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小学奥数公因数和公倍数教学文稿

第三讲：公因数和公倍数

一、公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。

例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12

18的约数有：1,2,3,6,9,18

12和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6

1．求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812

39632

，所以(12,18)236=?=；

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．

2．最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．

二、公倍数的概念与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84...

18的倍数有：18,36,54,72,90...

12和18的公倍数有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36

1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

知识点拨

例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=；

②短除法求最小公倍数；例如：21812

39632

，所以[]18,12233236=???=；

③[,](,)

a b a b a b ?=

． 2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A B ma mb m mab ?=?=?，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．

2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ?=?，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：567210??=，210就是567的最小公倍数

b )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：678336??=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

【例 1】两根电线分别长24m 和16m ，现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的小段最长可以

是多少米？

例题精讲

【巩固】求12和18的最大公因数。

【例 2】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4和20 6和36 7和8 6和19

【巩固】说出下面各组数的最大公因数。

4和16 15和22

【例 3】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

【例 4】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？

【例 5】一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？

【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁几块？

【例 6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）

【巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。

【例 7】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

【巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？

【例 8】求21672和11352的最小公倍数。

【例 9】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．

(完整版)最大公因数与最小公倍数应用题(能力训练)

最大公因数与最小公倍数应用题（能力训练）姓名：等级： 1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？ 2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？ 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，此数最小是几？ 4、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？ 5、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？ 6、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？ 7、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，每盘最多可以装多少个？每个盘子里苹果和梨各多少？

8、火车北站是280路和133路汽车的起点站。280路汽车每3分钟发车一次，133路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？ 9、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？ 10、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘子里最少有多少个水果？ 11、有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？ 12、两个整数的最小公倍数为140，最大公因数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。 13、已知A与B的最大公因数为6，最小公倍数为84，且A=42，求B？ 14、两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180，且这两个数不是倍数，求这两个数？

小学奥数最小公倍数精选题

第九讲最小公倍数（一）【专题导引】几个数公有的倍数叫做公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时。[a、b]=a×b。两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的乘积即（a、b）×[a、b]=a×b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。【典型例题】【例1】两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少【试一试】 1、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少 2、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少【例2】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少【试一试】 1、求36和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。

2、已知两数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。【例3】甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会【试一试】 1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车 2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒，问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发【例4】一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块【试一试】 1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块

公倍数公因数解决问题(20201111133751)

五年级应用题解题技能训练公因数公倍数解决实际问题练习卷姓名：一.基本训练:1.求下列每组数的最大公因数和最小公倍数 20和45 25和30 2、甲乙两数的最大公因数是10，最小公倍数是60，如果甲数是20，( ) 3、甲乙两数的积是200，甲乙两数的最小公倍数是40，最大公因数是( ) 想想在什么情况下用到这些知识? 二.实际应用 A 1、把20厘米、16厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？ 2、6、事假期间，小华和小芳都去参加游泳训练，小华每3天去一次，小芳每7天去一次。今天两人都参加了游泳训练后，至少多少天后再一起参加训练？注意:一般在什么情况下用到最大公因数? 什么情况下用到最小公倍数? B深化训练 1.有两根木棒，分别长24分米和30分米，现在要把它们截成相等的小段且没有剩余，截成的每根小棒尽可能最长，一共可以截成几段？ 2、学生参加广播操表演进行分组，按每组8人或每组10人，都能恰好分成整数组，参加广播操表演的至少多少人？ 3.把长24厘米、宽16厘米的长方形分成大小完全相同的正方形且没有剩余，如果正方形要尽可能大，能分成多少个正方形？ 4、把若干个长20厘米、宽30厘米的长方形拼成一个正方形，至少需要多少个这样的长方形？ 5、一块瓷砖长12厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面，这个正方形地面的边长至少是多少厘米？面积是多少？

动动脑筋，相信你会很棒!(测一测) 1.五年级共七十多人外出参观，分8人一组或12人一组都正好分完，五年级共有多少学生？ 2、一包糖，平均分给3人余一块，平均分给5人也余一块。这包糖至少多少块？ 3、一盒铅笔，4枝一捆则少2枝，6枝一捆也少2枝。这盒铅笔至少多少枝？ 4、某幼儿园大班有35人，中班有40人，小班有45人。按班分组三个班的每组人数一样多，问每组最多有多少个小朋友？ 5、把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块，这个组最多有几位同学？ 6、有35只苹果和30个梨，平均分给舞蹈队的小朋友，结果苹果多3只，梨多6只，舞蹈队最多有几位小朋友？ 7、有一个筐中装有香蕉24只和橘子35只，现在将它们分给小朋友，最后正好把香蕉分完，而橘子还少1个，最多分给多少位小朋友？ 8、用51多红花和34朵白花做成花束，如果每束里的红花朵数相同，白花朵数也相同，最多可以做成多少束？每束花里最少有多少朵？ ※9、阿凡提的故事：从前有个长工，在巴依老爷家干了一年也没有拿到一个铜板。长工们于是自发地组织了起来并邀请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说：“工资我可以给你，不过我的钱都在我的账房先生那里。从八月一日起，我要连续出去收账3天才休息一天，我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天，你们就在我们两人同时休息的时候来吧。我肯定给钱。”阿凡提动了动脑筋，便带长工们离开了。到了某天，他真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。请大家想一想，阿凡提是哪天去巴依老爷家的？他用的是什么办法找到这个日期的？你准备如何解决这个问题？

公倍数、公因数的应用题讲解和练习

公倍数、公因数的应用题讲解和练习有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即：（325、175、75）=25（厘米）因为325÷25=13 175÷25=7 75÷25=3 所以13×7×3=273（个）答：能分为小立方体273个，小立方体的每条棱长为25厘米。 2、有一个两位数，除50余2，除60余3，除73余1。求这个两位数是多少？解：这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。也就是说，这个两位数是48的约数。同理，这个两位数也是60、72的约数。所以，这个两位数只可能是48、60、72的公约数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公约数12，即（48、60、72）=12。答：这个两位数是12。 3、张老师利用晚上时间给甲、乙、丙三个学生补课，至少经过多少天又在一起补课？分析：经过多少天三人又一起补课？这个天数一定是4的倍数、5的倍数和8的倍数，即4、5和8的公倍数。因为问至少经过多少天，所以应经过4、5和8的最小公倍数。解：（4、5、8）=40（天）答：经过40天三人又在一起补课。 1、有一堆西瓜与一堆木瓜，分别为24个与36个，将其各分成若干小堆，各小堆的个数要相等，则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小堆？ 2、甲、乙两队学生，甲队有121人，乙队有143人，各分成若干组，各组人数要相等，则每组最多有几人？这时候甲队可分成多少组？乙队可分成多少组？ 3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多，则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？ 4、把一张长30厘米，宽24厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余，裁成

五年级奥数--最小公倍数与最大公因数

最大公因数（约数）与最小公倍数（2）专题分析：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）×[a，b]=a×b。例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。例2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。例3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。例4、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？例5、一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？

例6、有甲、乙、丙三种溶液，分别重614千克、433千克、9 22千克。现在要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？练习 1、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。 2、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？ 3、两个数的积为5766,且它们的最大公因数为30,那么这两个数各为多少? 4、以知A 数为24,A 与B 的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B 数为多少? 5、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,求这个班有多少人? 6、两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,那么这两数的和为多少? 7、有一批砖,长45厘米,宽为30厘米,至少用这样的砖多少块,才能铺成一个正方型?

(完整版)最大公因数与最小公倍数应用题练习

1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？解：【8，10】=40 2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？解：【8，10】=40（人） 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？解：【2，3，4，6】=12 12-1=11 4、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？解：【3，4，6，8】=24（人） 24×2=48（人） 5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？解：【6，4】=12（公分） 12×12=144（CM2) 6、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？解：【8，9，10】=360 360+3=363kg 7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？解：【7，8】=56（人） 56-2=54（人） 8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？解：37-1=36（本） 38+2=40（本）（36，40）=4（人） 9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？解：（24，32）=8（盘） 24÷8=3（个） 32÷8=4（个）

10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？解：【3，5】=15（分钟） 11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？解：【6，8，9】=72（人） 12、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘子里最少有多少个水果？解：【3，4，5】=60 60-1=59 13、有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午 12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？解：【9，60】=180（分钟） 80÷60=3（小时）=下午3点14、数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？解：（24，20）=4（组） 24÷4=8（个） 20÷4=5（个）15、有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？解：38-3=35（本） 41+1=42（本）（35，42）=7（人） 16、两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。解：140÷4=35 35=5×7 4×5=20 4×7=35 17、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A=42，求B？解：AB=6×84=504 B=AB÷A=504÷42=12 18、两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180，且这两个数不是倍数，求这两个数？

小学奥数之最大公约数和最小公倍数

小学奥数之最大公约数和最小公倍数1．两个自然数的最小公倍数是180，最大公约数是12，并且小数不能整除大数。求这两个数。 2．能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？ 3．三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去借一次，乙4天去一次，丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？ 4．小佳的储蓄筒里存有二分和五分的硬币，他把这些硬币

倒出来，估计有五、六元钱。小佳把这些硬币分成钱数相等的两堆，第一堆中二分硬币和五分硬币的个数相等；第二堆中二分硬币和五分硬币的钱数相等。你知道小佳存了多少钱吗？ 5．某班学生列队，如果每排3人，就多出1人；如果每排5人，就多出3人；如果每排7人，就多出2人。问：这个班至少有多少人？ 6．已知A，B两个数的最大公约数是12，最小公倍数为72，A=36，求B=？ 7．两个自然数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公

倍数是144。这两个数各是多少？ 8．有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，咖上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数。这种自然数除1以外，最小的数是多少？ 9．有一批砖，长45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖多少块才能铺成一个实心的正方形？ 10．现有语文本42本，数学本112本，外语本70本，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？

11．从运动场的一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗（两个端点各插一面旗）。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问：可以不拔出来的小红旗有多少面？ 12．有四个自然数A，B，C，D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。这四个自然数的和是多少？ 13．甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分，乙跑完一圈要1分15秒。现在三人同时同地出发，几分后，三人又在出发地相会？这时他们各跑了几圈？

最小公倍数和最大公因数的应用题归纳教程文件

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽 1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1 株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数 3、两端都不栽间隔个数=株数＋1 株数=间隔个数－1 距离=一个间隔的长度×间隔个数

间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4 备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目 1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？ 2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？ 3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？ 4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。至少要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体？此时，大的正方体的棱长是多少厘米？ 5、一路车5分钟发一次车，二路车6分钟发一次车，他们现在同时发车，至少要多少时间再次同

用最大公因数或最小公倍数解决问题的题目

用最大公因数或最小公倍数解决问题的题目班级姓名一. 填空题 1. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 2. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。 3. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最小是（）。 4. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 5. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 6. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。二. 判断题 1. 互质的两个数必定都是质数。（） 2. 两个不同的奇数一定是互质数。（） 3. 最小的质数是所有偶数的最大公因数。（） 4. 有公因数1的两个数，一定是互质数。（） 5. a是质数，b也是质数， ab一定是质数。（）三. 直接写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 26和13 13和6 4和6 5和9

29和87 30和15 13、26和52 2、3和7 四. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数） 45和60 36和60 27和72 76和80 42、105和56 24、36和48 五、明明用一些长6分米、宽4分米的长方形纸板拼成了一个正方形，正方形的边长至少是多少？要用多少块小长方形纸板？六、贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板裁成若干个边长是整分米数的小正方形，小正方形的边长最大是多少？可以裁成多

少块？七、有一些长15厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体积木，用它们拼一个大正方体，正方体的棱长最小是多少？至少要用多少块积木？八、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都可以，上体育课的至少有多少人？九、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都少 1人，上体育课的至少有多少人？十、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她们都去了敬老院，并约定以后贝贝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。（1）两人下一次在敬老院相遇是几月几日？（2）从7月7日到8月底，她们一起去敬老院的日子有几次？

五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学

五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1,a2,…,a n的最大公约数通常用符号（a1,a2,…,a n）表示,例如,（8,12）=4,（6,9,15）=3。如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1,a2,…,a n的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,a n]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5（元）。为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求数是（48,36,84）=12。例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图）,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30,24）=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）

五年级奥数最小公倍数

二、最小公倍数（一）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积即（a、b）×[a、b]= a×b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少分析根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。 1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少 2、两个数的最大公约数是12、最小公倍数是60，求这两个数的和是多少 3、两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a 和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。挑战自我例题2 例题1 专题简析：

最大公约数和最小公倍数奥数

最大公约数和最小公倍数例1、一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？【思路导航】2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。（270,18,15）=3 3 厘米=0.3 分米答：正方体的棱长最大是0.3分米。练习1、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？练习2、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？例2、一个数除200余4,除300余6,除500余10。求这个数最大是多少？【思路导航】200-4=196，300-6=294，500-10=490； 196、294和490都是这个数的倍数。 196=2 X 2X 7X 7 294=2 X 3X 7X 7 490=2 X 5X 7X 7 贝U 196、294和490的最大公因数是：2X 7X 7=98。答：这个数最大是98。练习1、一个数除425余5,除500少4,除300余6,这个数最大是多少？练习2、如果把110本练习本平均分给五（1）班同学，则多5本；如果把210 本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240本练习本平均分给这班同学，还少5本，五（1）班最多有多少名同学？例3、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？【思路导航】因为要在甲、乙，乙、丙两村的中点栽上树，甲、乙，乙、丙两村距离的一半分别是360- 2=180 （米），675- 2=337.5 （米）；因为360与675的最大公因数为45,且360- 2=180 675-2=337.5，所以180与337.5的最大公因数为45十2=22.5 , 也就是说相邻两棵树之间的最大距离是22.5米。答：相邻两棵树之间的距离最多是22.5米。练习1、一条公路由A经B到C.已知A、B相距300米,B、C相距200米.现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB BC的中点上都要植一棵,那么两树间的距离最多有多少米练习2、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？例4、已知两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？

小学五年级公因数公倍数应用题

1.有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？ 2.数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？ 3.有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？ 4.有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？ 5.阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？ 6.中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？ 7.五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一

组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？ 8.有一个数，用4、5、6去除，都能整除，这个数最小是多少？一些小朋友做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少多少名小朋友做游戏？一间浴室长1.8米，宽1.44米。现在要给浴室地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？有一袋水果糖，8块8块数多5块;6块6块数多3块；4块4块数多1块。这代水果糖最少有多少块？一个数被3除余1，被6除余4，被8除余6。这个数最小是几？王老师买回一些练习本，如果平均分给5个班则多出3本，如果平均分给6个班则多出4本。已知这些练习本在80——100本之间，你知道王老师买了多少本练习本？工人师傅买了一块长方体木块，体积是693立方分米，只知道它的长、宽、高分别相差2分米，你能求出长、宽、高各是多少分米吗？

五年级奥数第四讲最大公因数和最小公倍数

北外启航五年级春季班数学第四讲最大公因数和最小公倍数教学目标： 1.熟练掌握求最大公因数及最小公倍数的方法。 2.能运用最大公因数和最小公倍数的知识正确解答有关的问题。知识点拨： 1.公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b）。求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和短除法等方法。 2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。我们可以把自然数a、b的最小公倍数记作〔a、b〕。 3.互质数如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b 经典例题：例1.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和12 90和45 42和70 39和65 例2.一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，请你把它锯成同样大小的正方体木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩。算一算可以锯成几块？

例3. 用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？例4. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数的和是多少？例5. 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？例6.有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？巩固练习： 1.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

五年级奥数第27讲最小公倍数(二)

例题2 有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？练习二 1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？ 2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？例题3 一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

最大公因数与最小公倍数的应用题复习过程

最大公因数与最小公倍数的应用题 1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？ 2、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？ 3、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？ 4、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？ 5、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？ 6、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？ 7、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？

8、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？ 9、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？ 10、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？ 11、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？ 12、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘子里最少有多少个水果？ 13、有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？ 14、数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至

用最大公因数或最小公倍数解决问题

用最大公因数或最小公倍数解决问题的题目一. 填空题 1. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 2. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。 3. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最小是（）。 4. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 5. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 6. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。二. 判断题 1. 互质的两个数必定都是质数。（） 2. 两个不同的奇数一定是互质数。（） 3. 最小的质数是所有偶数的最大公因数。（） 4. 有公因数1的两个数，一定是互质数。（） 5. a是质数，b也是质数， ab一定是质数。（）三. 直接写出每组数的最大公因数和最小公倍数。 26和13 13和6 4和6 5和9

29和87 30和15 13、26和52 2、3和7 四. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（三个数的只求最小公倍数） 45和 60 36和60 27和 72 76和80 42、105和56 24、36和48 五、明明用一些长6分米、宽4分米的长方形纸板拼成了一个正方形，

正方形的边长至少是多少？要用多少块小长方形纸板？六、贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板裁成若干个边长是整分米数的小正方形，小正方形的边长最大是多少？可以裁成多少块？七、有一些长15厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体积木，用它们拼一个大正方体，正方体的棱长最小是多少？至少要用多少块积木？八、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都可以，上体育课的至少有多少人？九、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都少 1人，上体育课的至少有多少人？十、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她们都去了敬老院，并约定以后贝贝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。（1）两人下一次在敬老院相遇是几月几日？（2）从7月7日到8月底，她们一起去敬老院的日子有几次？

小学奥数专题最小公倍数

小学奥数专题最小公倍数集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

第27讲最小公倍数（二）一、专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。二、精讲精练例题1有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？练习一 1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？ 2、一个数能被 3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？例题2有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？练习二 1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？ 2、有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？例题3一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

练习三 1、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。 2、五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？例题4从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？练习四 1、插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？ 2、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？例题5在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？练习五 1、用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？ 2、父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印？