高考数学专题复习立体几何专题空间角
立体几何专题:空间角 第一节:异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义: 直线a 、b 是异面直线,经过空间一交o ,分别a ?//a ,b ?//b ,相交直线a ?b ?所成的锐角(或直 角)叫做 。 2.范围: ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法: 平移法、问量法、三线角公式 (1)平移法:在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作a 、b 的平行线,构造一个三角形,并解三角形求角。 (2)向量法: 可适当选取异面直线上的方向向量,利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1:利用向量计算。选取一组基向量,分别算出 b a ? 代入上式 方法2:利用向量坐标计算,建系,确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ (3)三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即:θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、(2007年全国高考)如图,正四棱柱 1111ABCD A B C D -中, 12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB=a ,BC=)(b a b >,AA 1= c ,求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一:过B 点作 AC 的平行线(补形平移法) A B 1 B 1 A 1D 1 C C D
立体几何证明题专题(教师版)分析
立体几何证明题 考点1:点线面的位置关系及平面的性质 例1.下列命题: ①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是__________ . 【解析】由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命题①错,②中有可能出现 两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时),②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形,如图(1)所示. ABC —A B C D'中,直线BB丄AB, BB丄CB但AB与CB不平行,???⑥错. AB // CD BB n AB= B,但BB与CD不相交,.??⑦错?如图(2)所示,AB= CD BC= AD四边形ABCD不是平行四边形,故⑧也错. I、m外的任意一点,贝U ( A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行 B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直 C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交 D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面 答案 B 解析对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行,则I // m这与I , m异面矛盾. 对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线,即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线. 对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条. 对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.
坐标法解空间几何题常用模型
如何用坐标法解空间几何题专题 (中保高中2017届1,2班) 徐学松 2017.5 模型思考 空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多,在解决综合问题时,运用多个定义、定理和性质形成的综合题时,遇到多种多样的题型,每一种题型的解法又有多种.学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率.有没有一种比较统一的方法,能够使得解题过程比较一致,变化不多的模型呢?使得学生解题流程固定,方法比较简单,从而使学生解题思路流畅,正确率提高呢.坐标法作为一种工具,在解决立体几何问题中有着无比的优越性.运用坐标法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了,模式固定,流程明了. 模型例析 例1.(线线平行)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足DB ∥AC ,DC ∥AB 的点D 的坐标. 解模与识模:这道题是一道线与线平行的问题.可设点D 坐标为(x ,y ,z), 则?→ ?DB = (-x ,1-y ,-z),?→?AC = (-1,0,2),?→ ?DC = (-x ,-y ,2-z), ?→ ?AB = (-1,1,0). ∵DB ∥AC ,DC ∥AB ,∴?→ ?DB ∥?→?AC ,?→?DC ∥?→ ?AB . 即???? ?? ???=--=--=--=--.02, 1 1,01,2 1z y x y z x ??????==-=.2,1,1z y x ,即此时点D 的坐标为(-1,1,2). 从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下,得到各点的坐标后,就能得到有关向量的坐标,根据向量的平行,利用公式建立方程组.这里的公式是若()111,,z y x a =→ , ()222,,z y x b =→ ,且222,,z y x 均不为零,→ →b a //? 2 12121z z y y x x ==.进而达到求解的目的. 例2(线线垂直)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是棱DD 1的中点,O 为正方形ABCD 的中心,求证:1OA ⊥AM . 解模与识模: 直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直.设直线a ,b 的 方向向量分别是 ()111,,z y x a =→ ,()222,,z y x b =→,a ⊥b ? → a ⊥ → b ?0212121=++z z y y x x .要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系.常见
三角函数与立体几何(二)教师版
1.如图,在ABC ?中,点D 在边BC 上, 4 CAD π ∠= , 72AC = , cos 10 ADB ∠=-. (1)求sin C ∠的值; (2)若ABD ?的面积为7,求AB 的长. 【答案】(1) sin C ∠= 4 5 ;(2) AB = 【解析】试题分析:(1)由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠,由4 C ADB π ∠=∠- ,利用两角差 的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解;(2)先由正弦定理求AD 的值,再利用三角形面积公式求得BD ,与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析:(1 )因为cos 10ADB ∠=- ,所以sin 10 ADB ∠=, 又因为4 CAD π ∠= ,所以4 C ADB π ∠=∠- , 所以sin sin 4C ADB π? ? ∠=∠- ?? ? sin cos cos sin 4 4 ADB ADB π π =∠-∠ 4 1021025 = +?=. (2)在ADC ?中,由正弦定理 sin sin AD AC C ADC =∠∠, 故( )74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π? ?∠?∠?∠==== ∠-∠∠ = 又11sin 72210 ABD S AD AB ADB BD ?= ???∠=??=,解得5BD =. 在ADB ?中,由余弦定理得 2 2 2 2cos AB AD BD AD BD ADB =+-??∠ 8252537AB ?=+-??=?= ?? 2.在ABC ?中,内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且 22sin sin cos cos C B B B C C -=
高考数学统考一轮复习第7章立体几何第1节空间几何体的结构及其表面积体积教师用书教案理新人教版
第7章立体几何 全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制2道小题、1 道解答题,分值约占22分. 2.考查内容 (1)小题主要考查三视图、几何体 体积与表面积计算,此类问题属于 中档题目;对于球与棱柱、棱锥的 切接问题,知识点较整合,难度稍 大. (2)解答题一般位于第18题或第19 题的位置,常设计两问:第(1)问 重点考查线面位置关系的证明;第 (2)问重点考查空间角,尤其是二 面角、线面角的计算.属于中档题 目. 空间几何体的结构及其表面积、体积 [考试要求] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式.
1.多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体. 3.旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线互相平行且相 等,垂直 于底面 长度相等且相交 于一点 延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角 形 全等的等腰梯形圆 侧面展开图矩形扇形扇环 旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆三视图画法规则:长对正、高平齐、宽相等 直观图斜二测画法: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或
专题07 立体几何初步(重难点突破)教师版
专题07 立体几何初步 【重难点知识点网络】: 一、空间几何体的有关概念 1.空间几何体 对于空间中的物体,如果我们只考虑其形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体. 2.多面体 (1)多面体:一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体. (2)多面体的面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等. (3)多面体的棱:相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等. (4)多面体的顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等. 3.旋转体 (1)旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体,它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成. (2)旋转体的轴:平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.
二、几种最基本的空间几何体 1.棱柱的结构特征 ①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF?A′B′C′D′E′F′. ②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示 为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱. ①棱柱的底面:棱柱中,两个互相的面叫做棱柱的底面,简称底. ③棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.
①底面互相 . ②侧面都是 . 2.棱锥的结构特征
三角函数、立体几何(教师)
源于名校,成就所托 高中数学备课组教师班级学生日期上课时间 学生情况: 主课题:三角函数、立体几何 教学目标: 教学重点: 教学难点: 考点及考试要求:
教学内容 三角函数 1、已知:函数()2(sin cos )f x x x =-. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域; (2)若函数()f x 的图象过点6(,)5 α, 34 4π πα<< .求()4 f π α+的值. 解:(1)()2(sin cos )f x x x =-222(sin cos )22 x x =? -?2sin()4x π=----3分 ∴函数的最小正周期为2π,值域为{|22}y y -≤≤。--------------------------------------5分 (2)解:依题意得:62sin(),45π α-= 3 sin(),45 πα-=---------------------------6分 ∵ 3.4 4π πα<< ∴0,42 ππ α<-< ∴cos()4π α- =2234 1sin ()1()455 πα--=-=-----------------------------------------8分 ()4f π α+=2sin[()]44 π π α-+ ∵sin[()]sin()cos cos()sin 444444π πππππααα- +=-+-=23472 ()25510 += ∴()4 f π α+= 72 5 ------------------------------------------------------------------------------12分 2、在ABC ?中,2AB =,1BC =,3 cos 4 C =. (Ⅰ)求sin A 的值; (Ⅱ)求BC CA ?的值. 解:(1)在ABC ?中,由3cos 4C = ,得7sin 4 C =…………………………2分 又由正弦定理 sin sin AB BC C A = ………………………………………3分 得:14 sin 8 A = …………………………………………………………………………………4分 (2)由余弦定理:222 2cos AB AC BC AC BC C =+-??得:23 2124 b b =+-? ……6分
解说立体几何中的“坐标法”
解说立体几何中的“坐标法” 江苏省姜堰中学张圣官(225500) 空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容,在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示,然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度,或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。利用“坐标法”解(证)立体几何题,所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少,且思路简单明了,更易于程序化来解题。用“坐标法”解题是数与形结合的典范,它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形(如正方体等)。下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解(证)立体几何题的步骤。 一、如何确定空间点的坐标 空间点的坐标是有序实数对(x,y,z),其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。要确定一个点的坐标,应先判断三个坐标的符号,然后再确定三个坐标的绝对值。 1.点的坐标的符号判断 点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向,则这点对应的坐标的符号为正,否则符号为负。如点位于x轴正方向,则横坐标为正;点位于z轴负方向,则竖坐标为负。 2.点的坐标的绝对值确定 过这个点向三个坐标平面作垂线,看垂线段平行于哪个轴,则这条线段的长度就是该点的绝对值。如这条垂线段平行于y轴且长度为a,则点的纵坐标的绝对值是a;如这条垂线段平行于z轴且长度为a,则点的竖坐标的绝对值是a 。 二、常见特殊点的坐标特点 1.坐标轴上点的坐标的特点 ①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0,形如(a,0,0);②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0,形如(0,a,0);③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0,形如(0,0,a)。 2.坐标平面上点的坐标的特点 ①XOY平面上所有点的竖坐标是0,形如(a,b,0);②YOZ平面上所有点的横坐标是0,形如(0,a,b);③ZOX平面上所有点的纵坐标是0,形如(a,0,b)。 三、利用“坐标法”解(证)立体几何题的步骤 第一步,建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴,它们的交点作为原点,并选取适当的单位长度; 第二步,表示点的坐标将题中相关点(即在问题中出现的且要求的点)用坐标表示,这一步是解(证)题的关键; 第三步,表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标,即用向量终点的坐标减去起点的坐标; 第四步,求出问题的解将点或向量的坐标代入公式(如两向量的夹角公式等); 第五步,作出结论根据上一步所求得的结果,作出问题的正确结论。 [例题]如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,点O 是对角线BD1的中点。 (1)求证:BD1⊥AC; (2)求异面直线CM与BD1所成的角; (3)求证:OM是异面直线AA1与BD1的公垂线; (4)求异面直线AA1与BD1的距离。
立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用
立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用 【命题分析】高考中立体几何命题特点: 1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系. 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现. 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现. 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 【高考考查的重难点】空间距离和角 “六个距离”: 1、两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-=; 2、点P 到线l 的距离d = (Q 是直线l 上任意一点,u 为过点P 的直线l 法向量); 3 、两异面直线的距离d = (P 、Q 分别是两直线上任意两点,u 为两直线公共法向量); 4、点P 到平面的距离 d =Q 是平面上任意一点,u 为平面法向量); 5 、直线与平面的距离d =(P 为直线上的任意一点、Q 为平面上任意一点,u 为平面法向量); 6 、平行平面间的距离d = (P 、Q 分别是两平面上任意两点,u 为两平面公共法向量 );
“三个角度”: 1、异面直线角[0,2π],cos θ=2 121v v v v ;【辨】直线倾斜角范围[0,π); 2、线面角 [0,2π] ,sin θ=n v vn n v =,cos 或者解三角形; 3、二面角 [0,π],cos 212 1n n n n ±=θ 或者找垂直线,解三角形。 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,证是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。其中,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定,是解决立体几何问题这套强有力的工具时,使得高考题具有很强的套路性。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题1、(福建卷)如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离. 考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小, 点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 解:解法一:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .
坐标法解立体几何习题及解析
坐标法解立体几何 1空间直角坐标系:(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;(2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -,点O 叫原点,向量 ,,i j k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面;2.空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj zk =++,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标.3.空间向量的直角坐标运算律:(1)若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---, 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ?=++, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈,1122330a b a b a b a b ⊥?++=.(2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---.一个向量在直角坐标系 中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式:若 123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则222123||a a a a a a =?=++, 222 123||b b b b b b =?=++.5.夹角公式: 112233222222 123123 cos ||||a b a b a b a a a b b b ??= =?++++. 异面直线所成的夹角: 6.两点间的距离公式:若 111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2 222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-,或 222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-7、法向量 ①直线的法向量:在直线L 上取一个定向量,则与垂直的非零向量叫直线L 的 法向量 ②平面的法向量:与平面α垂直的非零向量叫平面α的法向量. 构造直线或平面的法向量,在求空间角与距离时起到了桥梁的作用,在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来.在空间直角坐标系下,构造关于法向量坐标的三元一次方程组,得到直线(或平面)的法向量坐标的一般形式,再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定. 一、平面的法向量 例1 已知AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),求平面ABC 的法向量解:设面ABC 的法向量(,,)n x y z =,则n ⊥AB 且n ⊥,即n ·AB =0,且n ·=0,即2x +2y +z=0且 4x +5y +3z=0,解得1,2,x z y z ? =???=-? ∴n =z (21 ,-1,1) 点评:一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有 一个自由度,可把n 的某个坐标设为1,再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量。
[高中数学]立体几何.球专题讲义,附练习题、
E B C D A 立体几何-球-专题学案 ? 双基练习 1.下列四个命题中错误.. 的个数是 ( ) ①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是4 cm ,则该球的体积是 A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3 π34161 cm 3 3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ,该地球仪的半径是_____________cm ,表面积是_____________cm 2. ? 知识预备 1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系: . 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 .被不经过球心的平面截得的圆叫 . 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长,这个弧长 叫 . 4. 球的表面积表面积S = ;球的体积V = . 5. 球面距离计算公式:__________ ? 典例剖析 (1)球面距离,截面圆问题 例1.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为 A.43 B.23 C.2 D. 3 练习: 球面上有三点A 、B 、C ,A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41,B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61,且球心到截面ABC 的距离是7 21,求球的体积. 例2. 如图,四棱锥A -BCDE 中,BCDE AD 底面⊥,且AC ⊥BC ,AE ⊥BE . (1) 求证:A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上; (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离.
9.6立体几何大题1(教师版)
A B C D 1 A 1 C 1B E 科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 9.2立体几何大题1 1、(2013新课标)如图,直棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别是1,AB BB 的 中点,12 2 AA AC CB AB === . (Ⅰ)证明:1//BC 平面1A CD ; (Ⅱ)求二面角1D A C E --的正弦值. 【答案】 2、(2013湖南)如图5,在直棱柱 1111//ABCD A BC D AD BC -中,,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=, 13AD AA ==. (I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值. 【答案】 解(Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥??⊥∴-111111,面且面是直棱柱 D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11 111,,⊥∴?⊥∴=?⊥,面。面且又 . (证毕)
(Ⅱ) 。 的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴ 轴正半轴。 为轴正半轴,为点,量解题。设原点在建立直角坐标系,用向X AD Y AB A ()BD AC y BD y AC y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01,则,设 ). 3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=?>=+-?=?AD AC y y y BD AC ) ,,(),,(的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0 ,111==??????=?=?AD n ACD AD n AC n n ACD 721 3 733|,cos |sin 003,313-1=?= ><=?==∴AD n AD n ACD θ),,(),,(的一个法向量平面 7 21 11夹角的正弦值为 与平面所以ACD BD . 3、(2013 北京)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求 1 BD BC 的值. 【答案】解: (I)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA 1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),