123角的平分线的性质课后训练

课后训练

基础巩固

1.作/ AOB 的平分线OC ,合理的顺序是（ ）.

①作射线OC ;②以O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点D ，交OB 于点E ;③

1

分别以点D , E 为圆心，大于 一DE 的长为半径画弧，两弧在/ AOB 内交于点C. 2 B .②①③ D .③②① ）.

B .三条高的交点

D .三条内角平分线的交点

D ,

E ,下列结论错误的是（ ）.

PD = PE

OD = OE

/ DPO = / EPO

PD = OD

7. 在△ ABC 中，/ C = 90° 9 : 7,则D 到AB 的距离为 _______

8. 点O 是^ ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，/ A = 60 °则/ BOC 的度数为

A .①②③

C .②③①

2. 三角形中到三边距离相等的点是

（ A .三条边的垂直平分线的交点

C .三条中线的交点

3. 如图，/ 1 = / 2, A .

B .

C .

D . 4.如图，在^ ABC 中，/ ACB = 90 ° B

E 平分/ ABC , DE 丄AB 于点 那么AE + DE 等于(

D ,如果 AC = 3 cm , A . 2 cm 5. 在.△ ABC 中， O

E 丄AC 于点 E , O

F 丄 AB 于点 F ，且 AB = 10 cm , BC = 8 cm , AC = 6

AB , AC , BC 的距离分别为( A . 2 cm,2 cm,2 c m C . 4 cm,4 cm,4 cm 能力提升

6. 如图所示，/ AOB = 60 ° B . / C = 90 °点O 为^ ABC 三条角平分线的■交点,

D . 5 cm OD 丄BC 于点D , cm ,则点O 到三边

)?

B . 3 cm,3 cm,3 cm

D . 2 cm,3 cm,5 cm CD 丄OA 于点D , C

E 丄OB 于点E ,且CD = CE ,则/

DCO

AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D ，若 BC = 32,且 BD : CD = B

4 cm

9.如图，BN是/ ABC的平分线，点P在BN上，点D, E分别在AB, BC上，/ BDP + / BEP = 180° 且/ BDP，/ BEP 都不是直角，求证：PD = PE.

10.如图，在△ ABC中，/ C= 90° AD平分/ BAC, DE丄AB于点E,点F在AC 上, BD = DF.

(1)试说明CF = EB的理由；

(2)请你判断AE, AF与BE的大小关系，并说明理由.

11.如图，木工师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作/ AOB的平分线，并说明理由.

° B

12.已知：如图所示，BF与CE相交于点D, BD = CD, BF丄AC于点F , CE丄AB于点E,求证：点D在/ BAC的平分线上.

参考答案

1. C

2. D 点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以 到三角形三边距离相等的点

3. D 点拨： / DPO =/ EPO ,但 PD =

OD 是错误的.

4. B 点拨：因为BE 平分/ ABC ，/ ACB = 90 ° DE 丄AB 于点D ,

所以 DE = EC , AE + DE = AE + EC = AC = 3 cm.

5. A 点拨：因为点O 为^ ABC 三条角平分线的交点， OD 丄BC 于点D , OE 丄AC 于 点E , OF 丄AB 于点F ,

所以设点O 到三边AB , AC , BC 的距离为x cm.

1

解得 x = 2(cm).

6. 60 °点拨：因为CD 丄OA 于点D , 所以OC 为/ AOB 的平分线.

所以/ AOC = 30°

所以/ DCO = 60°

7. 14 点拨：设 BD = 9x , CD = 7x , 所以 9x + 7x = 32,解得 x = 2.

所以BD = 18, CD = 14.由于 AD 平分/ 则点D 到AB 的距离等于CD = 14.

& 120 °点拨：点O 到三边的距离相等, 所以点O 是三个内角的平分线的交点.

又因为/ A = 60°

??? BN 是/ ABC 的平分线，

??? PF = PG.

又???/ BDP + / BEP = 1 80° / ???/ BDP = / PEG.在^ PFD 和△ PGE 中,

2FD P =N GE P ,

—N P FD PGE,

PF =PG,

???△ PFD N PGE(AAS).

??? PD = PE.

10. 解：(1) ???/ C = 90° 是三条内角平分线的交点.

由角平分线的性质得 PE = PD ,进而可证^ PEO PDO ,得OE = OD ,

111 1

由三角形的面积公式得， 一X 6x + — X 8x + — X 10x = — X6x 8,

2 2 CE 丄OB 于点E ,且CD = CE ,

BAC 交BC 于点D ,

所以/ B + / C = 120° 所以/ BOC = 180°-60 9. 证明：如图，过点P 分别作 1 1

-/ B + 丄 / C = 60°

2

120PF 丄AB 于点F , PG 丄BC 于点G

,

PEG + / BEP = 180°

??? DC 丄

AC. ?/ AD 平分/ ??? DC = DE , 在 Rt △ DCF

BAC , DE 丄 AB ,

/ DEB = / C = 90°

与 RtA DEB 中，

「DF =DB,

?- q

[DC =DE,

??? Rt △ DCF 也 Rt △ DEB(HL).

??? CF = EB.

(2) AE = AF + BE. 理由如下：? AD 平分/ BAC ,

???/ CAD = / EAD.

又? AD = AD , / C =/ DEA = 90°

???△ ACDN AE D (AAS).

??? AC = AE.

由(1)知 BE = CF ,

??? AC = AF + CF = AF + BE.

??? AE = AF + BE.

11?解：方案：如图，⑴在射线 (2) 分别过点M , N 作OA , OB 的垂线，设交点为 P ;

(3) 连接OP ,贝y OP 就是/ AOB 的平分线.

理由：在 Rt △ OMP 和 Rt △ ONP 中，OM = ON , OP =OP , 所以 Rt △ OMP 也 Rt △ ONP(HL). 所以/ MOP =/ NOP.

12.证明：?/ BF 丄 AC , CE 丄AB ,

???/ BED = / CFD = 90° 在^ BDE 和^ CDF 中，

NBED =NCFD,

—NBDE =NCDF,

BD =CD,

???△ BDE ◎△ CDF (AAS).

??? DE = DF.

?/ BF 丄 AC , CE 丄 AB ,

???/ BAD = / CAD ，即点D 在/ BAC 的平分线上.

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C 下载后自己编辑修改删除文件 0A 上截取 0M 为一定的长度 a ,在0B 上截取 0N = a ；

A

123角的平分线的性质课后训练

课后训练 基础巩固 1.作/ AOB 的平分线OC ,合理的顺序是（ ）. ①作射线OC ;②以O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点D ，交OB 于点E ;③ 1 分别以点D , E 为圆心，大于 一DE 的长为半径画弧，两弧在/ AOB 内交于点C. 2 B .②①③ D .③②① ）. B .三条高的交点 D .三条内角平分线的交点 D , E ,下列结论错误的是（ ）. PD = PE OD = OE / DPO = / EPO PD = OD 7. 在△ ABC 中，/ C = 90° 9 : 7,则D 到AB 的距离为 _______ 8. 点O 是^ ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，/ A = 60 °则/ BOC 的度数为 A .①②③ C .②③① 2. 三角形中到三边距离相等的点是 （ A .三条边的垂直平分线的交点 C .三条中线的交点 3. 如图，/ 1 = / 2, A . B . C . D . 4.如图，在^ ABC 中，/ ACB = 90 ° B E 平分/ ABC , DE 丄AB 于点 那么AE + DE 等于( D ,如果 AC = 3 cm , A . 2 cm 5. 在.△ ABC 中， O E 丄AC 于点 E , O F 丄 AB 于点 F ，且 AB = 10 cm , BC = 8 cm , AC = 6 AB , AC , BC 的距离分别为( A . 2 cm,2 cm,2 c m C . 4 cm,4 cm,4 cm 能力提升 6. 如图所示，/ AOB = 60 ° B . / C = 90 °点O 为^ ABC 三条角平分线的■交点, D . 5 cm OD 丄BC 于点D , cm ,则点O 到三边 )? B . 3 cm,3 cm,3 cm D . 2 cm,3 cm,5 cm CD 丄OA 于点D , C E 丄OB 于点E ,且CD = CE ,则/ DCO AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D ，若 BC = 32,且 BD : CD = B 4 cm

123角平分线的性质巩固提高题(一)

12.3 角平分线的性质巩固提高题（一） 1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到 BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是． 2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE= = ． 3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则 ∠BPD= ． 4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线 AB、CD间的距离等于． 5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到 AB边的距离为( )． (A)18 (B)16 (c)14 (D)12 6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是( )． (A)TQ=PQ (B) ∠MQT=∠MQP (c) ∠QTN=900 (D) ∠NQT=∠MQT 7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角 的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理． 8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．

9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF． 10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB． (1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点； (2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

第12章《123角的平分线的性质》配套课件课时提升作业提技能_题

肓 最大最全最精的教育资源网 https://www.wendangku.net/doc/0b1554583.html, C.ABvAD+BC D.无法确定 温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合 适 的观看比例，答案解析附后。关闭Word 文档返回原板块。 提技能?题组训练 ■刘出迪组-角平分线的性质 1. 如图，/ POB h POA PE U 0A 于D, PEL 0B 于E ,下列结论错误的 是（） PD=OD ，错误. 2. 如图，/ C=Z D=90，若/ DAB 的角平分线AE 交CD 于点E ,连接 BE 且BE 恰好平分/ ABC 则AB 的长与AD+BC 的长的大小关系是 A.PD=PE B.OD=OE C. / DPO h EPO D.PD=OD B , C 都正确，选项 D ，根据已知不能推出 A. A B>AD+BC B. A B=AD+BC 0 【解析】选D.选项A ,

肓 最大最全最精的教育资源网 https://www.wendangku.net/doc/0b1554583.html, 90° , EC 二EF 二ED , AzBCE 幻启尸丘,△AEF 幻A ED , /BC=BF , AF=AD ,「AB 二AF+BF 二AD+BC. 【解析】选A.过点E 作EF 山D , ??DE 平分ZADC ，且E 是BC 的中点, /CE=EB=EF , 又/B=90 °，且AE=AE , ???△BE 坐A FE ,A /AB 二 /EAF. 又 T ￡ED=35 ° , C=90 ° , ???/DE=90 °-35 °55。，即/DA=110 ° , DAB=70 ? EAB=35 ° 3. 如图，在△ ABC 中, / B=90°, BC=4 /仁/2,则点C 到AE 的距 离是 ________ . z? ??BE , AE 分别为/ABC 和ZDAB 的角平分线，/ C= zD= 【变式训练】 在数学活动课上，小明提出这样一个 问题：如图, B=/ C=90 , ADC, CED=35 , )https://www.wendangku.net/doc/0b1554583.html, A.35 B.45 C.55 D.65 【解析】选B.过点E 作EF 1AB 于F , E 是BC 的中点，DE 平 则/ EAB 的度数是

初中数学人教版八年级上册《123角的平分线的性质》教案

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质教学设计

ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是多少？ 课件展示证明过程。 【过渡】通过刚刚的练习，希望大家能够牢记角的平分线的性质在应用时需要满足的条件。【过渡】在了解了角的平分线的性质之后，我们就会有这样的疑问，将性质反过来是否同样成立呢？ 我们先来看课本思考的内容。 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20 000） 【过渡】看到这个问题，我们自然就会想到角的平分线上的点到两边的距离相等。那么这个市场必然是在角的平分线上。但是在实际上，我们不可能真的能够画出平分线，然后再选择地点。这样大家就会去想如果我选择一点，到公路和铁路的距离相等，那么它是不是在角平分线上呢？我们一起通过数学语言来证明一下这个想法是否正确。 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上。 课件展示。

【过渡】通过证明，我们得到了我们想要的结论，而这个也角的平分线的性质的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 【过渡】通过这个逆定理，我们可以去判断是否是角的平分线。 学习了角的平分线的性质及判定之后，我们一起来看课本的例题。 课件展示过程。 【过渡】这个例题的结论告诉我们一个事实： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。 这个也是很有用的结论，希望大家能牢记。【知识巩固】 1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD 是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知 AC=6cm，则BD+DE的和为（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 2、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR； ②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）

角平分线基本性质及简单应用

角平分线基本性质及简单应用 角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理） 逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结： （1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折） 一、基本性质及简单应用 例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ， 则下列结论中，不正确的是（ ） A. TQ=PQ B. ∠MQT=∠MQP C.∠QTN=900 D. ∠NQT=∠MQT 例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥. 求证：PN PM =. 例3．如图，已知：在ABC ?中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE ∠的平分线上. 例4. D 是ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F. 求证：.CF BE EF -= 例5.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC. （1）求证：OB=OC; (2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由. M N P Q T F A A E D B C A B C E D O C E F D B A

八年级数学《12.3_角的平分线的性质》基础练习测试

必刷题《12.3 角的平分线的性质》刷基础 知识点一角平分线的做法 1. [2020河北张家口期末]作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在∠AOB的内部相交于一点，则这个适当的长度（） A.大于1 2 CD B.等于1 2 CD C.小于1 2 CD D.以上都不对 2.分别画出已知钝角和平角∠AOB的平分线. 知识点二角平分线的性质 3. [2020辽宁营口期末，中]如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB 交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DBE的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

4. [2019四川成都校级期中]如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC=6，DE=2，则△BCE的面积等于( ) A.6 B.8 C.9 D.18 5. 如图，△ABC中，∠B=30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为. 6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=6 cm，AC=8 cm，则BD:CD= . 7. [2020吉林长春期末]如图，OD平分∠AOB，OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD 于点M，PN⊥AD于点N，求证：PM=PN.

8. [2020吉林长春月考，中]证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”.要求根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证. 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证: . 请你补全已知和求证，并写出证明过程. 知识点三角平分线的判定 9.[2019福建漳州期末]如图所示是一块三角形的草坪现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在( ) A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.以上均不正确 10.[2020山东临沂平邑期中]如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC=( ) A.120° B.125° C.130° D.140°

人教版八年级上册123角平分线的性质教案

角的平分线的性质（一） 教学目标 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点 利用尺规作已知角的平分线． 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼． 教学过程 Ⅰ．知识回顾 问题1：三角形中有哪些重要线段． 问题2：你能作出这些线段吗？ Ⅱ．合作探究 思考：右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够 在△ABC和△ADC．因为 所以△ABC≌△ADC（SSS）． 所以∠CAD=∠CAB． 即射线AC就是∠DAB的平分线． 这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平 分线的方法。 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C． （3）作射线OC，射线OC即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？ 总结： 1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线． 2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB?的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，?否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了． 3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，?所以第二步中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 思考 如图，任意画一角∠BAC，做出∠BAC的角平分线AP，在AP上任取一点O，过点O画出OA,OB的垂线，分别记垂足为E,D。测量OE,OD并作比较，你得到什么结论？在OP上再取几个点试试。 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ P Ⅲ.课堂精讲 我们猜想角的平分线有以下性质： 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 下面，我们利用三角形全等证明这个性质。首先，要先分清其中的“已知”和“求证”。显然，已知为一的点在一个角的平分线上，要

人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质教案

12.3角平分线的性质 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重点难点 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB． 求法：∠AOB的平分线． 作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N

为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC?即为所求（课本图11．3─2）． 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4） 求证：PD=PE ． 证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， ∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE 【归纳如下】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流． 三、情境合一，优化思维 【问题思索】（投影显示） 如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，?离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 1 2 ,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠??∠=∠??=?

123角的平分线的性质-黑龙江省大兴安岭塔河县第三中学校八年级数学上册教学实录

《角的平分线的性质》 ——教学实录 师：在七年级时我们学过角的平分线，请同学们回忆一下什么是角的平分线呢？ 生（周紫薇）：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。师：我们是如何做出一个角的平分线的呢？（学生：用量角器）现在老师做一个∠AOB，谁能用量角器做出它的平分线呢？（学生画图） 师：什么是点到直线的距离呢？ 生（安洋）：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 师：那么角平分线上的点到角两边的距离有什么关系？今天这节课我们就来研究《角的平分线的性质》这一节的内容。（板书课题）请同学们看大屏幕了解一下这节课的学习目标（大屏播放）。请同学们大声朗读一遍。我们已经对这部分知识进行了预习，相信同学们已经有了一定的了解。下面请各小组交流一下你们在预习中遇到的疑难问题。 （学生活动：各小组交流（一）预习导学答案（二）交流反馈2、3问题） 师：刚才我们每个小组交流的都很认真，下面老师想要考察一下你们自学及合作的效果如何，我要分配给各小组一个学习任务，做为你们学习效果的一个展示，看哪一组最棒？最后我们要评选出优胜组给每位组员加5分的奖励哦！ 分配任务：请同学们看导学稿第二部分交流反馈内容： 第一小组完成第2个问题（如何画一个已知角的平分线） 第二小组完成第2个问题（如何画一个已知角的平分线） 第三小组完成第3个问题中（探究角的平分线的性质——测量法） 第四小组完成第3个问题中（探究角的平分线的性质——折纸法） 第五小组完成第3个问题中（探究角的平分线的性质——证明法） 有需要小黑板的到前面来取 （学生活动：分发小黑板，一边研究一边展示在小黑板上） 师：各小组研究的内容都已经出成果了，下面我们就来展示一下你们的研究成果。 第一小组： 生（王蕊）：我们小组将要给大家讲解的是如何用尺规作图的方法作一个已知角 小黑板展示的内容： 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：作图： 1

角平分线性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少

第三部分：典型例题 例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由． 2 1 N P F C B A

（3）CD、AB、AD间直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积． 【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》第二课时参考教案

§12．3 角的平分线的性质（二） 教学目标 （一）教学知识点：角的平分线的性质 （二）能力训练要求 1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． （三）情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：角平分线的性质及其应用． 教学难点：灵活应用两个性质解决问题． 教学方法：探索、归纳的方法． 教学过程 一．创设情境，引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 二．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 操作： 1．折出如图所示的折痕PD、PE． 2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．

问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 问题2：（出示投影片） 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表： 学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 【师】如何证明？请同学们试一试。 证明：略（详见课本P49页）。 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

角平分线性质经典习题

角平分线的性质及其逆定理 同步练习 ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ；⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90o，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，BC =6，CD =3，AE =4，则DE =_______，AD =_______，△ABC 的周长是_______． 3. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB 是一个任意角，在边O A ，OB 上分别取OM =ON ，再分别过M 、N 作 OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分 线的方法，并说明这种做法的道理． 4. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置． 答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置． 5. 如图，△ABC 中，∠C =90o，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，DE =21 BD ， 且DE =1.5cm ，则AC 等于（ ） A ．3cm B ．7.5cm C ．6cm D ．4.5cm 6. 如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上． 7. 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ． 求证：（1）AD =CD ；（2）∠ADB =∠CDB ． A B C D E B C D E A A B C D E P A B C P D E M N Q A B C D P

角的平分线的性质

角的平分线的性质(1) 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重、难点与关键 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 3．?关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1?）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】

请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB ． 求法：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC?即为所求（课本图11．3─2）． 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图12．3─3，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4） 求证：PD=PE ． 证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， 1 2

角平分线性质经典习题

角平分线性质 1、如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求AB与 CD之间的距离 A B E O D 2、如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长 A E D B C 3、如图，AE平分∠BAC，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD C E D A B 4、如图，OA平分∠BAC，OB=OC，求证：AB=AC A O C 5、如图，已知∠ACB=∠DEB=90°，BD平分∠ABC，ED的延长线交BC的延长线于点F，求证：AE=CF A E D B C F 6、如图，l1、l2、l3是三条两两相交的笔直公路，先欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有处。（画出来） l1 l2 l3 7、如图，O到△ABC的三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠A=70°，求∠BOC

A F O E B D C 8、如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线。 A E F B D C 9、如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC B E D A E C 10、已知△ABC的两个外角的平分线相交于点P，连接BP，求证：BP是∠ABC的平分线 A P B C 11、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA=90° D C M A B 12、如图，已知∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：AD平分∠BAE A B D E C

12.3《角的平分线的性质》教学设计(公开课)

《角的平分线的性质》教学设计 一、教材分析： 本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等. 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用．因此本节课在教材中占有非常重要的地位. 二、学情分析： 八年级的学生已经具备基础的几何语言，有一定的推理能力，好奇心强，有探究的欲望，能在教师的引导下发现生活中的数学知识，并运用所学推出新知。但他们思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强和引导。 三、教学目标： （1）知识与技能目标：掌握用尺规画已知角的平分线的方法，掌握角平分线的性质、及初步应用。 （2）过程与方法目标：提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力，了解角的平分线的性质在生活中的应用，在探索角的平分线的性质中培养几何直觉与抽象概括能力。 （3）情感态度价值观目标：在探讨角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。 四、教学重点： 探索并证明角的平分线的性质。 五、教学难点： 证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质；角平分线的性质定理的应用。 六、课型： 新授课。 七、教学方法： 自主探索，合作交流。 八、教学准备： 多媒体课件，圆规。 九、教学过程： （一）创设情景，提出问题 如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB 的角平分线，你知道其中的道理吗？ 师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课． （二）合作探究，形成知识 问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？ 师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题． 追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？

12.3 角的平分线的性质(第二课时)

课题：12.3角的平分线的性质（第二课时） 学习内容：教材P21，通过独立思考和小组合作，能够证明几何命题。 学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤 2、进一步理解角平分线的性质及运用 学习重点：角平分线的性质及运用 学习难点：角平分线的性质的灵活运用 学习方法：探究、交流、练习 学习过程： 一、课前巩固 1、画出三角形三个内角的平分线 你发现了什么特点吗？ 2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等 二、学习新知 （一）思考：教材P21 证明一个几何命题的一般步骤： ①；②；③。（二）应用： 1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

2、如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？ （2．比例尺为1：20000是什么意思？ 三、基础练习 1.到角的两边距离相等的点在上。 2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（） A.三条边上的高线的交点； B. 三个内角平分线的交点； C.三条边上的中线的交点； D.以上结论都不对。 3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是。 4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点 O，OB＝OC，

求证 : ∠BAO=∠CAO 四、拓展延伸 已知:BD ⊥AM 于点D,CE ⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF, 求证:点F 在∠A 的平分线上. 五、课堂小结 六、当堂检测 1、图中的直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ， 求证：DF ＝EF D N E B F M C A

123角的平分线的性质

角平分线的性质 （2016-2017二十八中期中）如图，AD是ΔABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（A）ΔA. 3 B. 4 C.5 D.6 的ADCBAD、∠CD,AD∥BC,且∠中，（2016秋百树中学期中）如图，四边形ABCDAB∥C）AB=5,则AD的长为（BC分别交于点E、F.若EF=2，角平分线AE、DFD. 9 C. 8 B. 6 A. 7 ABCRt?，于点D交°，BD平分∠（2016秋百树中学期中）如图在，ABCAC中，∠A=90ABC? . ，则，BC=6 6 的面积是AD=2

CD=2,AB=6,若BC平分∠BAC交于点D,AD中，在（2016秋育华期中）Rt△ABC∠C=90°， 6 则△ABD的面积是 . A=∠C=90°中，∠已知，在四边形2016（秋育华期中）ABCD °；ADC=180∠ABC+）求证：∠1（． ；⊥ABC的外角，求证DEBF1，若DE平分∠ADC，BF平分∠（2）如图的位置关系，并BFABC 的外角，写出DE与2，若DE、BF分别平分∠ADC、∠（3）如图 加以证明。 C=90゜，证明：（1）∵∠A=∠ ゜；°-∠A-∠C=180ADC=360∴在四边形ABCD中，∠ABC+∠ ．（2）DE⊥BF ，DE交BF于G延长∠ADC=180°，∠ABC+CBM=180°，∵∠ABC+∠∴∠ADC=∠CBM，，BF平分∠ABC外角，∵DE平分∠ADC EBF=?∠CBM，∴∠CDE=?∠ADC，∠CDE=．∠EBF∴∠，∠BEG∵∠DEC= ゜，∠C=90∴∠EGB= BF．∴DE⊥ BF，（3）DE∥，BD连接°，∵∠ABC+∠ADC=180 ゜，∴∠NDC+∠MBC=180 分别平分∠ABC、∠ADC的外角，BF∵、DE EDC+∠CBF=90゜，∴∠゜，∠FBC=180EDC+∴∠∠CDB+∠CBD+ BF∴DE∥．

角平分线的性质

角的平分线的性质说课稿 孙启军 尊敬的各位评委、老师，大家好！ 今天，我说课的题目是《角的平分线的性质》第一课时，下面，我从教材分析、教学内容、教学目标、学情分析、教法与学法、教学过程的设计等六个方面对我的教学设计加以说明． 一、教材分析 本节课选自新人教版教材《数学》八年级上册第十一章第三节，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．二．教学内容 本节课的教学内容包括角的平分线的作法、角的平分线的性质及初步应用． 内容解析： 教材通过充分利用现实生活中的实物原型，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力．作角的平分线是几何作图中的基本作图．角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，也是今后证明两个角相等或证明两条线段相等的重要依据．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用． 三、教学目标

1、基本知识：了解尺规作图的原理及角的平分线的性质. 2、基本技能 （1）会用尺规作图作角的平分线。 （2）会利用全等三角形证明角平分线的性质。 （3）能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题 3、数学思想方法：从特殊到一般 4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验 目标解析： 通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情. 四、学情分析 刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学重点定为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是角平分线的性质的探究 教学难点突破方法： （1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；