高考数学压轴专题济南备战高考《推理与证明》图文答案
《推理与证明》知识点汇总
一、选择题
1．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .
由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272
C ．273
D ．274
【答案】A 【解析】 【分析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】
由图可知，()11f =，
()212667f =+?-=，
()()312362619f =++?-?=， ()()212362619f =++?-?=， ()()4123463637f =+++?-?=，
…
()()101234...10696271.f =+++++?-?=
故选A. 【点睛】
此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-
2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】 【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．
【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
3．若数列{}n a 是等差数列，则数列12n
n a a a b n
++?+=
也为等差数列．类比这一性质可
知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12n
n c c c d n
++?+=
B ．12n
n c c c d n
????=
C ．n d =
D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】
利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】
解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112
n n n
a a a a d n -++?++
=，
∴数列1211
2
n n a a a n b a d n ++?+-=
=+也为等差数列
Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，
则()112
121111
n n n
n n c c c c c q c q c q
--???????==?
∴1
2
1
n n d c q
-=
∴
n d =
故选：D ． 【点睛】
本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．
4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，
()()1n n f x f x +'=(n ∈N *
). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）
A ．2cos x -
B ．2sin x -
C ．2cos x
D ．2sin x
【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得
()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.
【详解】
由题可知：()sin f x x x =
所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-
()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+???
所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+
()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=---
()44cos sin k f x k x x x =-+
由201945051,202145063=?-=?- 所以()20192019sin cos f x x x x =--
()20212021sin cos f x x x x =+
所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
5．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ） A ．1个 B ．5个
C ．7个
D ．9个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】
根据三角形的内切圆和旁切圆可得
与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中，
四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】
本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.
6．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:
2,DC rcosa =①
22,AB rcos a =②
()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.
其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】D 【解析】 【分析】
在Rt ADC ?中，可判断①，Rt ABC ?中，可判断②，利用ADB ?与ADE ?全等及
ADC ?与DFC ?相似即可判断③④. 【详解】
在Rt ADC ?中，
2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ?中，2cos2AB r a =，故②正确；
因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ?与ADE ?全等，故
DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22
AB
FC r r a =-
=-， 又
C
C AC
D FC D =，所以()2
2DC AC FC r r AB =?=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()2
2DC r r AB =-，可得
()
()2
2sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.
故选：D. 【点睛】
本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.
7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )
A ．各月的平均最低气温都在0℃以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ?，而一月的平均温差小于7.5C ?，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ?，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】
解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．
8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2
C ．不小于2
D ．不大于2
【答案】B 【解析】 【分析】
把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到
ab bc ac ++的值的符号． 【详解】
解：2a b c ++=Q ，
2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．
则2()ab bc ac ++
222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++
()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+- ()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，
2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，
即()
222
0a b c -++<，
2()4ab bc ac ++ 即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】 本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力． 9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B ．猜想数列 111 122334 ?????，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *= ∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2 2 2 2 ()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】 根据合情推理与演绎推理的概念，可得: 对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列 111 122334 ?????，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *= ∈+，属于归纳推理，不是演绎推理； 对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2 2 2 2 ()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】 本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 10．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y +++ （ ） A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于2 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又 y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋ ( y z ＋z y )＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2. 11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山 的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路； 事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（） A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路 C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路 【答案】D 【解析】 【分析】 甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】 若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾. 故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】 本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 12．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ==== =“穿墙术”，则n=（） A．35B．48C．63D．80 【答案】C 【解析】 【分析】 n=?+=即可. 通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763 【详解】 因为==== ==，== 所以===63n =. 故选：C. 【点睛】 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 13．下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人 B ．猜想数列 111 ,,122334 ?????的通项公式为()1(1)n a n N n n += ∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 【答案】C 【解析】 【分析】 根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可. 【详解】 对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理； 对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理； 对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ． 【点睛】 该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目. 14．已知()()()212 f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()422x f x =+ C ．()11f x x =+ D ．()2 21 f x x =+ 【答案】A 【解析】因为 ()()()212 f x f x f x += +,所以 ()()111 12 f x f x =++ ,因此 ()()()()()11112 111221 x x f x f x f x =+-=+?=+,选A. 15．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级． 【详解】 假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误， 14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误； 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误， 7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班， 则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误， 7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意． 综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ． 【点睛】 本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n *- +-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ） A ． 1 21k + B ． 112224 k k -++ C ．1 22k -+ D ． 11 2122 k k -++ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求． 【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k - +-+?+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为1111111 12342122122 k k k k - +-+?+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是11 2122 k k -++． 故选：D ． 【点睛】 本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化． 17．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1 c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得 111111a b c x y z x y z y z x x y z ???????????? ++=+++++=+++++ ? ? ? ? ? ? ????????? ??? 6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18．0=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0 B ．,x y 不都为0 C ．,x y 都不为0，且x y ≠ D ．,x y 至少有一个为0 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B. 【点睛】 本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题. 19．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ） A ．8种 B ．10种 C ．12种 D ．14种 【答案】B 【解析】 【分析】 根据表格,利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可. 【详解】 张毅同学不同的选课方法如下: ()1物理A 层1班，生物B 层3班,政治3班; ()2物理A 层1班,生物B 层3班,政治2班; ()3物理A 层1班,生物B 层2班,政治3班; ()4物理A 层3班,生物B 层2班,政治3班; ()5物理A 层3班,生物B 层2班,政治1班; ()6物理A 层2班,生物B 层3班,政治1班; ()7物理A 层2班,生物B 层3班,政治3班; ()8物理A 层4班,生物B 层3班,政治2班; ()9物理A 层4班,生物B 层3班,政治1班; ()10物理A 层4班,生物B 层2班,政治1班; 共10种. 故选:B 【点睛】 本题以实际生活为背景,考查学生的逻辑推理能力和分类讨论的思想;属于中档题. 20．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ） A 3 B ． 23 C 65 D 5【答案】D 【解析】 【分析】 如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】 对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ， 1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D . 在直角三角形ABO 中，2AB =，1022 32 BO -?==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22 sin sin 3 r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得 22945c a b =--=， 所以5c e a = = ， 故选：D. 【点睛】 此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程； 难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上， 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图）， 现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上 以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本 身的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ●案例探究 ［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ 命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y = ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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