条件极值与拉格朗日乘数法
§4条件极值
一、何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们
知
道
点
)
,,(z y x 到点
)
,,(000z y x 的距离为
202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0
),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.
又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值
2
2221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，
求函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.
例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .
分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件
V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .
条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ?
限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.
对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xy
V
z =
, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x y V y x F ++=)1
1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有
3
22
1V z =
, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.
然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件
设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点
),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由
方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有
0)(='+=x g f f dx dz
y x .代入 )
,(),()(00000y x y x x g y x ??-=', 就有 0)
,()
,()
,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??,
即 x f -y ?y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= .
可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量
(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?)线性相关, 即存在实数
λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ? , y ?)0=.
亦即 ???=+=+. 0
, 0y y
x x f f λ?λ?
三、 Lagrange 乘数法:
由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ?之下的条件极值点应是方
程组?
??
??==+=+.
0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ? 的解.
引进所谓Lagrange 函数
),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )
则上述方程组即为方程组
?
??
??===.
0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x
下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。 解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ
02=++=μλx yz L x ,
02=++=μλy xz L y , 02=++=μλz xy L z ,
得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222, （1）
又 1222=++z y x , （2） 0=++z y x , （3）
由（1）得 )()(22
2
x y y x -=-μλ ，)()(22
2
y z z y -=-μλ, 当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y 故得z x =，代入（2）（3）式得 122
2
=+y x ,
02=+y x .
解得稳定点)61,62,
61
(
1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61
,61,62(4,3±± P ，
)6
2
,61,61(
6,5 ±±P 也是稳定点. 四、 用Lagrange 乘数法解应用问题举例:
例3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是
)()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ
对L 求偏导数, 并令它们都等于0: ??
?
?
???=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ
求上述方程组的解, 得3
324,
22V
V z y x -====λ.
依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为34
V
, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值32)2(3V S =.
例4抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 .
例5 求函数xyz z y x f =),,(在条件
)0,0,0,0( 1
111>>>>=++r z y x r
z y x . 下的极小值 ; 并证明不等式 31
1113abc c b a ≤??
?
??++- , 其中 c b a , , 为任意正常数 .
解 设拉格朗日函数为 +=xyz z y x L ),,,(λ ) 1
111(r
z y x -++λ. 对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则有
??
????
?
???
???=-++==-==-==-
=.01
111,
0,
0,
0222
r z y x L z
xy Lz y xz L x yz L y x λλλλ
由上述方程组的前三式, 易得
μλ
====x y z
z y x 111.从而函数L 的稳定点为r z y x 3===,4)3(r =λ.
为了判断3
)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件
1
111r
z y x =++看作隐函数),(y x z z =(满足隐函数定理条件), 并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数. 这样, 就可应用极值
充分条件来做出判断. 为此计算如下:
22
222
2,11y
z z x z z x z y x -=-=---=,332x yz xyz yz yz F xx x x xx =++=, xy z x z y z z xyz xz yz z F xy x y xy 3222+--=+++=, 3
3
2y
xz F yy =. 当r z y x 3===时,
r F F r F xy yy xx 3,6===, 027*******
>=-=-r r r F F F xy yy xx .
由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式
)1
1110,0,0(33r
z y x z y x r xyz =++>>>≥且
. 令c z b y a x ===,,, 则1
)111(
-++=c b a r , 代入上不等式有 31])1
11(3[-++≥c b a abc
或 )0,0,0()111(331
>>>≤++-c b a abc c
b a .
用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下:
(1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.
(2) 作拉格朗日函数∑=+=m
k k
k m n f x x x L 1
2121),,,,,,,(?
λλλλ , 其中i λ的个数
即为条件组的个数.
(3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令
0,0=??=??j
i L
x L λ, ),,2,1,,,2,1(m j n i ==求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.
(4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要采用无条件极值的充分条件来判定.
拉格朗日条件极值
拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对) 应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。 解:依据题意有如下关系式 )1(a xyz = )2()(2222z y x s ++= 构造函数M 如下： )3() ()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++= 只要求M 函数的极值，即为s 的极值。 )4(04=+=??cyz x x M )5(04=+=??cxz y y M )6(04=+=??cxy z z M )7(0=-=??a xyz c M 以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得： )8(4442 22z y x ac ===- 可得: )9(431 a z y x ac ====- )01(431 -a c -= 此时，面积s 为： )9(632a s = 证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。 已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。 )1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x 解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。 )4(0))(,())(,(=+=dx dy x y x f x y x f dx dz y x 对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。 )6()5(0),(Y x y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+=
将(6)式带入(4)式可得(7)式。 )7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz )8(),() ,(y x F y x f y y -=λ 设极值点坐标为(x 0,y 0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式 )9(0),(),() ,(),(),(),(000000000000=-=-=y x F y x f y x F y x F y x f y x f dx dz x x y x y x λ )9(0),(),(0000=-=y x F y x f dx dz x x λ 反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(10)式等于0。 )10(0?),(),(==-=y x F y x f dx dz x x λ 依据(8)式定义知当坐标(x 0,y 0)确定后λ(x 0,y 0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。 类似可得(11)式 )11(0),(),(0000=-=y x F y x f dy dz y y η 反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(12)式等于0。 )12(0?),(),(==-=y x F y x f dy dz y y η )31(),() ,(y x F y x f x x -=η 对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式 )15()14(0 ),(Y x y x f f dx dy dy f dx f y x df -==+= 在极值点处(6)式和(15)式同时成立。对比(6)式和(15)式后得出(16)式。 )16(Y x Y x f f F F -=- 因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。 以上事实提示我们可以预先构造出如下函数
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ?=，为寻找(,)z f x y =在附加条件下的最值，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λ?=+，其中λ为参数．然后分解为几个不同部分，同时利用不等式求最值，再利用等号成立条件求出参数λ的值回代即可．范例：已知ax by k +=，其中a ，b ，x ，y 均为正数，求 d e x y +最小值．步骤：构造拉格朗日函数()(0)d e L ax by k x y λλ=+++->， 则()()d e L ax by k k x y λλλλ=+++-， 当且仅当d ax x λ=，e by y λ=时即x y =L 取得最小值．例3已知11112 x y z ++=，其中x ，y ，z 均为正数，求222x y z ++得最小值．解答：解法一：1 2224() 2x y z x y z ++=++1114()()x y z x y z =++++4(3)x x y y z z y z x z x y =+ +++++4(3)x y x z y z y x z x z y =++++++4(3222)36+++=≥， 当且仅当6x y z ===时等号成立， 所以222x y z ++得最小值为36．解法二：1111222222()2 x y z x y z x y z λ++=+++++-(2(2)(2) 22x y z x y z λλλλλ =+++++-， 当且仅当6x y z ====时等号成立， 所以222x y z ++得最小值为36． 变式1已知正数a ，b 满足1a b +=，求证： 228127a b +≥．解答：解法一引入常数λ(0)λ>， 2222 81812(1)a b a b a b λ++++-=2281()()2a a b b a b λλλλλ=+++++-
拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用
西南财经大学Southwestern University of Finance and Economics 微观数学方法期末论文 学生姓名：彭燕 所在学院：经济学院 专业：西方经济学 学号：214020104007 消费者均衡中拉格朗日乘数法的应用
一．引言 本文主要通过介绍拉格朗日乘数的方法，推导出古典经济学中消费者均衡的条件。通过分析得出消费者均衡原则是各个商品消费的比率等于相应商品价格的比率。 二．数学理论 1.条件极值的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ??-=', 就有 0) ,(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, 即 x f -y ?y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ? , y ?)0=. 亦即 0x x f λ?+=，0y y f λ?+= 2.拉格朗日乘数法 在利用偏导数求多元函数的极值时，若函数的自变量有附加条件，则称之为条件极值。这时，可用拉格朗日乘数法求条件极值。具体方法如下: 拉格朗日乘数法：设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数 L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。求L(x,y)对x 和y 的一阶偏导一阶充分条件为： L ＇x(x,y)=f ＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，
拉格朗日极值
习题8-4 1. 求下列各函数在所给的限制下的极大值或极小值 (a) f(x,y)=xy ; x+3y=6。 解：令()63,-+=y x y x g 故()0,=y x g 令拉格朗日函数为()()()()63,,,,-++=+=y x xy y x g y x f y x F λλλ 6 33-+=+=+=y x F x F y F y x λλλ 令?? ???=-+=+=+063030y x x y λλ 将λ消掉可得??????==?=-+=-1306303y x y x y x ()31,3=f 取一满足063=-+y x 的点()2,0代入()302,0,<=f f 故知()31,3=f 为绝对极大值 (b) f(x,y)=x 2+2y 2 ; x –2y+1=0。 解：令()12,++=y x y x g 故()0,=y x g 令拉格朗日函数()()()()12,,,,22+-++=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 1 2242+-=-=+=y x F y F x F y x λλλ 令?????=+-=-=+01202402y x y x λλ 将λ消掉可得??? ?????????=-=?=+-=+3131012044y x y x y x 3 131,31=??? ??-f 取一满足012=+-y x 的点()0,1-代入()3 110,1,> =-f f 故知3 131,31=??? ??-f 为绝对极小值
(c) f(x,y)=x 3–y 3 ; x –y=3。 解：令()3,--=y x y x g 故()0,=y x g 令拉格朗日函数()()()()3,,,,33--+-=+=y x y x y x g y x f y x F λλλ 33322--=--=+=y x F y F x F y x λλ λ 令?? ???=--=--=+03030322y x y x λλ 将λ消掉可得y x =或y x -= 当y x =则0303=-?=--y x 矛盾 当y x -=则2 32303-=?= ?=--x y y x 42723,23-=??? ??-f 取一满足03=--y x 的点()0,3代入()4 27270,3,-> =f f 故知42723,23-=??? ??-f 为绝对极小值 (d) f(x,y)=2x+y –z ; x 2+y 2+z 2=24。 解：令()24,222-++=z y x y x g 故()0,,=z y x g 令拉格朗日函数 ()()()() 242,,,,,,222-+++-+=+=z y x z y x z y x g z y x f y x F λλλ 242112222-++=+-=+=+=z y x F z F y F x F z y x λλλλ 令???????=-++=+-=+=+0 240210102222z y x z y x λλλ
拉格朗日乘数法共8页文档
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好 方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <==ΛΛ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f Λ 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x . 代入 ) ,() ,()(00000y x y x x g y x ??- =', 就有 0) ,() ,() ,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, ( 以下x f 、y f 、x ?、y ?均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ?—y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?) 线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f ,y f ) + λ(x ?,y ?)0=.亦即 ???=+=+. 0 , 0y y x x f f λ?λ? Lagrange 乘数法 :
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(
拉格朗日乘数法
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给 较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
最新拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等 式，是个好方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为?Skip Record If...?的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为?Skip Record If...?，则水箱容积 ?Skip Record If...?焊制水箱用去的钢板面积为?Skip Record If...?这实际上是求函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件 ?Skip Record If...? 限制下，求函数?Skip Record If...?的极值
条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面?Skip Record If...?被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面?Skip Record If...?平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件?Skip Record If...?之下求函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的极值 . 当满足约束条件的点?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?的条件极值点 , 且在该点函数?Skip Record If...?满足隐函数存在条件时, 由方程?Skip Record If...?决定隐函数?Skip Record If...?, 于是点?Skip Record If...?就是一元函数?Skip Record If...?的极限点 , 有 ?Skip Record If...?. 代入?Skip Record If...?, 就有 ?Skip Record If...?,
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法 摘 要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality
微积分小论文——关于拉格朗日乘数法的方程组解法讨论
关于拉格朗日乘数法方程组的解法讨论 作者信息：通信工程 201201916005雷志坤 摘要 本文针对求解条件极值问题时运用的拉格朗日乘数法，归纳总结了一些在求解方程组的过程中所运用的方法技巧。从而，在我们遇到相关问题时，能系统、快速地得出方程的解以及可能极值点。 关键词：地位对等、统一化过程、拉格朗日乘数法 问题的提出 在学到多元函数微分学时，会涉及多元函数极值与最值问题。而我们在研究分析此类问题中的条件极值问题时，常使用拉格朗日乘数法，在运用该方法过程中势必会解一个多元方程组。如果用常规方法解该方程组会显得比较麻烦，于是便思考有无简便通用的方法能迅速得出答案。 方法的发现及其证明 首先，引入拉格朗日乘数法步骤： （1）、作辅助函数F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z) （2）、根据方程组 000(,,)0 x x x y y y z z z F f F f F f F x y z λλ?λ?λ??=+=??=+=??=+=??==? 解出可能极值点(x0,y0,z0)以及λ （3）、根据实际意义判断可能极值点是否为真正极值点 现给出方法发现过程： 在我们教材中实际遇到该种问题时，常常得到的方程组很有规律。 例如： 题目1： 求w=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2上的极大值(x>0,y>0,z>0)，并利用这个结果证明当a>0,b>0,c>0时，恒有 35( )5 27a ab b c c ++≤) (辅导教程P250，例5.48)
在此题中运用拉格朗日乘数法得到的方程组为： F(x,y,z,)=lnx+lny+3lnz+(x^2+y^2+z^2-5R^2) 2222120 12053200 x y z F x x F y y F z y z z x F R λλλλ?=+=???=+=???=+=???==?++- 我们的目的是用尽量简便的方法求解该方程组。而对于该方程组，我们可以划分为两个部分:A 、Fx=0,Fy=0,Fz=0 B 、F λ=0 。可以这样想：A 部分用以求解x,y,z 之间的关系，B 部分用以给x,y,z 定值。所以，求解该方程组的关键在于A 部分的求解。现在剔出A 部分观察分析： 222120120120120320320x x y y z z F x x F x F y F y y F z F z z λλλλλλ?=+=??=+=???=+=?=+=????=+=??=+=?? 可以发现上述方程组很有规律。即x 与y 分别与z 地位对等。怎样解释这种地位对等的关系呢？可以这样说，所谓地位对等关系，即是：假设以x 变量以及等式Fx=0为标准，若进行变量代换y=kx 后得到等式Fy=0形式上与前面的Fx=0相同，则称kx 与y 地位对等。 我们假设x=t,则观察易得 （~表示地位对等），同时上述方程组可划为： 112020 1112020201200t t t t t t t t t t t t t λλλλλλ??+=+=??????+=?+=?+=????+=+=?? 我们可以把这个过程叫做统一化过程。因而易知，能进行统一化过程的充分条件是：方程组中多元变量之间相互存在地位对等关系。 经验证可以发现：若一个方程组能进行统一化过程，且有对等关系x~k1y~k2z~…，则此方程组中多元变量关系为x=k1y=k2z=…。（结论）
多元函数求极值拉格朗日乘数法资料全
第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的 任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。 例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处 函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为 负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点 ),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x
浅谈拉格朗日乘数法的应用
“高观点”下的初等数学 许高峰11数本一班 摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。 关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件 例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为 .（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为 5)(2 135)(2 5445 544022222222?+=?+++≤?++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥?+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为13 10，当且仅当y x =时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。 如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式： 2 22222)(55 )()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +?=+?=+++
(完整word版)拉格朗日乘数法.doc
1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： （1） f ( , ) x 2 y 2 , 若 x y 1 0; x y （2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）； （3） f ( x, y, z) xyz ，若 x 2 y 2 z 2 1, x y z 0 . 解 (1) 设 L( x, y, ) x 2 y 2 ( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有 L x 2x 0, L y 2 y 0, L z x y 1 0. 解之得 x y 1 , 1.由于当 x , y 时 , f .故函数必在唯一稳定点处 2 1 1 1 取得极小值 , 极小值 f ( , 2 ) . 2 2 (2) 设 L (x, y, z, t, ) x y z t ( xyzt c 4 ) 且 L x 1 yzt 0, L y 1 xzt 0, L z 1 xyt 0, L t 1 xyz 0, L xyzt c 4 0, 解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯 一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c . (3) 设 L( x, y, z, ,u) xyz ( x 2 y 2 z 2 1) u( x y z) ,并令 L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0, L x 2 y 2 z 2 1 0, L u x y z 0, 解方程组得 x, y, z 的六组值为 :
拉格朗日乘数法解不等式
拉格朗日乘数法解不等式 张永强 赵临龙 (安康学院 陕西、安康 725000) 【摘要】本文通过例题说明如何用拉格朗日乘数法证明条件不等式 【关键词】拉格朗日乘数法 不等式 目标函数 1.已知0x >，0y >且1x y +=，求证2225(2)(2)2x y +++≥ 证明：构造目标函数为2225(,)(2)(2)2F x y x y =+++- 令朗格朗日函数为2225(,,)(2)(2)(1)2 f x y x y x y λλ=+++-++- （λ为朗格朗日乘数） 240f x x λ?=++=? 240f y y λ?=++=? 10f x y λ ?=+-=? 解得：12x y == 令222f A x ?==? 20f B x y ?==?? 222f C y ?==? 20A C B -> ,0A > (,)F x y ∴在11(,)22处取得最小值，11(,)022F = 2225(2)(2)2 x y ∴+++≥ 2. ,a b +∈?，1a b +=，求证1125()()4 a b a b ++≥ 证明：构造目标函数为1125(,)()()4 F a b a b a b =++- 令朗格朗日函数为1125(,,)()()(1)4 f a b a b a b a b λλ=++-++- （λ为朗格朗日乘数） 222(1)(1)0f b a a a b λ?+-=+=? 222(1)(1)0f a b b ab λ?+-=+=? 10f a b λ ?=+-=? 解得12a b ==，令22242(1)40f a b A a a b ?+===? 22222(1)(1)9f a b B a b a b ?--===?? 22242(1)40f b a C b ab ?+===? 20A C B -> ,0A > (,)F a b ∴在11(,)22处取得最小值，11(,)022F = 1125()()4 a b a b ∴++≥ 3. ,0a b ≥，1a b +=，求证：2222 (1)(1)1a b -+-≥ 证明：构造目标函数为2222(,)(1)(1)1F a b a b =-+-- 令朗格朗日函数为2222(,,)(1)(1)1(1)f a b a b a b λλ=-+--++- （λ为朗格朗日乘数）
第十五章 值和条件极值
第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 一 极值 定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≤ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥ 则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。 定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ?=?，()00,0f x y y ?=?，则称()00,x y 是f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理1 二元函数的极值点必为0f f x y ??==??的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。 例：z xy =在()0,0点。 例：z x =在()0,0点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点， ),(0022y x x f A ??=，),(0022y x y f C ??=，),(002y x y x f B ???=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。 例：求)1(b y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。 例：求333z axy x y =--的极值。 多元函数的最大（小）值问题 设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。若这样的点0M 位于
条件极值答案
习题8-3答案 （A ） 1、求下列函数的极值： （1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值. 解：解方程组得22330330z x y x z y x y ??=-=??????=-=???，解得驻点(0,0),(1,1) 由于222226,3,6z z z x y x x y y ???==-=????，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得 极值；在(1,1)处有2 270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。 (3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值30 2 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 . 分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . (,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++- 对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=? ?=++=? ?=++=? ?=-=? 求上述方程组的解, 得3 3 4 22,2x y z a a λ=== =- . 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为3 4 a , 长与
宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =. 3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2 V x y π= 构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则 2220, 20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=?? =+=?? =+-=? 解得2x y =，代入约束条件得： 23x p = 13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。 4.求函数u xyz =在条件22 2124 x y z ++=之下的极值。 解：构造辅助函数22 2(,,,)(1)24 x y F x y z xyz z λλ=++ +-，则 222 0, 0, 220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=? ??=+=??=+=??=++-=? ? 前三个式子联立去掉λ，得22 224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221 243 x y z ===。所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-） （+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。 (其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此 时它们的函数值为0，不是极值点。 5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。 解：设此半球的方程为2 2 2 2 ,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyz x y z R =++=。考虑函数
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