《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)
第六章多元函数微分学
［单选题］
1、
设积分域在
D由直线x+y二0所围成，则
| dxdy 如图:
［单选题］
2、
A 9
B、4
C 3
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【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】
［单选题］
3、 设H 二才，则y=()
A V
皿2-1)
B 、xQnx-1)
D
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【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】
首先设出-,J
'
二一；，然后求出
最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果.
［单选题］
4、
Ft F'y,尸空二
dx F f y
［% I
设Z =
则去九￡ |（）
km ，（心+& J D ）L 『（也几）
AK^*°
A'X
?■
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【正确答案】D 【您的答案】您未答题
【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到
［单选题］
5、 设z=ln （x+弄），示=（）
A
1
B 、
X+旷"
C
1-2妒
盂+沙
D
X + 帘
一"
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】
B 、 lim U m
/侃+山+ 3) — / (险用)
Ay
了0+山』0）—/（兀
几）
Ar
lim /(x+Ax.y)-/^)
4y
|"S 1 I
对x求导，将y看做常数，小门?八
［单选题］
6、
设U 了：,；_丁；：￡=()
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【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］
7、
设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二()
A丨；
B、…
C :
D ',
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【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀)
/fcy) = ^y
X '(^y)=y
二兀
￡(2)+另(“)=曲
［单选题］
8
1
,ln(x+y)20》x+》21.
综上满足:
盘+”1
［单选题］ 9、
函数 的定义域为（）.
少（兀+
卩）
；：：x F+丿
()?
B 、
D
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【正确答案 【您的答案
OO
A
您未答题
【答案解析
1 1
-+-
lim —3 -- :—7 = 1 im ——— - 0 心卩齐_砂+尹 gw 兀 y
尸2 』 / 尸於一 —]+_一
7 x
［单选题］ 10、
()?
0宀 2护X + (”In X-2芒)妙
（y*" - 2侣）矽+ （H In 兀-—2」壬）必
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【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
鸣刁严-
F 工=j/lnx-
￡
dz - 3/" -
”必 + （疋 In z-
［单选题］ 11、
dz
1-^'
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【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】
方程
B 、 C
与必+ （#阮—
函数'■ - 一 I'"的确定的隐函数，贝U 一
（）?
2z
口
B
、
” y左右两边求导，
dx dx
__ -
2z
dx
/-I
12、 设Z = X +丿，则在（0,0）处（）.
取得极大值
无极值
无法判定是否取得极值 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】
小务S 釜二心齐2’
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【正确答案
一
+ X) — —八)——2&2 — 2/ — 2砂，+ 2”
(/+丹
B 、 取得极小值
B 2-AC0
，故取得极小值
［单选题］ 13、
，则
【您的答案
您未答题
【答案解析
7矽
B
、
［单选题］
14、
dz _
_ 设z=xA2/y,x=v-2u,y=u+2v ，则J ()
2(u - 2v)(u- 3v)
A、「
(K-2V)(K-3V)
B、(加+巧2~
)(卄刘
C(2#+制
(u -2vJ(u+邵)
(2u+v)3
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【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
炭边3兀龛创2A D z z . * 2x(y-7^)—二------ H ---- - -- 1+( ----- 7)- J — ---- 母 -- dv dx dy y y2y2
_ 2(v~ 2u)(v+ - V - 2u)) _ 2(y - 2u)(v + 3u)
(2V+LT)3［单选题］
(2v+u)
15、设函数z=ln(x2+y2)，则
=()
如)
B、—：
x-y
D J - /
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【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
& 2x & 2y 5c & 2y 2x 2x + 2y 2(x+y) -- ? = —: - - = ---- - ;—1 + = ---------------- = ----- =
3K F+y3?5?+『’曲勿x2 + y3x2 + y3启+『x3 + y3［单选题］
16、设函数，则汕忙丿=().
1
A、」
IzT
B、.'■
1
C、1
D、1
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【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P178?179。（2014年4月真题）
［单选题］
dz =
17、设函数z = xe y，则全微分（2」）（）
A、edx + 2edy
B、2edx + edy
c、edx +2dy
D、2dx + edy
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【正确答案】A
dz ])= 耳&+?妙=”必-i ■汐&7=孕必 + 2叙F 因此选
择A ? 参见教材 P190。( 2014年10月真题) ［单选题］
/(x f y) = Jxsin-
18、设函数
X ,则偏导数
-1 B 、0
D 2
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【正确答案】C 【您的答案】您未答题
［单选题］ 19、
A 、
6+@ B 、
6+舁
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【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】
【您的答案】您未答题 【答案解析】 【答案解析】
9/|
cos 0 r
因此可得
(也
] J
参见教材 P183
。
设函数
几丿)也+拓'+扎卫
2,叽
df\
(
me 二2补用日+込 y
/(2,l>4+e+2 = 6+e
参见教材P178。
A 4ln2+4
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A
您未答题
导数 <仙"+2%27+41112.
-
— _________________________________________________ 1 M F
设函数z
二亟;丑，则亦= ________________ 【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
?［sin(i-y)-costx-j/)］
【您的答案】您未答题
—=尹 $in(jf-y)+" cos(x-y) ■ (-1) = ［sm(x- y) - cos(x - y)］
【答案解析:］
7-
［解答题］ 22、
［单选题］
20、设函数
"硼2巴则偏导数拙
8y
【正确答案】 【您的答案】
【答案解析】
材 P182。 ［解答题］ 21、 参见教
B 、4ln2 - 4
计算二重和分I=||xdxdy*其中区域D由曲线y = F及直线."围感.
0^ i
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【正确答案】
【您的答案】您未答题
［解答题］
23、
设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料，第一种为x （千吨），第二种为y （千吨），其电能消耗量N （万度）与两种原料使用量的关系为
^=r J + 2r/+2j3 -4x-6j+105
问如何使用两种原料方可使电能消耗达到最低，并求此时的最低能耗. 【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
—= 2x + 2y-47—=2X+47-6
Sr 別
—= + = —= 2x+4j-6 = 0
令：i
有x+y = 2/+2y = \ x = l监二100
【您的答案】您未答题
［解答题］
24、设函数z=z （x, y ）是由方程x+yz-ln（x+z）=O 所确定的隐函数，求"
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【正确答案】
令歹(兀X?)=兀+尹一1班工+刃
用二1-丄禺"尼弋--—
JC+Z x+z
1 _L
则—兀+―—兀+"1
徐眄1刃+W-1
x + z
dz _ 艮；_ z _ z(x+z) 创F；_ 1刃+w-l
x+z
x+z-1 z(z+z)
dz=--------------- d x — ----------- dy
s yx + yz-} yx + yz-A
【您的答案】您未答题
［解答题］
25、计算二重积分
】=0朋+屮)肚切其中D是由直銭31=0,萝=0及梵+y=?所围底的闭区域-【从题库收藏夹删除】
D
3
2
3
26
、 y =0
81
T
【正确答案】
【您的答案】您未答题
［解答题］ 2 2
求函数_
在点（2,1 ）当1 . =0.1 , 0=— 0.2时的全增量和全微分
当」］=0.1，二一时，点（2,1）变为（2.1,0.8）,
所以z 的全增量为丄—--——.:一 -亠「
又有:
所以「一丄一一 1丄二二---：-
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z(21).8)=4168
【正确答案】
2 2
z(2,1)=2 X 1+1=5
x+y = 3
心 必f \(x 2+y 2)dy
-6x) dx 二 f (3x - x 3）
卜5处
=卜(3一屮+￡
二 L (4兀，十— 6工* 一* ( — 3x 2 +2x 3)tfx= I (― — x* +6兀'—9x 2
+9x)tix 4 x 5 , x + A x 3 9 = -—x 6x 9x — + —x'
3 5 4
3 2
z ；二寻二加巧二畚二2 +2*
2 /
3-JT
f 3
二兀
Jo Q
(9+丈
71-T
血二些次+冬妙対4X CU+6X(-0-2)=-08扳dy
【您的答案】您未答题
［解答题］
27、
某工厂生产A B两种产品的联合成本函数为 C = 45乙+才直
，需求函数
『卫=羽1加q丄=45-囲其中P八％q『你分别是
」，两种产品的价格和需求量，两种产品各生产多少时利润最大？
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【正确答案】
解析：
￡二戸￡0虫+歹凶占一c二
=（30-几）^+（45-九）^-（4 5九+3几）
二观卫-几- 4 5几+45务-几- ？几，
务=30-迅-9/0,务=45-讥-6处皿令：」“二：解得你=2纸=3,
由题意，最大利润一定存在，又函数在定义域内只有惟一驻点^
因此，当qn = 2,心二3，即生产2个单位A种产品3个单位E种产品时获利最大
【您的答案】您未答题
［解答题］
2&
设隐函数z=z （x,y）由方程e x+y sin （x+z）=0确定，求d乙
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dx + y
y
x=0 D
If
dx
T ：叽:
一 tan(x + z)］
妙
|j^y = J ：w"
妙
【正确答案】
【您的答案】您未答题
［解答题］
［［
29、计算1
其中D ： y=x , y=1, y 轴所围区域
【您的答案】您未答题
［解答题］
r y
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【正确答案】?/ D : 0 30、设D 为xoy 平面上由x=0 , 所围成的平面区域，试求 =6解出 所以占二 右两端对X 求导得到e x+y sin(x+z)+严cos(x4- zXl + —) Sc 左右两端对 y 求导l&Sl ^+y sm(x+ z) + cos(x+ z)~.,解出 —=-tan(x + z) -1 —=-tan (龙 + z) ay 则 (x+ )dx 13 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 11 sm —dxdy = |： 如 y 〔气心0L 呻齐字一呻如纠5仇 X y 2 1 T 2 =0一呵）妇典一 i 严5尹吧挣如 二远+匸［沁刃：二辺+61 8 2 ； 8 2 ［解答题］ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 【您的答案】您未答题 ［解答题］ 32、设D 是由直线y=x, y=2x 及y=2所围成的区域，试求 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 【您的答案】您未答题 ［解答题］ 【您的答案】 您未答题 31、设 z=ln 2x 1+ ’ - = dx 1 —— ------ ■ ------ ----- — — ■ ------ —— 2 Q JJ* +宀诫妙. 1 苗 cos(x+2y-3z)丰-,求一 2 9y 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 令 F(x f y,z) = 2 5111(^+27-3z)- x-2y+3z, 3F dF 则一=-2+4 cos(x +2y - 3z), —二 3-6cos(x+^y- 3z) dy 龛 fe - 2+4cos(x+2j/-3z) 2:-4cos(x+2y-3z} 莎 3-6cos(jr +2y- 3z) 3-6cos(^ + 2y- 3z) =2/3. 【您的答案】您未答题 ［解答题］ 34、设D 是由直线y=2,y=x 及y=2x 所围成的区域，计算二重积分 心|| (*十八机越 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 35、设z=z(x , y)是由方程z 3-3xyz-1=0所确定的隐函数，求偏导数'’八. 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 / z)-z 5- 3xyz - 1 F ；(xj,z)二-3yz F ；(和⑵=-加 %沖)二 3z 2- 3砂 33、设z=z (x,y )是由方程 2妙(x+2y ■②二;所确定的隐函数，并设 2 X .(- 2X 叩 P 3 妙 -- r 3^3 + V--2 2 y ￡_24_ / 一 2 - <2n 【您的答案】您未答题 ［解答题］ dz F*（x t y t z ） -3yz yz — — 二 —4 ------------- ~ _ 扳 ￡（刊,勿 3z 2 - 3砂/ -矽 dz 町(x,”z) - 3xz xz ￥_ ^(w)_产云_尹_小 【您的答案】您未答题 ［解答题］ 36、 ,其中D 是由直线y=2x , x=l 及曲线y=x 2围成的平面区域. as 24 图 1- 忙， -2 q l r + =.A -— 1 5 0 一 ~ 2 6 」 【您的答案】您未答题 ［解答题］ Z- = 3?^+- 37、求函数 【从题库收藏夹删除】 【正确答案 dz - （6砂+丄）必+ （3『-刍）莎 y y 【您的答案 】您未答题 【答案解析 丘社?L + H 社6卩+丄 y y 计算二重积分 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 X 的全微分dz . 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。 第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 多元函数微分学习题 第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。） 第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+ `第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的 多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?, 122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+ 第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020 第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
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