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关于拉格朗日乘数法的一点注记_展丙军

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参考文献

[1]华中科技大学数学系.微积分学[M ].3版,北京:高等教

育出版社.2008.[2]赵洪.研究性教学与大学教学方法改革[J ].高等教育研

究,2006,27(2):71-75.[3]卢德馨.关于研究性教学的进一步探讨[J ].中国高等教

育,2004,(21).

关于拉格朗日乘数法的一点注记

展丙军

(大庆师范学院数学学院,黑龙江大庆,163712)

收稿日期:2009-06-21;修改日期:2010-01-20.

作者简介:展丙军(1963-),男,河南长垣人,理学硕士,教授,从事高

等数学教学与研究工作,Email :zb j196331@https://www.wendangku.net/doc/0812382890.html,

要 建立了多元函数在任意有限多个约束条件下的极值点和拉格朗日函数极值点之间的一一对应关系,

从而找到拉格朗日函数的极值点也就找到了多元函数在这些约束条件下的极值点.从另一角度给出了拉格朗日乘数法的证明.

关键词 稳定点;条件极值;拉格朗日乘数法.

中图分类号 O172.1

1 问题的提出

拉格朗日乘数法是解决多元函数的条件极值、最值问题的很好的方法.然而,在绝大多数的教材、资料的论述中,都是利用隐函数存在定理,当方程组确定的隐函数存在时,将条件极值问题转化为无条件极值问题来进行求解,进而引出辅助函数(也称拉格朗日函数),将条件极值问题转化为求辅助函数的普通极值问题,导出了拉格朗日乘数法.在这些讨论的过程中,也只是停留在四元函数以下、约束方程的个数一至二个的特殊情况下给出的推导,而且推导过程很繁琐.一般也会给出拉格朗日乘数法的推广,但推广后的可行性的论证过程都略去了.如果按照类似的方法进行推导的话,那么对于任意有限多个自变量的多元函数在任意有限多个约束条件下的极值问题,用拉格朗日乘数法求解的合理性的证明是难以实现的.为此本文给出了解决上述问题的新方法.

2 拉格朗日乘数法及其相关定理的证明为了便于研究,下面将拉格朗日乘数法做一般性的描述:

拉格朗日乘数法 求函数

y =f (x 1,x 2,…,x n )

(1)满足联立方程组

F j (x 1,x 2,…,x n )=0(j =1,2,…,m ,m

(2)

的条件极值,其步骤是:

(ⅰ)作辅助函数(也称拉格朗日函数)

Υ=f +λ1F 1+λ2F 2+…+λm F m ,

(3)

(ⅱ)求Υ的稳定点(也称驻点),即求方程组(共

包含n +m 个方程):

Υ x i = f x i +λ1 F 1 x i +…+λm F m

x i

=0(i =1,2,…,n )

Υ λj

=F j (x 1,x 2,…,x n )=0(j =1,2,…,m )

的解.设解是

(x 0

1,x 0

2,…,x 0

n ,λ0

1,λ0

2,…,λ0

m ),(4)

求解过程可消去λj (j =1,2,…,m ),求得满足方程组的稳定点

(x 01,x 02,…,x 0

n ).

(5)

(ⅲ)函数(1)只可能在这些求出的稳定点处取

得条件极值;

由问题的实际意义,如果函数必存在条件极值,方程组又只有唯一一个稳定点(5),则该点必

为所求的极值点.

我们将这种把条件极值问题转化为求辅助函数的普通极值问题的方法,称为拉格朗日乘数法.

51

V ol .13,No .2M a r .,2010 高等数学研究ST U DIES IN CO L L EG E M A T H EM A TICS

现在的问题是:这种方法的合理性是需要论证的,关键在于函数(1)满足联立方程组(2)的极值点为什么对应于函数(3)的极值点.

前面已经介绍,几乎所有资料上的推导都是为了简单而在特殊情况下进行的,一般性论述不够.

这个问题解决不好,无论是数学教学,还是科学研究都是很遗憾的.为此给出下面的定理,可以弥补

一般性解决上的不足.

定理1 函数(1)满足(2)在(5)取得极大(小)值,当且仅当函数(3)在(4)取得极大(小)值.

证明 只需讨论极大值的情形,类似地可推得极小值的情形.

充分性:不妨设(5)是函数(1)满足(2)的极大值点.由极大值点的定义,存在包含(5)且满足(2)的某个邻域,在这个邻域内的任意异于(5)的点

(x 1,x 2,…,x n ),

有:

f (x 1,x 2,…,x n )

1,x 0

2,…,x 0

n )

(6)

Υ(x 1,x 2,…,x n ,λ1,λ2,…,λm )=

f (x 1,x 2,…,x n )+∑m

j =1

λj F j (x 1,x 2,…,x n )=

f (x 1,x 2,…,x n )+∑m

j =1

λj ×0=

f (x 1,x 2,…,x n ).

Υ(x 01

,x 02

,…,x 0n

,λ01

,λ02

,…,λ0m

)=

f (x 0

1

,x 02

,…,x 0n

)+∑m

j =1λ0j F j (x 01,x 02,…,x 0

n )=

f (x 0

1

,x 02

,…,x 0n

)+∑m

j =1λ0

j ×0=

f (x 01,x 02

,…,x 0n

).

由(6)式得:

Υ(x 1,x 2,…,x n ,λ1,λ2,…,λm )<Υ(x 01

,x 02

,…,x 0n

,λ01

,λ02

,…,λ0m

)

在含有(4)的某邻域内,对异于(4)的任意一点

(x 1,x 2,…,x n ,λ1,λ2,…,λm )

(7)

都成立.所以,点(4)是函数(3)的极大值点.

必要性:设点(4)是函数(3)的极大值点.由极大值点的定义,存在包含点(4)的某邻域,在这个邻域内任意异于(4)的点(7),都有

Υ(x 1,x 2,…,x n ,λ1,λ2,…,λm )<

Υ(x 01,x 02,…,x 0n ,λ01,λ02,…,λ0

m ),

f (x 1,x 2,…,x n )+∑m

j =1

λj F j (x 1,x 2,…,x n )<

f (x 0

1

,x 02

,…,x 0n

)+∑m

j =1

λ0j F j (x 01,x 02,…,x 0

n ).

因为

F j (x 01,x 02,…,x 0

n )=0(j =1,2,…,m )

所以f (x 1,x 2,…,x n )+∑m

j =1

λj F j (x 1,x 2,…,x n )<

f (x 0

1

,x 02,…,x 0

n ),

(8)由于点(

7)在邻域内的任意性,当然,取使得条件(2)成立,且异于(x 01,x 02,…,x 0

n ,λ1,λ2,…,λm )

的任一点(7),也有(8)式成立.即对异于(5)且使(2)成立的点

(x 1,x 2,…,x n )

恒有:

f (x 1,x 2,…,x n )

n ).

故点(5)是函数(1)满足(2)的极大值点.综上所述,命题成立.

本定理告诉我们,要讨论函数(1)满足联立方程组(2)的条件极值问题,只需先解决拉格朗日函数(3)的极值问题,这缘于它们的极值点有很好的对应关系.

3 小结

通过本文的讨论,很好地解决了多元函数(1)在任意有限多个约束条件(2)下的极值点和辅助函数(也称拉格朗日函数)(3)的极值点之间的对应关系,

从而找到此拉格朗日函数的极值点也就找到了多元函数(1)在这些约束条件下的极值点.巧妙而充分地论证了在一般情况下(自变量多个、约束条件多个),用拉格朗日乘数法求解多元函数的条件极值问题的合理性.这种解决方法简洁,省去了大量的推导过程,同时也更便于理解.

至于如何确定所求得的点是否极值点,拉格朗日乘数法并没有更深入的研究,有待于今后的进一步研究.将此成果应用于教学,起到了很好的效果,有利于激发学生的学习积极性和探索精神.参考文献

[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎.数学分析讲义(下册)[M ].4版.北京:高等教育出版社,2003:225-232.[2]同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M ].5版.北京:

高等教育出版社,2002:52-61.

[3]四川大学数学系.高等数学(第二册)[M ].3版.北京:

高等教育出版社,2001:135-140.

[4]上海师范大学数学系.高等数学(第二册)[M ].北京:高

等教育出版社,2005:137-141.

52

高等数学研究 2010年3月

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法 对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ?=,为寻找(,)z f x y =在附加条件下的最值,先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λ?=+,其中λ为参数.然后分解为几个不同部分,同时利用不等式求最值,再利用等号成立条件求出参数λ的值回代即可.范例:已知ax by k +=,其中a ,b ,x ,y 均为正数,求 d e x y +最小值.步骤:构造拉格朗日函数()(0)d e L ax by k x y λλ=+++->, 则()()d e L ax by k k x y λλλλ=+++-, 当且仅当d ax x λ=,e by y λ=时即x y =L 取得最小值.例3已知11112 x y z ++=,其中x ,y ,z 均为正数,求222x y z ++得最小值.解答:解法一:1 2224() 2x y z x y z ++=++1114()()x y z x y z =++++4(3)x x y y z z y z x z x y =+ +++++4(3)x y x z y z y x z x z y =++++++4(3222)36+++=≥, 当且仅当6x y z ===时等号成立, 所以222x y z ++得最小值为36.解法二:1111222222()2 x y z x y z x y z λ++=+++++-(2(2)(2) 22x y z x y z λλλλλ =+++++-, 当且仅当6x y z ====时等号成立, 所以222x y z ++得最小值为36. 变式1已知正数a ,b 满足1a b +=,求证: 228127a b +≥.解答:解法一引入常数λ(0)λ>, 2222 81812(1)a b a b a b λ++++-=2281()()2a a b b a b λλλλλ=+++++-

拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用

西南财经大学Southwestern University of Finance and Economics 微观数学方法期末论文 学生姓名:彭燕 所在学院:经济学院 专业:西方经济学 学号:214020104007 消费者均衡中拉格朗日乘数法的应用

一.引言 本文主要通过介绍拉格朗日乘数的方法,推导出古典经济学中消费者均衡的条件。通过分析得出消费者均衡原则是各个商品消费的比率等于相应商品价格的比率。 二.数学理论 1.条件极值的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ??-=', 就有 0) ,(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, 即 x f -y ?y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ? , y ?)0=. 亦即 0x x f λ?+=,0y y f λ?+= 2.拉格朗日乘数法 在利用偏导数求多元函数的极值时,若函数的自变量有附加条件,则称之为条件极值。这时,可用拉格朗日乘数法求条件极值。具体方法如下: 拉格朗日乘数法:设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0,为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点,先做拉格朗日函数 L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ为参数。求L(x,y)对x 和y 的一阶偏导一阶充分条件为: L 'x(x,y)=f 'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0,

拉格朗日乘数法共8页文档

§4 条件极值 (一) 教学目的:了解拉格朗日乘数法,学会用拉格朗日乘数法求条件极值. (二) 教学内容:条件极值;拉格朗日乘数法. 基本要求: (1)了解拉格朗日乘数法的证明,掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法. (2) 较高要求:用条件极值的方法证明或构造不等式. (三) 教学建议: (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值.要求学生熟练掌握. (2) 多个条件的的条件极值问题,计算量较大,可布置少量习题. (3) 在解决很多问题中,用条件极值的方法证明或构造不等式,是个好 方法.可推荐给较好学生. 在许多极值问题中,函数的自变量往往要受到一些条件的限制,比如,要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱,确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,, 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题, 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <==ΛΛ? 限制下,求函数 ),,,(21n x x x f Λ 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值,条件极值存在时无条件极值不一定存在,即使存在二者也不一定相等。

例如,求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形(x31马鞍面) 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点,但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上,有极小值 1,这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x . 代入 ) ,() ,()(00000y x y x x g y x ??- =', 就有 0) ,() ,() ,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, ( 以下x f 、y f 、x ?、y ?均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ?—y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?) 线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f ,y f ) + λ(x ?,y ?)0=.亦即 ???=+=+. 0 , 0y y x x f f λ?λ? Lagrange 乘数法 :

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容: 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于 ),(00y x 的点,如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任 一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从 几何上看这是显然的,因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。

例2函数2 2y x z +-=在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函 数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负, 点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例3 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。 定理1(必要条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义,在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地,在该邻域内取0y y =,而0x x ≠的点,也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值,因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y

拉格朗日乘数法

§4 条件极值 (一) 教学目的:了解拉格朗日乘数法,学会用拉格朗日乘数法求条件极值. (二) 教学内容:条件极值;拉格朗日乘数法. 基本要求: (1)了解拉格朗日乘数法的证明,掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法. (2) 较高要求:用条件极值的方法证明或构造不等式. (三) 教学建议: (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值.要求学生熟练掌握. (2) 多个条件的的条件极值问题,计算量较大,可布置少量习题. (3) 在解决很多问题中,用条件极值的方法证明或构造不等式,是个好方法.可推荐给 较好学生. —————————————————————— 在许多极值问题中,函数的自变量往往要受到一些条件的限制,比如,要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱,确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,, 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题, 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下,求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值,条件极值存在时无条件极值不一定存在,即使存在二者也不一定相等。 例如,求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形(x31马鞍面) 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点,但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上,有极小值 1,这个极小值就称为条件极值。

最新拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法

§4 条件极值 (一) 教学目的:了解拉格朗日乘数法,学会用拉格朗日乘数法求条件极值. (二) 教学内容:条件极值;拉格朗日乘数法. 基本要求: (1)了解拉格朗日乘数法的证明,掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法. (2) 较高要求:用条件极值的方法证明或构造不等式. (三) 教学建议: (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值.要求学生熟练掌握. (2) 多个条件的的条件极值问题,计算量较大,可布置少量习题. (3) 在解决很多问题中,用条件极值的方法证明或构造不等 式,是个好方法.可推荐给较好学生. 在许多极值问题中,函数的自变量往往要受到一些条件的限制,比如,要设计一个容积为?Skip Record If...?的长方体形开口水箱,确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为?Skip Record If...?,则水箱容积 ?Skip Record If...?焊制水箱用去的钢板面积为?Skip Record If...?这实际上是求函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题,其一般形式是在条件 ?Skip Record If...? 限制下,求函数?Skip Record If...?的极值

条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值,条件极值存在时无条件极值不一定存在,即使存在二者也不一定相等。 例如,求马鞍面?Skip Record If...?被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形(x31马鞍面) 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点,但限制在马鞍面被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上,有极小值 1,这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件?Skip Record If...?之下求函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的极值 . 当满足约束条件的点?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?的条件极值点 , 且在该点函数?Skip Record If...?满足隐函数存在条件时, 由方程?Skip Record If...?决定隐函数?Skip Record If...?, 于是点?Skip Record If...?就是一元函数?Skip Record If...?的极限点 , 有 ?Skip Record If...?. 代入?Skip Record If...?, 就有 ?Skip Record If...?,

微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论

关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息:通信工程 201201916005雷志坤 摘要 本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法,归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。从而,在我们遇到相关问题时,能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。 关键词:地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法 问题的提出 在学到多元函数微分学时,会涉及多元函数极值与最值问题。而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时,常使用拉格朗日乘数法,在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦,于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。 方法的发现及其证明 首先,引入拉格朗日乘数法步骤: (1)、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z) (2)、根据方程组 000(,,)0 x x x y y y z z z F f F f F f F x y z λλ?λ?λ??=+=??=+=??=+=??==? 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ (3)、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点 现给出方法发现过程: 在我们教材中实际遇到该种问题时,常常得到的方程组很有规律。 例如: 题目1: 求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0),并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时,恒有 35( )5 27a ab b c c ++≤) (辅导教程P250,例5.48)

在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为: F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2) 2222120 12053200 x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ?=+=???=+=???=+=???==?++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。而对于该方程组,我们可以划分为两个部分:A 、Fx=0,Fy=0,Fz=0 B 、F λ=0 。可以这样想:A 部分用以求解x,y,z 之间的关系,B 部分用以给x,y,z 定值。所以,求解该方程组的关键在于A 部分的求解。现在剔出A 部分观察分析: 222120120120120320320x x y y z z F x x F x F y F y y F z F z z λλλλλλ?=+=??=+=???=+=?=+=????=+=??=+=?? 可以发现上述方程组很有规律。即x 与y 分别与z 地位对等。怎样解释这种地位对等的关系呢?可以这样说,所谓地位对等关系,即是:假设以x 变量以及等式Fx=0为标准,若进行变量代换y=kx 后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0相同,则称kx 与y 地位对等。 我们假设x=t,则观察易得 (~表示地位对等),同时上述方程组可划为: 112020 1112020201200t t t t t t t t t t t t t λλλλλλ??+=+=??????+=?+=?+=????+=+=?? 我们可以把这个过程叫做统一化过程。因而易知,能进行统一化过程的充分条件是:方程组中多元变量之间相互存在地位对等关系。 经验证可以发现:若一个方程组能进行统一化过程,且有对等关系x~k1y~k2z~…,则此方程组中多元变量关系为x=k1y=k2z=…。(结论)

浅谈拉格朗日乘数法的应用

“高观点”下的初等数学 许高峰11数本一班 摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法,在大学的各类微积分教材中都有介绍,对于初学者可能看不到这种方法的具体作用,以致在学习的过程中难免忽略了它,本文透过拉格朗日乘数法的介绍,以及它在一些问题上的具体应用,让无论是数学专业的本科生,以及将来从事数学师范专业的学生,都能从中获取一些启发。 关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件 例一:设实数y x ,满足554422=++xy y x ,设22y x S +=,则S 的最小值为 .(浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学(理))证明:因为 5)(2 135)(2 5445 544022222222?+=?+++≤?++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥?+y x 成立,即131022≥+y x ,所以S 的最小值为13 10,当且仅当y x =时成立.说明:一看到这类题,高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决,这种思路是对的,但是用不等式的方法是有局限性的,不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个,却不一定能同时解出最大和最小值,比如,我把上述题目改为求S 的最大值是多少,显然改完之后,题目的难度就增加了,所以,这类题目需要我们进一步的研究,去寻找更一般的方法,从而更有效地解决这一类问题。 如果把上述题目改为求最大值,显然,如果在用不等式的知识就有点困难了,但是在高中生的知识水上,还是可以用初等数学的知识加以解决的。容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式,从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式: 2 22222)(55 )()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +?=+?=+++

(完整word版)拉格朗日乘数法.doc

1. 应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值: (1) f ( , ) x 2 y 2 , 若 x y 1 0; x y (2) f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 (其中 x, y, z,t , 0, c 0 ); (3) f ( x, y, z) xyz ,若 x 2 y 2 z 2 1, x y z 0 . 解 (1) 设 L( x, y, ) x 2 y 2 ( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有 L x 2x 0, L y 2 y 0, L z x y 1 0. 解之得 x y 1 , 1.由于当 x , y 时 , f .故函数必在唯一稳定点处 2 1 1 1 取得极小值 , 极小值 f ( , 2 ) . 2 2 (2) 设 L (x, y, z, t, ) x y z t ( xyzt c 4 ) 且 L x 1 yzt 0, L y 1 xzt 0, L z 1 xyt 0, L t 1 xyz 0, L xyzt c 4 0, 解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯 一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c . (3) 设 L( x, y, z, ,u) xyz ( x 2 y 2 z 2 1) u( x y z) ,并令 L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0, L x 2 y 2 z 2 1 0, L u x y z 0, 解方程组得 x, y, z 的六组值为 :

拉格朗日乘数法解不等式

拉格朗日乘数法解不等式 张永强 赵临龙 (安康学院 陕西、安康 725000) 【摘要】本文通过例题说明如何用拉格朗日乘数法证明条件不等式 【关键词】拉格朗日乘数法 不等式 目标函数 1.已知0x >,0y >且1x y +=,求证2225(2)(2)2x y +++≥ 证明:构造目标函数为2225(,)(2)(2)2F x y x y =+++- 令朗格朗日函数为2225(,,)(2)(2)(1)2 f x y x y x y λλ=+++-++- (λ为朗格朗日乘数) 240f x x λ?=++=? 240f y y λ?=++=? 10f x y λ ?=+-=? 解得:12x y == 令222f A x ?==? 20f B x y ?==?? 222f C y ?==? 20A C B -> ,0A > (,)F x y ∴在11(,)22处取得最小值,11(,)022F = 2225(2)(2)2 x y ∴+++≥ 2. ,a b +∈?,1a b +=,求证1125()()4 a b a b ++≥ 证明:构造目标函数为1125(,)()()4 F a b a b a b =++- 令朗格朗日函数为1125(,,)()()(1)4 f a b a b a b a b λλ=++-++- (λ为朗格朗日乘数) 222(1)(1)0f b a a a b λ?+-=+=? 222(1)(1)0f a b b ab λ?+-=+=? 10f a b λ ?=+-=? 解得12a b ==,令22242(1)40f a b A a a b ?+===? 22222(1)(1)9f a b B a b a b ?--===?? 22242(1)40f b a C b ab ?+===? 20A C B -> ,0A > (,)F a b ∴在11(,)22处取得最小值,11(,)022F = 1125()()4 a b a b ∴++≥ 3. ,0a b ≥,1a b +=,求证:2222 (1)(1)1a b -+-≥ 证明:构造目标函数为2222(,)(1)(1)1F a b a b =-+-- 令朗格朗日函数为2222(,,)(1)(1)1(1)f a b a b a b λλ=-+--++- (λ为朗格朗日乘数)

多元函数求极值拉格朗日乘数法资料全

第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容: 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于),(00y x 的点,如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的 任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。

从几何上看这是显然的,因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。 例2 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处 函数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为 负,点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例3 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点 ),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义,在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地,在该邻域内取0y y =,而0x x ≠的点,也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值,因此必有 0),(00=y x f x

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法,该方法针对某些高考 中二元及三元变量最值问题,不失为一种既实用又简便的方法。拉格朗日乘数法:求在约束条件(G(x,y,z) = 0,下f(x,y,z)的极值时,拉格朗日函数 L(x,y,z)二f(x,y,z)- 入H (x,y t z) -□右(xy乂),可由L x=0, L y=0, Lz=0, ll(xyz) = 0, G(xyz)二0,解出函数可能的极值点,求出目标函数f(x,y,z)的极值。这 里L x=0, L y=0, L z=0可以理解为关于x,y,z求偏导数,入,□称为拉格朗日乘数。 例.已知x2寸 xy 3,求x2y2xy的最大值和最小值。 1.已知正实数x, y满足xy+2x+y=4,则x+y+1的最小值为 ______________ . 、‘ 1 1 2■若正实数x, y,满足x y 5,则x y的最大值是 _____________ . x y 3. 若实数x, y满足x2y2xy 1,则x y的最大值___________________ . 4. 设正实数x,y,z满足x2-3xy + 4y2—z = 0,则当—取得最小值时,x+ 2y—z的最大值为() xy 5. 设a,b,c为实数,且满足a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 ____________ 6. ____________________________________________________________________________________ 已知实数a,b,c满足a+b+c=0, a 2+b2+c2=1,则a的最大值为_______________________ . 2 2 3 4 5 7. 对于c 0,当非零实数a,b满足4a 2ab 4b c 0,且使|2a b|最大时,的最小值 a b c 8.已知a,b [0,1],a+b=1, 求「二+ +(1-a)(1-b) 的取值范围。(若去掉条件a+b=1呢)

Lagrange乘数法

教案 条件极值问题与Lagrange 乘数法 1. 教学内容 讲解Lagrange 乘数法的原理,并介绍如何应用Lagrange 乘数法求解条件极值问题。 2. 指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题, Lagrange 乘数法是解决条件极值问题的一个有效的工具,也是数学分析课程教学上的一个难点,讲好这一节课程,对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排 1.在考虑函数的极值或最值问题时,经常需要对函数的自变量附加一定的条件。例如,求原点到直线 ? ??=++=++632,1z y x z y x 的距离,就是在限制条件1=++z y x 和632=++z y x 的情况下,计算函数222),,(z y x z y x f ++=的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例,条件极值问题的提法是:求目标函数 ),,(z y x f 在约束条件 ? ??==0),,(,0),,(z y x H z y x G 下的极值。 假定具有连续偏导数,且Jacobi 矩阵 G F f ,,??? ?????=z y x z y x H H H G G G J 在满足约束条件的点处是满秩的,即2rank =J 。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。设曲线上一点为条件极值点,由于在该点),,(000z y x 2rank =J ,不妨假设在 点),,(000z y x 0) ,(),(≠??z y H G ,则由隐函数存在定理,在附近由该方程可以唯一确定 ),,(000z y x ),(),(),(0ρx O x x z z x y y ∈== ()(),(0000x z z x y y ==)。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数,原问题就转化为函数 ),()),(),(,()(0ρx O x x z x y x f x ∈=Φ 的无条件极值问题,是函数0x )(x Φ的极值点,因此0)(0=Φ′x ,即 0),,(),,(),,(000000000=++dx dz z y x f dx dy z y x f z y x f z y x 。 这说明向量

不等式证明方法总结

不等式证明的若干方法及简单应用 尚永棡 河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2007级1班 摘 要:本文总结了证明不等式的若干方法及不等式的简单应用,并精选典型的例题来说明了不等式的各个证明方法,以使得论文更加完整. 关键词:不等式;拉格朗日中值定理;泰勒公式;柯西不等式. §1 引言 不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容,它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面,在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容,通过国内外专家及学者的长期不懈努力,不等式证明已经取得了丰硕的成果,著名数学家D.S.Mitrinovic 在他的名著《Analytic Inequalities 》的序言中曾引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”,由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义. 因此,本文对不等式的一些重要证明方法进行了系统的总结,并精选典型的例题来说明其证明方法,以便使大家对其证明有更好的理解.同时密切联系实际,应用不等式解决实际中的简单问题,以此来更进一步说明不等式的重要性. §2 证明方法 1、利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理:设()f x 满足: (1)在闭区间[],a b 上连续; (2)在开区间(),a b 内可导,则有一点(),a b ξ∈使得 ).()()(ξf a b a f b f '=--

例1 证明不等式 ()11ln(1)ln x>01x x x x <+-< +. (1) 证明:令()ln f t t =,则在[,1]x x +上应用拉格朗日中值定理得到 ()ξ 1 ln )1ln(= -+x x , (2) 这里x <ξ<x +1. 清楚地, 1111x x ξ <<+. (3) 则由(2)和(3)我们证得不等式(1)成立. 2、利用函数单调性证明不等式 例2 (证明几何不等式):设), ,,2,1(,0,0n i x p i i =>>11 =∑ =n i i p ,则有: ∑ ∏ ==≤ n i i i n i p i x p x i 1 1 . 式中等号当且仅当n x x x === 21时成立.试证明之. 证明: 记 ∏ == n i p i n i x A 1 , ∑ == n i i i n x p B 1 . 考虑函数 x n i n i i n A x p A x f ??? ? ??=∑ =1 )(, 则有 ??? ? ??=∑ =n i n i i n A x p A f 1 )1(=∑=n i i i x p 1=n B , n n i n i i n A A x p A f =??? ? ??=∑ =0 1 )0(n n i i A p =∑ =1 . 要证明几何不等式,就是要证明)1()0(f f ≤.如果能够证明函数()f x 在区间[0,1] 上是单调递增函数,当然就有)1()0(f f ≤.我们注意函数()f x 的一阶导数和二阶导

拉格朗日乘数法的原理说明

拉格朗日乘数法相关理论 --------陈小胖整理于20190413中午 问题:设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 分析:当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =。(注意到此时(,)()(,) x y x y g x x y φφ'=-)。于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极值点(同时也必然是驻点) , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 ) ,(),()(00000y x y x x g y x ??-=', 就有 0) ,(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, 简写成 x f -y ?y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)垂直. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)垂直, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?)平行, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ? , y ?)0=.亦即 ???=+=+. 0 , 0y y x x f f λ?λ? 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ?之下的可能的条件极值点应是 方程组 ?????==+=+. 0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ? 的解. 引进所谓Lagrange 函数: ),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组 ?????===. 0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 此时该方程的解即为约束条件0),(=y x ?之下, 函数=z ),(y x f 的可能的极值点。【为什么有可能二字呢,因为归根到底,我们求的还是驻点,而驻点未必是极值点,不过往往在实际问题中,由于最值存在性容易判定,故如果所求驻点唯一,即为所求极值点或者最值点。】

最新多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

最新多元函数求极值(拉格朗日乘数法) 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容: 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于),(00y x 的点,如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任 一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从 几何上看这是显然的,因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面 2243y x z +=的顶点。

例2 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函 数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负, 点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例3 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义,在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 特殊地,在该邻域内取0y y =,而0x x ≠的点,也应适合不等式 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值,因此必有 类似地可证 从几何上看,这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面,则切平面 成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。 仿照一元函数,凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为 函数),(y x f z =的驻点,从定理1可知,具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。

条件极值与拉格朗日乘数法

§4条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时,往往会遇到这样一种情形,就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题,就是这种情形。我们 知 道 点 ) ,,(z y x 到点 ) ,,(000z y x 的距离为 202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0 ),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题. 又如,在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中,求一数组,使函数值 2 2221n x x x f +++= 为最小,这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下, 求函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题(条件极值问题). 例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下, 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy V z = , 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x y V y x F ++=)1 1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有 3 22 1V z = , 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.

拉格朗日乘数法

朗格朗日乘数法 一、基本步骤: 目标函数条件f 以及约束条件g , 1.构造拉格朗日函数:F f g λ=+? 2.多元求导 '0x F = '0y F = …… 3.联立求解:,,x y ==L 4.判断最值。 二、实例(以2020学军中学3月模拟第15题为例) (2020学军中学3月模拟15)已知正实数,x y 满足2342xy x y ++=,则54xy x y ++的最小值为______. 方法一、消元 【详解】∵正实数,x y 满足2342xy x y ++=,∴42203x y x -= >+,0x >,解得021x <<. 则()4221654342342333133x xy x y x y x x x x -??++=++=++=+++??++?? 33155≥?=,当且仅当1,10x y ==时取等号. ∴54xy x y ++的最小值为55. 方法二、拉格朗日乘数法 令()(),54,,2342f x y xy x y g x y xy x y =++=++- 构造朗格朗日函数: ()()(),,,,F x y f x y g x y λλ=+

即:()(),,542342F x y xy x y xy x y λλ=+++++- 求导: '52x F y y λλ=+++ '43y F x x λλ=+++ '2342 F xy x y λ=++- 解方程: '0'0'0 x y F F F λ?=?=??=? 得: ()1,107x y x ==???=-?? 舍 代入,得(),54=55f x y xy x y =++. 三、拉格朗日乘数法原理: 能够碰到极大极小值点的必要条件是: 梯度场与切空间垂直,也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量,否则在切空间方向有分量,在流形上沿分量方向走,函数值会增加,沿反方向走,函数值会减少,不可能为局部极小或者极大值点。

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