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极限与连续的62个典型习题

习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 n

n m n

n a a a 121)(lim +++∞

→ . 解记},,,max{21m a a a a =，则有

a a a a a n

n n n

m n n =≥+++11

21)()( ，a a n =∞

→lim .另一方面

n n

m n

m a ma a a a 11121)()()(?=≤+++ .

因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a n

n =?∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a n

m n

n =+++∞

→121)(lim ，其中 },,max{21m a a a a =.

例如 9)9531(lim 1

=+++∞

→n

n . 习题2 求 )2211(lim 222n

n n n

n n n n n +++++++++∞

→ .

解

n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1

212+++++

即

n n n n n n n n n n n n +++++++++<++22222211)2(2)1( )

1(2)

1(2

+++

1421

1lim 421lim )2(2)1(lim 2=++

=++=++∞→∞→∞→n

n n n n n n n n n n . 2

122211lim )1(2)1(lim 2

2=+++

=+++∞→∞→n

n n n n n n n n . 利用两边夹定理知

)2211(

lim 222=+++++++++∞

→n

n n n n n n n n .

习题3 求n n n n ))

1(1321211(lim +++?+?∞→ . 解 n n n n ))1(1

321211(lim +++?+?∞

→ n n n n ))111()3121()211((lim +-

++-+-=∞→ 1)1()111(lim )111(lim -+∞→∞

→+-=+-

=n n n n n n 1

1)1

11()111(lim -+∞→+-?+-=n n n n 1

1)1()1

11(lim ]))1(11([lim -∞→-+-∞

→+-?+-+

=n n n n n 111--=?=e e 习题4 求 ),(11lim 1

N n m x

m n

x ∈--→.

解（变量替换法）令mn x t =，则当1→x 时，.1→t 于是,

原式n

t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=--=--→→)1)(1()1)(1(lim 11lim 121211 . 习题5 求x

x x x )1

(lim

-+∞

→.

解（变量替换法）令+∞→+∞→=t x t x ,,，

原式t

t t t t t t t t t )11(lim )1(lim

22+?-=-=∞→∞→t t t t ])11()11[(lim 11--∞→-?+= t t t t

t --∞→-?+=)1

1()11(lim 101==?=-e e e . 习题6 求 x

x x x

e sin 1

0)23(lim

+-→ (∞1型)。为了利用重要极限，对原式变形

x x e e x x

x x

x o x x x o x x x

e x x e x x x e sin 1

2112sin 1sin 1])211[(lim )212(lim )23(lim ?+----+→→→+--+

=+--++=+-

sin 1

212])211[(lim --?+----+→==+--+=e e

e x x

x x x e x x

x o x

习题7 求 2

11lim

x x x --++→. 解原式 )

211()

211)(211(lim

+-+++-++--++=→x x x x x x x x

)

211(41211lim

220

+-++--+-++=→x x x x x x x

)

11)(211()

11(2lim

+-+-++--=→x x x x x x

)

11)(211(2

lim

+-+-++-=→x x x x 4

242-=?-=

. 习题8 求 2

64lim 2-++∞→x x x x . 解由于

32235

64lim 2

64lim

2=-

=-+++∞→+∞

→x

x x x x x x . 而)

3()

64(lim 2

64lim

222

x x x x x x x x x -++=-++-∞→∞

-→ 3

23()

564(lim )23()564(||lim

22-=-++-=-++=-∞→-∞

→x

x x x x x x x x 23564lim

23564lim 22-++≠-++-∞→+∞→x x x x x x x x .故 2

64lim 2-++∞→x x x x 不存在。习题9 研究下列极限（1）x

x sin lim

∞

→. ∵ 原式x x x sin 1lim ?=∞→，其中01lim =∞

→x x ，1|sin |≤x . ∴ 上式极限等于0，即0sin lim

=∞→x x x .（2）x

x x 1

sin lim 0?→.

因为 1|1

sin |≤x

，0lim

=→x x , 所以 01sin lim 0=?→x

x x . （3）x x x 1sin lim

?∞→. 原式111sin

lim 11sin lim 01===→∞→x

x x x x

x . 习题10 计算)1,0(,)(lim 10

≠>+→a a a x x

x . 解原式x

x x xa a 1

0)1(lim -→+=x

a xa x x xa a -?-→+=10

)1(lim

x x

a xa x x xa a -→--→+?=0

lim 10

]

)

1(lim [ae e a =?=1.

习题11 1

ln ln 1lim 11lim 11lim ln 1ln 11-?-=--=--→→→x x

x e x e x x x x x x x ααααα αααααα=??=--+?-=→-→111

)]

1(1ln[lim ln 1lim 0)1(ln 0ln x x x e x x x . 习题12 已知 51lim 21=-++→x c

bx x x ，求c b ,的值。解首先01lim 21

=++=++→c b c bx x x

，∴c b --=1 原式51)]([lim )

1()

)(1(lim 11

=-=--=----=→→c c x x c x x x x ， ∴ 6=c ，而 7)61()1(-=+-=+-=c b . 习题13 下列演算是否正确？

01sin sin 1lim sin 1sin

lim 202201

=??=↓

↓→→有界

x x

x x x x x x x .

习题14 求)sin 1(sin lim x x x -++∞

→. 解原式2

1cos 21sin 2lim x

x x x x ++?-+=+∞

→

21cos

)

1(21sin

lim 2x

x x x x ++?++=+∞

→0=. 习题

15 求 1

sin lim

2+?∞→x x x x .

解 ∵01

11lim 1lim 3

=+=+∞→∞→x

x x x

x x ，1|sin |2≤x ，原式 = 0.

习题16 证明 )()(lim n m k b

x k x e n

x m x -+∞

→=++（b k n m ,,,为常数）。证 b x k x b x k x n x n m n x n x m x +∞→+∞

→+-++=++))((lim )(lim （令y

n x 1

1=+） b n y k y b kx y y

n m n x m x +-∞→+∞

→-+=++=)()

1(lim )(

lim b n k n

m y

n m k y y

n m +--?

-∞

→-+

=)()1(lim

n k y n m k n m y

y y

n m y n m +-∞→--∞→-+?-+=)1(lim ])1[(lim )()()(1n m k n m k e e --=?=.

习题17 求 x

x x 30)sin 1(lim

-→. 解原式3sin 3sin 10

))sin (1(lim -?-?-→=-+=e x x x

x x .

习题18 求 a

x a

x --→ln ln lim

. 解 (连续性法) 原式a x a x a x a

a x a x -→→=-=1

)ln(lim ln 1lim

a a x a

a x a a x a

a x a a x a a x 1

])1(lim ln[]1ln[lim -→?-→-+=-+= a

e a e a 1

ln 1ln 1

===.

习题19 试证方程 b x a x +=sin （其中0,0>>b a ）至少有一个正根，并且它不大于b a +.

证设x b x a x f -+=sin )(，此初等函数在数轴上连续，∴)(x f 在

],0[b a +上必连续。∵,0)0(>=b f 而

0]1)[sin()()sin()(≤-+=++-+=+b a a b b a b a a b a f 若0)(=+b a f ，

则b a +就是方程b x a x +=sin 的一个正根。

若0)(<+b a f ，则由零点存在定理可知在),0(b a +内至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf .即.sin b a +=ξξ

故方程 b x a x +=sin 至少有一正根，且不大于b a +.

习题21 求x

x x cos 110

)(cos lim -→.

解原式11

1cos 1

})]1(cos 1{[lim ---→=-+=e x x x .

习题20 设}{n x 满足0>n x 且 .1lim 1

<=-∞→r x x n n

n 试证.0lim =∞→n n x 证 ,1lim

<=-∞→r x x n n

n 取,,021N r ?>-=

ε使得当N n >时有 ,211r r x x n n -=<--ε即,2

2101+=-+<<-r r r x x n n 亦即,1210-+<

n n n n x r x r x r x -<<--++<+<

<)2

1()21(210...221 ,0)2

1(lim ,121=+∴<+-∞→N N

n n x r r

从而由两边夹准则有 .0lim =∞→n n x 习题22 用定义研究函数 ???

??≤>-+=0

011)(x x x

x x f 的连续性。

证首先，当x

x x f x 11)(,

0-+=

>是连续的。同理，当

)(,0=

),0(00lim )(lim 00f x f x x ===-

→→

).0(01

1lim )(lim 0

f x

x x f x x ==-+=+

+→→ ).0()(lim 0

f x f x =→所以故.),()(∞+-∞∈C x f

习题23 求证 1

2642)12(531lim =??-??∞

→n n n n . 证 ∵12642)

12(53121

n n ，而 =?=∞→∞

→n n n n

n n n 121lim 21lim 11

11lim 21lim =?=?∞→∞→n n n n n .由两边夹定理知，原式成立.

习题24 设.52

),1(,2)(),(2

+-=-=

y y y F x x y f y x F 任取,00>x 记 ),...2,(),...,2,(1001n n n x x F x x x F x ==+ 试证 n n x ∞

→lim 存在，并求极限值。

证 ],9)[(2

1522)1(),1(22+-=+-=-=

x y y y y f y F .9)()(,9)1()1(22+-=-∴+-=-∴x y x y f y y f 故

.29

)(),(2x

x y y x F +-=由题设

,2929)2(02002001x x x x x x +=+-=...,29,...,292

11212n

n n x x x x x x +=+=+ 由于

1)39

1(21)91(21,39)9(212211=+≤+==?≥+=++n n n n n n n n x x x x x x x x

.1n n x x ≤∴+故}{n x 单调有下界，故有极限。设,lim A x n n =∞

→

由,29

29221A

A A x x x n n n +=?+=+解出3=A （舍去3-=A ）

。习题25 设 ,...,2,1,11,010=++=>+n x x x x n

n 求.lim n n x ∞→ 解显然}{.211,010n n

n x x x x x ∴<++

=>+有上界2，有下界.0 ,11110

000001x x x x x x x x +-+=-++=-当 25100+≤

00≥-+x x 即,01x x ≥假设,1->n n x x 则

.0)

1)(1(1111

111>++-=+-+=

-----+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 故}{n x 单增。n n x ∞→∴lim 存在。设,lim A x n n

=∞

→则由n

n n n x x x ++=∞→+∞

→1lim 1lim 1得,11A A A ++

=即 251,012+=

∴=--A A A （舍去负值）。当2

10+>x 时，有,01x x < 用完全类似的方法可证}{n x 单减有下界0，同理可证

51lim +=

∞

→n n x 习题26 设数列}{n x 由下式给出 ,...2,1,1

2,211=+

==+n x x x n

n 求 .lim n n x ∞

→

解 }{n x 不是单调的，但}{12-n x 单增，并以3为上界，故有极限。

设.lim 12B x n n =-∞→}{2n x 单减，并以2为下界，设 .lim 2C x n n =∞

→在等式n

n x x 1

21+

=+两边按奇偶取极限，得两个关系 B C C B 12,12+=+=，

解出.C B =由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此}

{n x

的极限存在，记.lim A x n n =∞

→于是).1

2(lim lim 1n

n n n x x +=∞

→+∞

→故有,

12A A +=解出,21+=A （舍去负值21-）习题27 设,1

,011++=

>+n n n x x x x 试证}{n x 收敛，并求极限。证显然,0>n x 假设,lim A x n n =∞

→则由∞→++=+n x x x n n n 令1

1，可解出2=A （舍去 2-）。下面证明}{n x 收敛于.2由于

2)12(1

)

2)(12(2111--<+--=

----n n n n x x x x ，

递推可得 2)12(...2)12(21122--<<--<---x x x n n n

.0)12(lim 1=-∴-∞

→n n 由两边夹可得.02lim =-∞→n n x 故.2lim =∞

→n n x

习题28设.)

(1)

(2)(,0)()(2

211t f t f t f t f t f n n n +=>=+试证（1）)(lim ,t f t n n ∞→?存在；（2）当1)(≥t f 时，;1)(lim =∞

→t f n n 当1)(

→t f n n

证 ,n ?显然有,0)(≥t f n 又.0)(1]1)([)()()(2

1≤+--=-+t f t f t f t f t f n n n n n )(,t f t n ?∴单减有下界。∴收敛。令),()(lim t F t f n n =∞

→在原式两边取

极限得.)

(1)

(2)(22t F t F t F +=由此可解出0)(=t F 或.1)(=t F 当1)(≥t f 时，

.1)(2)(2)(1)(2)(2

221212=≥+=t f t f t f t f t f 归纳假设,1)(≥t f k 则,1)(2

≥t f k 而n t f t f t f t f t f k k k k k ?∴=≥+=+,1)

(2)

(2)(1)(2)(22221，有.1)(≥t f n 因此1)(≥t f 时

.1)(=t F 即1)((,1)(lim ≥=∞

→t f t f n n 时）。

当1)(

0)(lim =∞

→t f n n （当1)(

x x x x x x

x x x 2sin sin 21

2202sin sin 10)2sin 1sin 1(lim )2cos cos (lim --=→→ .)2sin 1()

sin 1(lim

cos (2sin

cos 41

sin 1

e e

x x x x

x x ==--=--

-?--?

-→ 习题30 若}{n x 收敛，则.0!

)(lim =∞→n x n

n n

证 }{n x 收敛，设.lim A x n n =∞

→故}{n x 必有界。设 ,...2,1,=≤n B x n 因此,!!)(0n B n x n

n n ≤≤而,0!→n B n .0!)(lim =∴∞

→n x n n n 习题31 求 .!lim

2n n n ∞

→ ∴

n n n n n n )0!lim 2=∞→n n n 变量替换求极限法

（为求),(lim

x F a

x →有时可令),(y x ?=而)]([)(y F x F ?=）习题32 求 x

x x 1

)1(lim

0-+→βα （β为自然数）

解令,1)1(1

y x =-+β

α则,]

1)1[(α

β-+=

y x 因此

αββ1)1(lim 1)1(lim

0-+=-+→→y y

x y x 11 (i)

110

-++++=--→y c y

c y y

y βββββα

(i)

110

βα

βββ=

+++=--→y y

c y y 习题33 求.111lim

x x m x m

x -

-+→

解令,1)1(,11-+=?=-+m m y x y x 且当0→x 时,0→y 故原式

.21......

21lim ]1)1[(]1)1[(1lim

2222020

m y m y m y y m y y m m y --=++--=-+-+-=→→ 习题34 求.0),(lim 12>-+∞

→a a a n n n n

解先求),(lim 12+∞

+→-x x x a a x 令 ,1t x

= 则上式

10211

ln 1exp(1lim

1lim lim 2t a t t t a a t a a t t

t t t t

t t +--=-?=-=+++→+-→+→

.ln ln 1lim 22

0a t

a t t t =+=+

→ 故原式.ln a = 用等价无穷小替换求极限习题35 求).(cos 1lim

N ∈-→n n n ?

解记).0(1,cos →→=??x n x n 则

原式=20201210cos 1lim 1lim )...1()...1)(1(lim ?

?????n n n x x x x x x n n n -=-=++++++-→→--→ = )2

1~cos 1,0(2)(21

lim

222

0u u u n n n -→=→当??? 习题36 设)(x f 与x 是等价无穷小，,)(x x f ≠求证

（1）;1)]([lim 0=+→x

x x f （2）.1)()]([lim 0=--+→x

x f x x f x x x

证 ,~)(x x f 即

),(1)

(),0(1)(x x

x f x x x f α+=∴→→ 其中).0()](1[)(00)(→+=→→x x x x f x 当，即，当αα故

x x x x x x x x x x x x x f )](1[lim lim )](1[lim )]([lim 0

αα+=+=+

+++→→→→

.1)]

(1[lim 10)()

==+?=?→+

e x x x x x αα

（2）x x f x x f x x

x f x e x x x f x x f x

x f x x x

x -???-?=--++→→)()

(ln

)(ln

1lim )()]([lim ])(ln[

00 .

1111)()]([lim .1ln ])(1[lim ln ])(1ln[lim ])(1ln[)(lim )(ln )(ln lim )()(ln

lim .

(ln 1lim )(ln 1lim )(ln 1lim .

1lim lim lim 0)(0)(0000)(ln

0)(ln )(ln

0])(ln[

0011ln

lim

1ln

ln 0

0=??=--?==-+=-+=-+?-=--?=-?=?-=?-=?-=====++++

+++

→+

+→-→-→→→→→→→--→→→x

x f x x f e x

x x f x x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x f x x x f x e x x f x e x x f x e

e e

e e x x

x x x x f x

x x x f x

x x x x x

x f x x

x f x x x x f x x

x x

x x x x x x 习题37 设)2(],,0[)(≥∈n n n C x f 为自然数，).()0(n f f =试证

],,0[1,n ∈+?ξξ使).1()(+=ξξf f

证（分析：要证],,0[1,n ∈+?ξξ使).1()(+=ξξf f 即要证

)()1()(x f x f x g -+=有根ξ）令)()1()(x f x f x g -+=，显然在]

1,0[-n 上连

续，于

是

1,...,1),()1()(-=-+=n i i f i f i g 记

)},({max )},

({min 1

0i g M i g m n i n i -≤≤-≤≤==则

,)(11

M i g n m n i ≤∑≤-=又.0)0()()(10=-=∑-=f n f i g n i 对函数)(x g 应用介值定

理，知],1,0[-∈?n ξ使,0)(1)(1

0=∑=-=i g n

g n i ξ即存在],1,0[1,-∈+n ξξ使).()1(ξξf f =+

习题38 设,],,[)(b d c a b a C x f <<<∈且证明],,[b a ∈?ξ

使).()()()(d f c f f βαξβα+=+

证（分析：将结果变形μβ

αβαξ?

=++=

)()()(d f c f f ）记)},({max )},({min ]

,[],[x f M x f m b a x b a x ∈∈==则],[,)(b a x M x f m ∈≤≤ 于是 M d f c f m )()()()(βαβαβα+≤+≤+ 或 M d f c f m ≤++≤

αβα)

()(

由介值定理知

，使β

αβαξξ++=

∈?)

()()(],,[d f c f f b a 即 ).()()()(d f c f f βαξβα+=+

习题39 设),()(+∞-∞∈C x f 且.)]([x x f f =证,ξ?使.)(ξξ=f 证反证法。若不存在点ξ使.)(ξξ=f 即),(+∞-∞∈?x 均有

)(.)(x f x x f ≠连续，不妨设恒有.)(x x f >于是.)()]([x x f x f f >>此

与x x f f =)]([矛盾。故,ξ?使.)(ξξ=f

习题40 设),()(b a C x f ∈且.0)(>x f 又,...21b x x x a n <<<<<证明至少有一点),,(b a ∈ξ使.)()...()()(21n n x f x f x f f =ξ

证 ),,()(1n x x C x f ∈ 故)(x f 在],[1n x x 上有最大值M 和最小值m ,使

.,...,2,1,)(0n i M x f m i =≤≤< 于是 M x f x f x f m n n ≤≤)()...()(21由介

值定理，知),,(],[1b a x x n ?∈?ξ使.)()...()()(21n n x f x f x f f =ξ 习题41 证明方程12=?x x 至少有一个小于1的正根。证设,12)(-?=x x x f 显然],1,0[)(C x f ∈但

01)0(<-=f ),1,0(,0112)1(0∈?∴>=-=x f 使,012)(000=-?=x x x f 即

方程12=?x x 至少有一个小于1的正根0x 存在。

习题42 设1

lim )(2212+++=-∞→n n n x bx ax x x f 连续，求.,b a 解 ???

???????-=+--=++>=+++<+=--∞→1,211,211

,1111lim 1

,)(21

2222x b a x b

a x x x

x b x a x x bx ax x f n n n n

故.1)01(,)01(,)01(,1)01(-=---=+-+=-=+f b a f b a f f 由于)(x f 在=1，-1处连续，所以.1,01

==???

?-=-=+b a b a b a

习题43 试证方程x x xe x 2

cos π

+=至少有一个实根。

证做函数.2

cos

)(x x xe x f x π

--= 显然

),1,0(,01)1(,01)0(∈?∴>-=<-=ξe f f 使.0)(=ξf 即x x xe x 2

cos

+=在

)1,0(内必有实根。

习题44 求3

1)(x

x x x f --=

的连续区间。

（解：先改写为分段函数，结论为：)),1()1,0()0,(+∞-∞

习题45 求b 为何值时，函数???≤<-≤≤-=3

2,22

0,1)(2x bx x x x f ，在]3,0[上处

处连续。

只需讨论分段点处的连续性：),2(3)1(lim )02(22f x f x ==-=--

→

),2(22)2(lim )02(2

f b bx f x =-=-=++→要在2=x 处连续，必有

,322=?=-b b

习题46 设0,01>>x a ，定义 ,...2,1),3(4

131=+=+n x a

x x n

n n 求 n n x ∞→lim 解 }{.)(4

443

31n n

n n n n n n n n x a x a x x x x a x x x x ∴=???≥+

++=+有下界.4

a 即,N n ∈?有.4a x n ≥又

1)3(41)3(4141=+≤+=+a

x a x x n n n ，即}{n x 单减有下界，故有极限。设A x n n =∞→lim 且.04>≥a A 有)3(lim 4

lim 31n

n n n n x a x x +=∞

→+∞→有43)3(41a A A

A A =?+=

（舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。）习题47

.,...,,,0,1121n n x a x x a a a x a x a +=+=+==>+设.lim ,..2,1n n x n ∞

→=求

（解： }{n x 单增有上界a +1，可解出极限2

411a

A ++=

）习题48 设],1,0[)(C x f ∈且,1)(0≤≤x f 证明],1,0[∈?ξ使 .)(ξξ=f 证若,0)0(=f 则取.0=ξ若,1)1(=f 则可取.1=ξ ,0)0(>f ,1)1(

),1,0(∈?ξ使,0)(=ξg 即.)(ξξ=f

习题49 (选择题)设)(),(x x f ?在),(+∞-∞内有定义，)(x f 连续且

)(,0)0(x f ?≠有间断点，则

(A) )]([x f ?必有间断点，(B) 2)]([x ?必有间断点， (C) )]([x f ?必有间断点，(D)

)

()

(x f x ?必有间断点.

解选[D]（(A) 因)(x f 的值域可能很小。 (B)反例??

?=≠=0

,00

,1)(x x x ? 而1)]([2≡x ?无间断点。

习题50 证明方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过.b a +

证设],,0[)(),,()(,sin )(b a C x f C x f x b x a x f +∈∴+∞-∞∈-+= 而

0]1)[sin()

()sin()(,0)0(≤-+=+-++=+==b a a a b b b a a b a f b f

如果,0)(=+b a f 则b a +即为)(x f 的零点.如果,0)(<+b a f 则由介值定理知),,0(b a +∈?ξ使,0)(=ξf 即ξ为所求,故原命题成立. 习题51 若函数)(x f 可以达到最大值和最小值，求证

).(min )](max[x f x f -=-

证设),()(min 0x f x f =则对任意x 有),()(0x f x f ≥或有

)).(min )(()(0x f x f x f -=-≤-由x 的任意性，可知 ).(min )()](max[0x f x f x f -=-=-

习题52 设],[)(b a C x f ∈且恒大于零，证明

)

x f 在],[b a 上连续. 证任取],[0b a x ∈由于)(x f 在0x 处连续且大于,0,01>?∴δ使当

,10δ<-x x 时（若a x =0为左端点，则应为,01δ<-≤a x 类似处理)0b x =有

(*)..........0)(2

)(0>>

x f x f

)

(,002εεx f 对>?可找到,02>?δ使当,20δ<-x x 时有

(**) (2)

)

()()(020ε

x f x f x f <-

取},,min{21δδδ=则当δ<-0x x 时，有

.)]([2

1)]([21)]([21)()()()()()()(1

)(1202

0200000εε=?<-<-=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f

故知

)(1x f 在0x x =处连续。由0x 的任意性，知)

x f 在],[b a 上连续. 习题53 设?????≤+>=,

0,,

0,1sin )(x e x x

x x f x βα

试讨论)(x f 在0=x 处的连续性. 解,1)00(,1)0(ββ+=-+=f f 而

?≤>=?=++

→0

01sin lim )00(0

ααα

不存在，x x f x 10-=>∴βα，当时，)(x f 在0=x 处连续，

10-≠>βα，当时， 0=x 为)(x f 的跳跃间断点（第一类间断点).

当，0≤α时0=x 为第二间断点。

习题54 设函数?????>≤-=0

,2sin 0,cos 5)(x x

tg x x x e x f x α 问当?,=α)(x f 在0=x 处连续。解

2lim 2sin lim )00(,4)00(,415)0(00

αα===+=-=-=++

→→x x x tg x f f f x x ，当)0(0)0(0)-0(f f f =+=∴即

,42

=αα

时，)(x f 在0=x 处连续。

习题55 求函数x

x x f πsin 1

)(2-=的间断点，并判定其类型.

解因当n x =（n 为任一整数）时，n x x =∴=,0sin π是)(x f 的间断

点。再细分，当1±≠n 时，,sin 1

lim 2∞=-→x

x n x π 不存在，故除1±处的

任何整数都是)(x f 的第二类间断点。因

sin 1lim ,2)sin 2sin (lim )sin cos cos sin 2(lim ))1(sin 2(lim sin 1lim 2

120

2020121π

ππππππππππ=--=--

=++=++=--→→→→+=→x x t t t t t t t t t t t x x x t t t t x x 同理

亦即1±=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点.

习题56 求函数?

??????

>-≤+=o x x x x x x x f ,4

sin 0,2cos )1()(2ππ的间断点并判定其类

型。

解 )(x f 的分段点为 .0=x .02

cos

)1(lim

)(lim 00=+=-

→→x

x x x f x x π

0.2

)4sin(4sin lim )(lim 2

=∴-=-=-=-

+→→x x x f x x ππ

是)(x f 的第一类（跳跃）间断点。当0

cos

)1()(x

x x x f π

在点

,...)2,1,0),...(12(,...,5,3,1=+----=k k x 处，)(x f 无意义，故),...12(,...,5,3,1+----=k x 是)(x f 的间断点。因为

)

12(2sin lim

cos

)1(lim

)(lim 0)

1(2

-=∴-

=-?=+=→+=-→-→x u u u x

x x x f u x u x x π

ππ

是第一类（可去）间断点。显然,...5,3--=x 都是极限为∞的第二

类间断点。当0>x 时，,4

sin

)(2

-=x x

x f 在点2=x 时，)(x f 没定义，故2=x 是)(x f 的间断点。又,4

sin lim 22-→x x x 不存在，故为第二类间断点。

习题57 设函数),,0[)(∞+∈C x f 且,)]()1([lim

A x f x f x =-++∞

→试证 .)

(lim

A x

x f x =+∞

→ 证因为连续，所以)(),,0[,x f b a +∞∈?在),0[],[+∞?b a 上有界。又

因为 ,)]()1([lim A x f x f x =-++∞

→ 所以,,01K ?>?ε 当1K x >时，恒有

)()1(ε

--+A x f x f 取,11+>K x 则存在自然

数n 使得11+<-≤n K x n .记n K x l --=1，则,10<≤l 且,1n l K x ++= 于是

.)(])()([)(111A x

K x l K f A n l K f x f x n A x x f +-++-+-=-下面估计上式右边三项的绝对值。（1）

A n l K f x f A n l K f x f x n x n -+-≤-+-∴≤)()(])()([,111 = A n

l K f n l K f -+-++)

()(11

∑=--++-++=n

i A i l K f i l K

f n

])1()([1

31)1()(1111εε=?<--++-++≤∑=n n A i l K f i l K f n n i （2）因为)(x f 在]1,[11+K K 上有界，即,0>?M 使M x f ≤)(.故

,32ε

K =

?当2K x >时，恒有

)(21ε

=<+K M x l K f （3）因为,0lim

1=++∞

→A x

K x 故,03>?K 使当3K x >时恒有.3

)(1ε

<+A x l K f 综合（1）

，（2），（3）,0>??ε取 },,1max{321K K K K +=，则当K x >时，恒有

.)(lim ,)(A x

x f A x x f x =∴<-+∞→ε 习题68 若)(x ?和)(x ψ为连续周期函数，当+∞<<∞-x 时，有定

义，且,0)]()([lim =-∞

→x x x ψ?证明).()(x x ψ?≡ 证先证明)(x ?和)(x ψ有相同周期。设)(x ?的周期为p ,则

),()(x p x ??=+由于当∞→x 时, ,0)()(→+-+p x p x ψ?即得

0)]()([lim =+-∞

→p x x x ψ?，以及

)]()([lim p x x x +-∞

→ψψ=)]()([lim p x x x +-∞

→ψ?.....(*)..........0)]()([lim =--∞

→x x x ψ?

现在说明)(x ψ的周期也是p 。若不然，则至少存在一个,0x 使

).()(00p x x +≠ψψ设)(x ψ的周期为N q ,为任意正整数，

,0Nq x x +=以及,0)()(00>+-=p x x ψψα此时恒有

)()()()(00p Nq x Nq x p x x ++-+=+-ψψψψ

αψψ=+-=)()(00p x x .

但由（*），对充分大的,x 必成立,)()(αψψ<+-p x x 这显然矛盾（矛盾于α=）.q p =∴下面证明).()(x x ψ?≡若结论不真，则至少存在一个,1x 使).()(11x x ψ?≠记,0)()(11>-=x x ψ?β则,1Np x x +=?恒有

,)()(βψ?=-x x 这与,0)]()([lim

=-∞

→x x x ψ?矛盾。于是).()(x x ψ?≡

第十六章多元函数的极限与连续习题课

第十六章多元函数的极限与连续习题课一概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< ?ε?， 0δ?>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．

1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→．综上所述，得一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1．例1 求x x x tan lim →．解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0 →．解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令．例3 求2 cos 1lim x x x -→．解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim →．

极限与连续的62个典型习题

极限与连续的62个典型习题习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 n n m n n n a a a 121)(lim +++∞ → . 解记},,,max{21m a a a a =，则有 a a a a a n n n n m n n =≥+++11 21)()( ，a a n =∞ →lim .另一方面 n n n n n m n n m a ma a a a 11121)()()(?=≤+++ . 因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a n n =?∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a n n m n n n =+++∞ →121)(lim ，其中 },,max{21m a a a a =. 例如 9)9531(lim 1 =+++∞ →n n n n n . 习题2 求 )2211(lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞ → . 解 n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1 212+++++

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

极限与连续基础练习题含解答

极限与连续基础练习题含解答 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

第二章极限与连续基础练习题（作业） § 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682,,,357极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 § 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π-

4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． lim ()x f x →∴不存在。四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 § 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：

第一讲数列地极限典型例题

第一讲数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ．注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ．注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数．注1 对每一个k ，有k n k ≥．注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤．注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记作∞=∞ →n n x lim ．

(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x

微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）一．累次极限与重极限例.1 ()y x f ,= ? ?=?≠?+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x 例.2 ??? ??=+≠++=0 03),(22222 2y x y x y x xy y x f 例.3 22 222(,)() x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0 →→不存在。一般结论：二．多元函数的极限与连续，连续函数性质例.4 求下列极限：（1） 1 1 ) 0,1(),() (lim -+++→+y x y x y x y x ；（2） )ln()(lim 22) 0,0(),(y x y x y x ++→; （3） (,)(0,0)sin() lim x y xy x →；（4）22lim x y x y x xy y →∞→∞ +-+；（5）2 2 () lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +。例.5 证明：极限0) ( lim 2 2 2) ,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．

例.6 若()y x f z ,=在2 R 上连续, 且 ()22 lim ,x y f x y +→+∞ =+∞, 证明函数f 在2R 上一定有最小值点。例.7 )(x f 在n R 上连续,且 (1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>?c )()(x x cf c f = 例.8 若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且 a y x y x y x f y x =++-→2 2 2 2) 0,0(),(),(lim a 为常数。证明：（1）),(y x f 在)0,0(点连续；（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微；（3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。例.9 函数?? ???=+≠+++=0,00),sin(),(2 22 2222 2y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点是否连续? (填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．三．多元函数的全微分与偏导数例.10 有如下做法：设),()(),(y x y x y x f ?+=其中),(y x ?在)0,0(点连续, 则 [][] dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(????+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=?. (1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法. 例.11 设二元函数),(y x f 于全平面2 ?上可微，),(b a 为平面2 ?上给定的一点，则极限 =--+→x b x a f b x a f x ) ,(),(lim 。例.12 设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。二、典型例题例 1 ．求下列极限解：由可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。例 3 ．讨论函数例 4 ．已知函数， ∴ f(x)在 x=1 处连续。解析： ∴ a=1, b=0 。例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使存在，只需 ∴ 2k=1 ，故时，存在。例7．求函数在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。三、训练题： 2．的值是 3. 已知，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。，求 a 的值。 5．已知参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设，问常数k 为何值时，有存在？解析：∵ 4．已知解析：由 1．已知

极限与连续基础练习题含解答

第二章极限与连续基础练习题（作业） § 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682,,,357 L 极限为1 2．11111,,,,,2345 --L 极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 § 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π-

4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ……，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=Q ；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=Q ；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． lim ()x f x →∴不存在。四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 § 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：

1-7两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题教学过程: 弓I 入：考察极限 si nx lim ---- x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0 ( x) 综上所述，得 sin X 一.lim 1 . x 0 X lim 沁1的特点： x 0 X (1) 它是“0 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 (2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x a sin x 出arcsinx 求 lim ------ . x 0 x 令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: 当x 取正值趋近于0时，sin 2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0 x 推广 lim x a sin X x =lim x 0 sin X =1 x lim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0 x COSX lim sinx x 0 lim --- x 0 cosx 1 1 1. 求lim 沁. x 0 x sin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0 击，-1 cosx 求 lim -- 2 — x 0 x 2 3x (令3x t) 3ltim Sin t 1 cosx _ X 1叫二叫 2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2 x 0 x c 2(-)2 x im .x sin — 2 .x sin — 2 x 2

函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

知识网数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数学归纳法、数列的极限与运算例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1，且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________．例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数列{ n b}的前n项的积．（Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论．例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)

两个重要极限学习资料

2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程 1、复习导入（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）（6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x

那么，？=→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 0型极限；（2）分子是正弦函数；（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题【例1】求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ）【例3】求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习（1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结:

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。例求下列极限：（1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续复习题一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是综上所述，得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点： x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ； x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是推广如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

极限与连续的62个典型习题

第十六章多元函数的极限与连续习题课

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