE=AE=3，

∴BD=1.5

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.

10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．

【解析】 【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A 2B 2=2B 1A 2，进而得出A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2…从而得到答案． 【详解】

∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°． ∵∠MON =30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°． 又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°． ∵∠MON =∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=a ，∴A 2B 1=a ．

∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°． ∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2=16a ，以此类推：A 7B 7=64B 1A 2=64a ． 故答案为：64a ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=

（ ）

A ．

10

2a B ．

9

2a C ．

20

a D ．

18

a

【解析】 【分析】

根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论． 【详解】

解：1212B A B B =，11A B O α∠=， 221

2

A B O α∴∠=，

同理332111

222A B O αα∠=?=，

443

1

2A B O α∠=

， 1

1

2n n n A B O α-∴∠=

， 10109

2A B O α

∴∠=

，

故选：B ． 【点睛】

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．

12．如图,ABC ?中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )

A ．1.5

B ．3

C ．4.5

D ．9

【答案】C 【解析】 【分析】

首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可． 【详解】

延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．

∵AD ⊥BH ，∴∠ADB =∠ADH =90°，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠H +∠HAD =90°． ∵∠BAD =∠HAD ，∴∠ABD =∠H ，∴AB =AH ． ∵AD ⊥BH ，∴BD =DH ． ∵DC =CA ，∴∠CDA =∠CAD ．

∵∠CAD +∠H =90°，∠CDA +∠CDH =90°，∴∠CDH =∠H ，∴CD =CH =AC ． ∵BD =DH ，AC =CH ，∴S △CDH =12

S △ADH 1

4=S △ABH ．

∵AE =EC ，∴S △ABE 1

4

=

S △ABH ，∴S △CDH =S △ABE ． ∵S △OBD ﹣S △AOE =S △ADB ﹣S △ABE =S △ADH ﹣S △CDH =S △ACD ．

∵AC =CD =3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12?3×392

=． 故选C ． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

13．如图，已知：30MON ∠=?，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若11

2

OA =

，则667A B A 的边长为( )

A ．6

B ．12

C ．16

D ．32

【答案】C 【解析】 【分析】

先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，再利用外角定理求∠OB 1A 1=30°，则∠MON=∠OB 1A 1，由等角对等边得：B 1A 1=OA 1=1

2

，得出△A 1B 1A 2的边长为

1

2

，再依次同理得出：△A 2B 2A 3的边长为1，△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16． 【详解】

解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形， ∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2， ∵∠MON=30°，

∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°， ∴∠MON=∠OB 1A 1，

∴B 1A 1=OA 1=

12

， ∴△A 1B 1A 2的边长为

12

， 同理得：∠OB 2A 2=30°，

∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=

12+1

2

=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1，

同理可得：△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16． 故选：C ． 【点睛】

本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．

14．如图，ABC ?中，60BAC ∠=?，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C

【解析】

【分析】

①由角平分线的性质可知①正确；

②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=1

2

AD，DF=

1

2

AD，从而可证明②正确；

③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；

④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

【详解】

解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF．

∴①正确．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=1

2 AD．

同理：DF=1

2 AD．

∴DE+DF=AD．

∴②正确．

③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC是否等于90°不知道，

∴不能判定MD平分∠EDF，

故③错误．

④∵DM是BC的垂直平分线，

∴DB=DC．

在Rt△BED和Rt△CFD 中

DE DF

BD DC

?

?

?

＝

＝

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD．

∴BE=FC．

∴AB+AC=AE-BE+AF+FC

又∵AE=AF ，BE=FC，

∴AB+AC=2AE．故④正确．

综上所述，①②④正确，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )

A．AD＝BE B．BE⊥AC

C．△CFG为等边三角形D．FG∥BC

【答案】B

【解析】

试题解析：A.ABC和CDE

△均为等边三角形，

60

AC BC EC DC ACB ECD

∴==∠=∠=?

，，，

在ACD与BCE中，

{

AC BC

ACD BCE

CD CF

=

∠=∠

=，

ACD BCE

∴≌，

AD BE

∴=，正确.

B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE

⊥错误，故本选项符合题意.

C.CFG是等边三角形，理由如下：

180606060

ACG BCA

∠=?-?-?=?=∠，

ACD BCE

≌，

CBE CAD

∴∠=∠，

在ACG和BCF中，{

CAG CBF

AC BC

BCF ACG

∠=∠

=

∠=∠，

ACG BCF

∴≌，

CG CH

∴=，又∵∠ACG=60°

CFG

∴是等边三角形，正确.

D.CFG是等边三角形，

60

CFG ACB

∴∠?=∠

﹦，

.

FG BC

∴正确.

故选B.

16．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；

②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120o；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是

（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意易证：△ACE?△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE?△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ?△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，

即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120o；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形， ∴AC=DC ，CE=CB ，∠ACE=∠DCB=120°， ∴△ACE ?△DCB(SAS) ∴AE ＝BD ， ∴①正确； ∵△ACE ?△DCB ， ∴∠CAE=∠CDB ，

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC ， 在△ACM 和△DCN 中，

∵60CAE CDB AC DC

ACD DCE ∠=∠??

=??∠=∠=??

∴△ACM ?△DCN （ASA ）, ∴CM ＝CN ， ∴②正确；

∵CM ＝CN ，∠DCE=60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC=60°， ∴∠MNC=∠BCE ， ∴MN ∥AB ， ∴③正确； ∵△ACE ?△DCB ， ∴∠CAE=∠CDB ， ∵∠AMC=∠DMO ，

∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ， 即：∠ACM=∠DOM=60°， ∴∠AOB ＝120o， ∴④正确；

作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图， 在△ACG 和△DCH 中，

∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=??

∠=∠??=?

∴△ACG ?△DCH （AAS ）， ∴CG =CH ， ∴OC 平分∠AOB ，

故选D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.

17．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE，分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出

∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；

通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED2MD，再通过证明

△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．

【详解】

∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，

∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．

∵EH平分∠AEG，

∴∠AEH=∠GEH．

∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．

∵AE=GE，EC=EC，

∴△AEC≌△GEC（SAS），

∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．

∵∠EDG=90°，

∴∠DEG=∠DGE=45°，

∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，

故②正确；

∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，

∴△EDC≌△GDB（SAS），

∴∠CED=∠BGD，ED=GD．

∵HD平分∠CHG，

∴∠GHD=∠EHD．

∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．

∵∠EDG=∠ADC=90°，

∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；

∵∠EDC=90°，ED=GD，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴∠DEG=45°．

∵∠GDH=45°，

∴∠EDH=45°，

∴△EMD是等腰直角三角形，

∴ED MD．

∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，

∴∠AFE=∠CFG=90°．

∵∠EDC=90°，

∴∠EFC=∠EDC=90°．

∵EH平分∠AEG，

∴∠AEH=∠GEH．

∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，

∴∠FEC=∠DEC．

∵EC=EC，

∴△EFC≌△EDC，

∴EF=ED，

∴EF MD．

故③错误；

八年级数学上册全等三角形单元测试卷(含答案解析)

八年级数学上册全等三角形单元测试卷（含答案解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】 解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ， ∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ， ∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ， ∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ， ∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠， ∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ， 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152 DE BD ==，12 BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠= ∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ， ∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5， ∴11451022 ABC S AB CF =?=??=． 故答案为：10．

八年级全等三角形单元测试卷(解析版)

八年级全等三角形单元测试卷（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，

∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________． 【答案】 5 4),0, 4 ?? ? ?? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】 有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝ = ∴D（0）； ②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4， ∴P（0，4）； ③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC， 由勾股定理得：OC＝AC， ∴OC＝5 4 ， ∴C（0，5 4 ）； 故答案为： 5 4),0, 4 ?? ? ?? ．

新人教版八年级全等三角形教案

11．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生 的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形 的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： 观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考： 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 “全等”用 表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如

DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ??? 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角 思考：如上图，13。1-1DEF ABC ???，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 D A D B D （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？ B E （3）如图，,A C D A B E ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠ B A ，求AD C ∠的大小。 B C

人教版--全等三角形讲义

人教版--全等三角形 讲义 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

全等三角形 全等三角形性质 图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作 ．．．．． “全等于” ．．．．． 全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC? ?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC? ? ?。 F D A B C 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等； ．．．．．．．．．．．．全等三角形的对应角相等。 ．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④ 2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______． 3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______． 4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________． 5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题3题4题5题

【精选】全等三角形单元试卷(word版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

人教版八年级上册12.1全等三角形教案

§12．1 全等三角形 教学目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点 全等三角形的性质． 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？ 这两个三角形是完全重合的．

2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号． 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形状、大小相同． 概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．Ⅱ．导入新课 利用投影片演示 将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 不难得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等． [例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角．

全等三角形单元测试题

全等三角形单元测试 一、选择题 1．下列三角形不一定全等的是（ ） A ．有两个角和一条边对应相等的三角形 B ．有两条边和一个角对应相等的三角形 C ．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D ．三条边对应相等的两个三角形 2．下列说法： ①所有的等边三角形都全等 ②斜边相等的直角三角形全等 ③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等 ④有两个锐角相等的直角三角形全等 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ，则下列结论错误的是（ ） A.BC=BD B.CE=DE C.BA 平分∠CBD D.图中有两对全等三角形 4.AD 是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下 列结论中错误的是 ( ) A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF 5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个 角对应的角是（ ）． A ．∠A B ．∠B C ．∠C D ．∠B 或∠C 6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（ ）． A ．25° B ．27° C ．30° D ．45° 7.如下左图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，且AB ＝10 cm ， D A C E B

F E D C B A 则△BED 的周长为 ( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm 8．如上右图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③ 点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A 、AF=2BF; B 、AF=BF; C 、AF>BF; D 、AF

人教版全等三角形教案

11章全等三角形 11.1 全等三角形 教学目标 ①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等. ②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质. ③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. ④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识. 教学重点与难点 重点：全等三角形的有关概念和性质. 难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系. 教学准备 复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等. 教学设计 问题情境 1.展现生活中的大量图片或录像片断. 片断1：图案. 注：丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中. 片断2：一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案. 片断3：教科书第90页的3幅图案. 2.学生讨论： (1)从上面的片断中你有什么感受? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 注：它反映了现实生活中存在着大量的全等图形. 图片的收集与制作 1.收集学生讨论中的图片. 2.讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法. 注：对学生进行操作技能的培训与指导. 学生分组讨论、思考探究 1.上面这些图形有什么共同的特征? 2.有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义? 注：对学生的不同回答，只要合理，就给予认可. 教师明晰。建立模型 1.给出“全等形”、“全等三角形”的定义. 2.列举反例，强调定义的条件. 3.提出问题“你能构造一对全等三角形”吗?你是如何构造的，与同伴交流. 4.全等三角形的对应元素及性质：教师结合手中的教具说明(学生运用自制学具理解)对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等(教师启发学生根据“重合”来说明道理). 注：通过构图，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础. 解析、应用与拓广 1.学生用半透明的纸描绘教科书91页图13.1－1中的△ABC，然后按“思考题”要求在三个图中依次操作.(或播放相应的课件)体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”.

新人教版八年级全等三角形教案

课题：12．1全等三角形 教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉， 4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。 学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。 课前准备：全等三角形纸片 【教学教程】 一、创设情境，引入新课 1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？ 一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。 归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.学生动手操作 3.⑴在纸板上任意画一个三角形ABC，并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。 ⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF，使它与△ABC全等？ 3.板书课题：全等三角形

定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 “全等”用“≌”表示，读着“全等于” 如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF 二、探究 全等三角形中的对应元素 1. 问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？ 2．学生讨论、交流、归纳得出： ⑴.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。 ⑵.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。 全等三角形的性质 1.观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边 有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． 2.用几何语言表示全等三角形的性质 如图：∵?ABC≌?DEF

八年级上册数学 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

八年级上册数学全等三角形单元测试卷（word版，含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____． 【答案】AD的中点 【解析】 【分析】 【详解】 分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′， 根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝ 22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】 本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 3．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，

人教版初中数学全等三角形证明题经典50题

人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD? 解析：延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE =∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2 ∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝ 180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平 分∠BAD 所以∠DAC ＝ ∠FAC 又因为AC ＝AC 所以 △ADC ≌△AFC （SAS ） 所以 AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝ AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接 EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则 ∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所 以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 证明：AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F C D B D C F E A B A C D F 2 1 E

新人教版八年级数学全等三角形单元试卷及参考答案

新人教版八年级数学单元考试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是（ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B 或∠C 2．如图，在CD 上求一点P ，使它到OA ，OB 的距离相等，则P 点是（ ） A.线段CD 的中点 B.OA 与OB 的中垂线的交点 C.OA 与CD 的中垂线的交点 D.CD 与∠AOB 的平分线的交点 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图所示，△ABD ≌△CDB ，下面四个结论中，不正确的是（ ） A.△ABD 和△CDB 的面积相等 B.△ABD 和△CDB 的周长相等 C.∠A +∠ABD ＝∠C +∠CBD D.AD ∥BC ，且AD ＝BC 4．如图，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E ，F 在DB 上两点且BF ＝DE ，若∠AEB ＝120°，∠ADB ＝30°，则∠BCF ＝ （ ） 5A.6A. 789．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB A D A C B O D C B A

于F ，则（ ） A. AF ＝2BF B.AF ＝BF C.AF ＞BF D.AF ＜BF 第8题图 第9题图 第10题图 10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 二、填空题（每题3分，共15分） 11．能够____ 的两个图形叫做全等图形． 12．已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有 对全等三角形． 13．如图，△ABC ≌△ADE ，则，AB = ，∠E = ∠ ．若∠BAE =120°， ∠BAD =40°，则∠BAC = ． 14．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB =3，EF =4，则AC = ． 15．△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且CD =4cm ，则点D 到AB ?的距离是________． 三、解答题(共55分) 16．（7分）如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 证明： ∵AD 平分∠BAC ∴∠________＝∠_________（角平分线的定义） 在△ABD 和△ACD 中 ∵??????? ∴△ABD ≌△ACD （ ） B A C B A E D 第12题图 第13题图 F E D C B A A E C B A ′ E ′ D

全等三角形的性质(人教版)(含答案)

全等三角形的性质（人教版） 试卷简介:本套试卷主要测试学生全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。并和前面学生学过的三角形的内角和定理、三角形外角的性质等内容结合起来，检测学生能否灵活运用全等三角形的性质，有理有据的求边长、求角度。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下面是五个全等的正五边形,请你仔细观察,判断出下面四个图案中与已知图案完全相同的图案是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 本题考查全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 观察已知图形，对比选项验证，A正确，选A． 试题难度：三颗星知识点：全等图形 2.已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数是( )

A.72° B.60° C.58° D.50° 答案：D 解题思路：本题考查全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等． 思路分析： ①根据全等三角形对应角相等，求∠α的度数，需找到∠α的对应角； ②根据对应边所对的角是对应角，可先找对应边； ③根据全等三角形对应边相等，结合图中标注，可知∠α所对的边长为b，因为边长为b 的边所对的角为50°，故∠α=50°，选D． 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质 3.如图,△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12,则DE长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解题思路：本题考查全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等． 1.思路分析 根据全等三角形对应边相等可得BD=BC，BE=AB，然后根据DE=BD-BE代入数据进行计算即可得解． 2.解题过程 ∵△ABD≌△EBC，AB=5，BC=12， ∴BD=BC=12，BE=AB=5，

【精选】八年级上册全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点 D 作DF D E ⊥与点 F ， G 为BE 中点，连接AF ，DG ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图， ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.

∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE 是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G 为BE 中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF 是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF ⊥DF. （2）AF=2DG,且AF ⊥DG.理由:延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, ∵点G 为BE 的中点,BG=GE. ∵∠BGM ∠EGD, ∴△BGM ≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM ≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF ⊥DG. ∴AF=2DG,且AF ⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板

人教版初二数学上册《全等三角形》单元检测试题

《全等三角形》 一、填空题 １，命题“垂直于同一条直线的两直线平行”的题设是 ___________________________，结论是_______________________________________. ２，定理“如果直角三角形两直角边分别是a 、b ，斜边是c ，那么a 2+b 2＝c 2 .即直角三角形的两直角平方和等于斜边的平方”的逆定理是 _________________________________________________________________________.. ３，如图1，根据SAS ，如果AB ＝AC ， ＝ ，即可判定ΔABD ≌ΔACE . ４，如图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE ＝3cm ，则P 点到直线AB 的距离是_____________. ５，如图3，在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于D ，若AB ＝10，则△BDE 的周长等于＿＿＿＿. ７，如图5，AD ＝AE ，∠1＝∠2，BD ＝CE ，则有△ABD ≌ ，理由是 . ８，如图6，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，D 、E 、F 是垂足，BD ＝CD ，那么图中的全等三角形有_______对. 二、选择题（每题2分，共20分） 1，下列命题中，真命题是（ ） A.相等的角是直角 B.不相交的两条线段平行 C.两直线平行，同位角互补 D.经过两点有具只有一条直线 ２，如图7所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5 ３，如图8所示，∠1＝∠2，BC ＝EF ，欲证△ABC ≌△DEF ，则还须补充的一个条件是（ ） A.AB ＝DE B.∠ACE ＝∠DFB C.BF ＝EC D.∠ABC ＝∠DEF 图2 E C D P A B 图3 E D C B A E D A B C 1 2 图5 图1 E D C B A 图6 A F (8)C E B D 图7 F E C B A 图8

《12.1 全等三角形》(数学人教版九上)

《12.1 全等三角形》教学设计 教材分析: 本课是在学生已经学习了三角形、多边形及其相关概念的基础上，进一步研究图形之间的全等关系，全等形、全等三角形及其相关概念，全等三角形的性质． 教学目标： 【知识与能力目标】 理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形． 【过程与方法】 1.了解并体会图形变换的思想，培养动态地研究几何图形的意识． 2.探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题． 【情感态度与价值观】 培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识． 教学重难点： 【教学重点】全等三角形的有关概念和性质． 【教学难点】理解全等三角形边、角之间的对应关系． 课前准备： 多媒体 教学过程： 问题1：(1)观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？ [追问]你能再举出生活中的一些类似例子吗？

(2)操作并交流：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们特征，你有何发现？ [学生活动]先进行剪纸操作活动，然后观察思考，再与同学合作交流. [讨论交流]同学们，像上述这样“一模一样”的例子，生活还有许多，你能再举出一些例子吗？ [学生活动]分组讨论交流. [教师点拨]像这种“一模一样”的两个图形，我们几何上称为全等形，本节课我们就来学习和研究全等形的有关知识. 【设计意图】1.创设情境，激发学生兴趣，引出本节要讨论的内容．丰富的图形和问题容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中. 2.观察出示的图形，寻找形状、大小相同的图形，归纳全等形的概念，进而得出全等三角形的概念. 问题2：(1)请同学用语言归纳出问题1 和问题2 中两个图形有何关系？ [定义1]能够完全重合的两个图形叫做全等形． [定义2]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． (2)【探究1】如图，△ABC与△DEF完全重合(电脑演示重合过程)． 这时，点A与点D重合．点B与点E重合，我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；△A与△D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC△△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上． (3)[练习]你能找出下列图形中的对应点、对应边和对应角吗？ [师生活动]教师引导学生归纳在全等三角形中找对应元素的方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识 点 定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 表示：全等用“≌”表示，读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角

边角”)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以， SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。 6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。

八年级数学全等三角形单元测试卷附答案

八年级数学全等三角形单元测试卷附答案 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在x 轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 以O 为圆心，OA 为半径画弧交x 轴于点P 1、P 3，以A 为圆心，AO 为半径画弧交x 轴于点P 4，作OA 的垂直平分线交x 轴于P 2． 【详解】 解：如图，使△AOP 是等腰三角形的点P 有4个． 故答案为4． 【点睛】 本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键． 2．在ABC ?中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=?，则BAC ∠=______°. 【答案】80或100 【解析】 【分析】 根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种

情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知， ,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=?，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?，联立即可求得. 【详解】 由题意可分如下两种情况： （1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==， 1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠ （等边对等角）， 两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠， 又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠ 20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+? ， 由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?， 20180BAC BAC ∴∠+?+∠=? ， 80BAC ∴∠=? ； （2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==， 3,4B C ∴∠=∠∠=∠ （等边对等角）， 两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠， 又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠， 3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-? ， 20B C BAC ∴∠+∠=∠-? 由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=?， 20180BAC BAC ∴∠-?+∠=? ， 100BAC ∴∠=? . 故答案为80或100.

全等三角形单元测试卷(含答案解析)

全等三角形单元测试卷（含答案解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，

∴ AD =BD =CD ， ∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ， ∴∠BAD +∠CAD = 12 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°， 综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论： ①AE=CF ； ②△EPF 是等腰直角三角形； ③EF=AB ； ④12 ABC AEPF S S ?= 四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上). 【答案】①②④ 【解析】 试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角， ∴∠APE=∠CPF ， ∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点， ∴AP=CP ， ∴∠PAE=∠PCF ， 在△APE 与△CPF 中， {?PAE PCF AP CP EPA FPC ∠=∠=∠=∠ ， ∴△APE ≌△CPF （ASA ）， 同理可证△APF ≌△BPE ， ∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12 S △ABC ，①②④正确；