平面向量的几何意义

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

平面向量易错题解析汇报

平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

平面向量数乘运算及其意义试题

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向

是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b =u u u r ，则 EF u u u r = （ ） A ．1()2 a b + B ．1()2 a b -+ C ．1()2 a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），

则AP u u u r = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．().AB B C λλ+∈u u u r u u u r C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ． ().(0,2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．

高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的

平面向量的概念教案

1 平面向量基本概念 教学目标 1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在 图形中辨认相等向量和共线向量. 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两 个要素及向量可以平移的特点. 教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 教学难点：向量的含义. 教学过程 （一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？ 结果 原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？ （二）概念形成 观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法 思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段， 记作AB .(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB 为a . 练习. 如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达 B 地，小船的位移如何表示？（用1cm 表示5海里） （三）理性提升 3.向量的模 向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||. 强调：数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

平面向量系列之几何意义法

平面向量系列 几何意义法解题 一、 平面向量的几何意义 ? 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。 ? 首指向尾首尾相连，?+ ? 指向被减向量共起点，?- ? b a b t a b t a ⊥?-=+|||| ? 即矩形形对角线相等的平行四边，?-=+|||| ? 即菱形 四边形对角线互相垂直的平行，?=-+0))(( 二、例题精析 例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知,是非零向量，则下列条件中,夹角等于0 120的是（ ） A 、||||-=+ B 、 ||||||-== C 、||||||+== D 、 ||2||||=-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为090；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为060；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为060的补角，即为0120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为090。故选C 。 例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足 |,2|||-+=-则ABC ?一定是（ ） A 、等腰直角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 【解析】：|,2|||-+=-||||||+=-+-=?，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ?一定是直角三角形，选B 。

平面向量的几何意义及线性运算

龙文教育一对一个性化辅导教案

课前练习 如图所示为函数)2 , 0)(sin(2)(f π?π ω?ω≤≤>+=x x 的部分图像,A,B 两点之间的距离 为5,且f （1）=0，则f(-1)=( ) 函数)3 2sin(y π + =x 的图像经下列怎样的平移后所得的图像关于)0,12 - (π 中心对称( ) 要得到函数)4 2 ( cos y π- =x 的图像,只需将函数2 sin y x =的图像上所有点( ) 如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） 知识点一：向量的几何表示 有向线段：带有方向的线段叫有向线段 有向线段三要素：起点、方向、长度

向量可以用有向线段表示，向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；零向量：长度为0的向量，记作0 单位向量：长度等于1个单位的向量 书写注意：如果是大写字母就写成“AB”,从头指向尾；如果是小写字母就只用一个字母“a”注意：向量是由方向有长度，必备两个条件，少一都不算是向量 例：下列关于向量的命题，正确的是（） 变：下列说法中，正确的个数有（） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 知识点二：相等向量与共线向量的区别 相等向量：长度相等且方向相同的向量； 字母表示：a=b 平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行 共线向量：向量之间是平行的（斜率的绝对值相同），方向可以相同可以相反，长度可以相等也可以不等 说明： 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； 2）零向量与零向量相等； 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 4）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 5）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

新教材人教版高中数学必修第二册 6.1 平面向量的概念

6．1 平面向量的概念 考点 学习目标 核心素养 平面向量的相关概念 了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念 数学抽象 平面向量的几何表示 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 数学抽象 相等向量与共线向量 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？ 4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA → 是相等向量吗？ 1．向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度． ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB → ． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB → |. (3)向量的表示

■名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB → 的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点． 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB → |． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b . 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量AB →与向量BA → 是相等向量．( ) (6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )

平面向量的数量积及其几何意义

课型: 新授课 主备人:邱璐璐 审核人:许志强 审批:臧书华 一、学习目标： 1.预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。 2.了解向量的模、夹角等公式。 二、自学探究： 1.平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 ,则a ·= 这就是说, 2.平面向量的夹角,模 (1)设a =(x,y),22y x +=,︱a ︱= (2)设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), a = = ; ︱a ︱= (3) 设a ,都是非零向量, a =(x 1,y 1), =(x 2,y 2), θ是两向量的夹角, 则cos θ = = 若a ⊥b 则cos θ = 设),(11y x a =，),(22y x =，则⊥ ? 三、预习自测: 1.已知a =(-3,4), b =(5,2),求︱a ︱,︱b ︱, a ·b

课型: 新授课 主备人: 邱璐璐 审核人:许志强 审批:臧书华 例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状, 并给出证明. 变式:求与向量a b =(1, )的夹角相等 c 的坐标 例2.设a =(5,-7), b =(-6,-4),求a · 及a ,b 的夹角θ(精确到1°) 变式:已知三角形三顶点坐标为A(1,0),B(0,1),C(2,5) 求(1)2 AB →+ AC → 的模 (2) co s ∠BAC (3)试判断△ABC 的形状

课堂评价练习 1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), △ABC的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 2.已知a=(x,2), =(-3,5),且它们的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( ) a=3,4垂直的单位向量是__________ 3.() 4.已知a=(1,2)b=(1,2),则︱a+b︱= 5. a=(4,-3), ︱b︱=1,a·b=5,则的坐标为 6.

《平面向量的加法及其几何意义》教学案例

《平面向量的加法及其几何意义》教学案例 《向量的加法运算及其几何意义》选自数学（基础模块）下册7.1.2节，内容包括向量加法的三角形法则、平行四边形法则及应用，向量加法的运算律及应用。本节课是学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课,通过类比数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模的思想。向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算。由以上分析，我得出这样的认识，本节课教学内容应该是关于向量的理论知识体系中，比较靠前的、起到承上启下作用的一个知识环节。 二、教学目标与重点、难点 根据以上对教材和教学对象的分析，我确定与之相适应的教学目标、重点和难点如下： 知识目标： ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，学会求作两个向量的和； ③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算； 能力目标： ①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线， 哪些向量是已知向量的和向量等等； ②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量，或将一个向量拆分为两 个（或多个）向量； ③应用能力：学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决； 情感目标： ①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪 氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理； ②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动 学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态； ③通过例3实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源 于实践、服务于实践的认识观念； 教学重点：（1）求作两个向量和向量的法则；（2）向量加法的运算律； 教学难点：（1）理解向量加法的定义； （2）求向量和的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。 三、教法、学法分析 教法分析：本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目

平面向量论文：对《平面向量》的理解

平面向量论文：对《平面向量》的理解 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。高中数学新教材将《平面向量》作为必修内容引入，所以这部分内容的教学对于我们中学教师来说是很重要的。 向量是既有大小，又有方向的量，是具有优良运算通性的体系，但向量所关注的不是“数”的简单扩大，而是“量与运算”的扩充，这对于学生更好地建立代数与几何的关系，尽早了解现代数学思想和方法将会打下一个坚实的基础。向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合：一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。同时，向量在物理等许多领域有非常重要的作用，因此，向量是解决数学问题和实际问题的有力工具，是中学数学的重要概念之一。在中学数学中向量分“平面向量”和“空间向量”两章，本文就“平面向量”一章的教学重点和难点以及“平面向量”与代数、几何、三角等知识的交汇应用作一粗探。 首先通过物理背景或数学背景的介绍，使学生懂得向量是既有大小又有方向的量，而向量还可以进行加减法运算。通过实例，使学生掌握向量与数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义及充要条件。在教学中，我体

会到平面向量的基本定理及坐标表示是全章的重要内容之一。因为平面向量基本定理是说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，是向量线性运算的最高级体现。该定理是平面向量坐标表示的理论基础。而向量的坐标表示是平面向量的基本定理的直接应用，是一种重要的数学思想方法，即数形结合。向量的坐标表示的引入，使向量的运算完全代数化，是数与形的完美结合。这样很多几何问题的证明，就转化为学生熟知的代数运算。这是向量的重要作用之一，也是学习向量的重要目的之一。 在平面向量数量积及运算律这一节，重点应使学生掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，并能运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，处理有关长度、角度和垂直的问题。此节难点是对数量积的概念、运算律的理解和数量积的应用。而平面向量的数量积又有着较为广泛的应用，所以形成了本节内容既是重点又是难点的特点。在教材中是通过物理学中的“功”的实例引入的，在讲授向量数量积的概念时，应注意将数量积与实数的乘积类比,进一步深化向量与数量的概念、运算，解决问题的方法的异同，在应用中体会学习的必要性，引导学生逐步形成新的解决问题的思路和视角。 在此节中，还要强调平面向量的数量积与向量投影的关

向量的几何意义

向量的几何意义 1．已知△ABC 是边长为1的正三角形，则AB 在BC 方向上的投影为( ) A ．2 1- B ．2 3- C ． 2 1 D ． 2 3 2、已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC → =0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 3．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 4．已知向量(1,1)m λ=+ ，(2,2)n λ=+ ，若()()m n m n +⊥- ，则λ=（ ） A ．-4 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．已知向量)1,2(),2,1(=-=x ，当a ∥b 时x 的值是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6 6．已知ABC ?,点O H ,为ABC ?所在平面内的点，且?=?，?=?, OH OC OB OA =++, 则点O 为ABC ?的 ( )A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7．如右图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于( ) A ．1BC BA 2 + B ．1BC BA 2-- C ．1BC BA 2-+ D ．1BC BA 2- 8．已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a b +表示( ) A. 向东南航行2km C. km D.向东北航行2km 9．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ,(1,3)AC = ，则BD 等于（ ） A ．(2,4)-- B ．(3,5)-- C ．(3,5) D ．(2,4) 10．a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则向量a ，b 夹角的余弦值等于（ ）. A ．865 B ．865- C ．1665 D ．16 65- 11．已知||＝2，||＝4，向量与的夹角为60°，当(＋3)⊥(k －)时，实数k 的值是 ( )A.1 4 B.34 C.13 4 D.13 2 12．如图，已知,,3AB a AC b BD DC === ，用,a b 表示AD ，则AD = （ ） A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144 a b + 13． 已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且

2.1 平面向量的实际意义和基本概念

2．1 向量的实际意义和基本概念 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作00 注意与0 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 ．．．．．．． 点无关 ．．．. 6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课堂达标新人教A版必修4高中数学第二章平面向量223向量

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 1.已知非零向量a，b满足a=-2b，则①a+2b=0；②|a|=2|b|；③向量a，b的方向相同；④a∥b.其中正确的有( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选C.因为a=-2b，所以a，b共线且反向，且a+2b=0，|a|=2|b|，所以①②④正确，③错误. 2.在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若=a，=b，则等于( ) A.(a+b) B.(a-b) C.(b-a) D.-(a+b) 【解析】选C.==(-)=(b-a). 3.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a= b. 【解析】因为|a|=5，|b|=7，所以|| || a b =. 又因为b与a的方向相反，所以a=-b. 答案：- 4.已知e1，e2是两个不共线的向量，而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k= . 【解析】由题意得a=k2e1+e2=λ(2e1+3e2)，所以解得k=-2或k=. 答案：-2或 5.设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量. 【解析】如图，连接AM并延长交BC于D点. 因为△ABC的重心为M， 所以D是BC的中点，且AM=AD. 所以==(+) =(+)=(-)+(-)

=(b-a)+(c-b)=-a+b+c， 所以=+=a-a+b+c =a+b+c. 6.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论. 【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c与b 是否共线. 【解析】b与a+c共线.证明如下： 因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0). ① 因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0). ② ①-②得a-c=λc-μa， 所以(1+μ)a=(1+λ)c. 又因为a与c不共线， 所以1+λ=1+μ=0， 所以λ=μ=-1， 所以a+b=-c，即a+c=-b， 所以b与a+c共线.

平面向量的概念教案

平面向量基本概念 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量的概念； （2）理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 能力目标： （1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题； （2）理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量. （3）从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点. （4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标： （1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯． （2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识． 【教学重点】 向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 【教学难点】 向量的含义. 【教学过程】 （一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫由B向正东方向的D处追去，猫 能否抓到老鼠？ 结果原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？ （二）概念形成 观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法 思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段， 记作.(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB为a. 练习.如图4，小船由A地向西北方向航行15海里到达B地，小船的位移如何表示？（用1cm表示5海里） 1

《平面向量加法运算及其几何意义 》教学设计

《平面向量加法运算及其几何意义》教学设计 〖教学目标〗 （1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形 法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题； （2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体 验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力； （3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会 成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 〖教学重点、难点〗 教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则； 教学难点：向量加法概念的形成过程； 〖教学方法与教学手段〗 教学方法：启发探究式教学 教学手段：多媒体辅助教学 〖教学过程〗 一、设置情境、尝试探求 1．设置问题情境 今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河 宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤 坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想， 如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？ 2、学生自主探究与研讨

学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望） V船 V 教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明； V水 学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图 教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。 提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？ 3、师生共同探究 学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成； （1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C 点的位移结果相同。