电介质中电场
第九章 导体和电介质中的静电场 §9-1静电场中的导体 一.导体的静电平衡条件 1.静电感应现象
a.静电感应：外电场的作用导致导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象
b.静电平衡状态：导体内部和表面上都没有电荷的定向移动状态
2.导体的静电平衡条件 (1).静电平衡条件：
a.导体内部任何一点的场强为零
b.导体表面上任何一点的场强方向垂直于该点的表面 (2).等价条件：
静电平衡时，导体为等势体.
证:设a 和b 为静电平衡导体上任意两点 单位正电荷由a 移到b ，电场力的功为
b a b a
U U l d E -=?? U ?= (1).a 、b 在导体内部：
0=E
0=?∴U
(2).a 、b 在导体表面：
l d E
⊥0=?∴l d E 即0=?U
----静电平衡的导体是等势体
二.静电平衡导体的电荷分布
1.导体处于静电平衡时，导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面上 证：在导体内任一点P 处取一任意小的高斯面S
静电平衡导体内0≡E
?=?∴S
S d E 0
→0=∑内
S i q ----体内无净电荷
即电荷只能分布在导体表面上
2.有空腔的导体：设空腔导体带电荷Q
空腔内没有电荷时:导体内部和空腔内表面上都没有净电荷存在，电荷只分布在导体外表面
证：在导体内作一包围空腔的高斯面 S 导体内0≡E
?=?∴S
S d E 0
导体的静电感应过程
静电平衡状态
+
+
+
+
即
0=∑内
S i
q
----S 内无净电荷存在
问题：会不会出现空腔内表面分布有等量 异号电荷的情况呢？
空腔内有电荷q 时：空腔内表面感应出等值异号电量-q ，导体外表面的电量为导体原带电量Q 与感应电量q 的代数和
由高斯定理和电荷守恒定律可证
3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与 该处表面的电荷面密度成正比
证:过紧靠导体表面的P 点作垂直于导体 表面的小圆柱面，下底△S ’在导体内部
??S S d E ???=S S d E S E ?=0
εσS
??=
εσ=
∴E 4.静电平衡导体,表面曲率越大的地方,电荷面密度越大 以一特例说明:
设有两个相距很远的导体球，半径分别
为R 和r (R >r )，用一导线将两球相连
R Q U R 041πε=
R R R
02
44πεσπ=
εσR
R =
r q U r 041
πε=r r r 0244πεσπ=
0εσr
r = r
R R r =∴
σσ 三.导体静电平衡特性的应用 1.尖端放电
年美富兰克首先发明避雷针
2.静电屏蔽
静电屏蔽：隔绝电的相互作用,使内外互不影响的现象. a.对外电场的屏蔽
++
++
+
b.接地空腔导体屏蔽腔内电荷对外界的影响.
§9-2 有导体时静电场的分析方法 导体放入静电场中：
导体的电荷重新分布→导体上的电荷分布影响电场分布→静电平衡状态
[例1]半径为R 的不带电导体球附近有一点电荷+q ，它与球心O 相距d ，求(1))导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势；(2) 若将导体球接地，球上的净电荷为多少？
解：建立如图所示的坐标系 设导体球表面感应出电荷±q’
a.球心O 处场强为零，是±q’的电场和q 的电场叠加的结果 即E E E '+=
00=
E E -=∴')](4[
2
0i d q --=πεi d q 2
04πε=
b.因为所有感应电荷在O 处的电势为
?
±='
04''q R
dq U πε0=
而q 在O 处的电势为d
q U 04πε=
'0U U U +=∴d
q 04πε=
导体球接地：设球上的净电荷为q 1
R
q d
q U 010044πεπε+
=
0=
解得q d
R q -
=1 [例2]两块放置很近的大导体板，面积均为S ，试讨论以下情况空间的电场分布及导体板各面上的电荷面密度.←两板所带电荷等值异号;两板带等值同号电荷；两极板带不等量电荷 解：不考虑边缘效应时，可认为板上电荷均匀分布在板表面上 设四个表面上的电荷面密度分别为σ1, σ2,σ3和σ4
a.作两底分别在两导体板内而侧面垂直于板面的闭合柱面为高斯面
+
+
()S S s d E ?+?=??320
1
σσε 0=
32σσ-=∴
b.板内任一点P 点的场强为
4
0302012222εσεσεσεσ---=
p E 0= 41σσ=∴
(1).设两板带等值异号电荷+q 和-q ：
q S =+)(21σσ q S -=+)(43σσ
S
q
S q -=
+++∴4321σσσσ0= 041==∴σσ ----电荷分布在极板内侧面
S q /2=∴σ S q /3-=σ
由场强叠加原理有
3
02122εσεσ--
=E 0= 同理03=E
0302222εσεσ-=
E S
q
0ε=方向向右 (2).设两板带等值同号电荷+q ：
q S =)(21σσ＋ q S =)(43σσ＋ 0)()(4321=+-+∴σσσσ
由324
1σσσσ-==
有032==σσ ----电荷分布在极板外侧面
S
q =
=∴41σσ 由场强叠加原理可得:
0401122εσεσ--
=E S
q
0ε-=方向向左
σ4
S
Ⅰ
4
01222εσεσ-=
E 0= 0401322εσεσ+=
E S
q
0ε=方向向右 (3).设两极板所带电量分别为q 1和q 2：
S q /121=+σσ S q /243=+σσ S q q /)(2141+=+∴σσ12σ=
可得S q q 2/)(2141+==σσ
112σσ-=
∴S q S q q 221-= S
q q 21223-=-=σσ 由场强叠加原理有
0403020112222εσεσεσεσ----
=E 01εσ-=S
q q 0212ε+-= 0403020122222εσεσεσεσ--+=
E 02εσ=S q q 02
12ε-= 0403020132222εσεσεσεσ+++=
E 01εσ=S
q q 02
12ε+= [例3]把一块原来不带电的金属板B 移近一块带有+Q 的金属板A 平行放置，设两板面积均为S ，板间距D 。（1）当B 不接地时，U AB =？。（2）B 接地时，U AB =？ 解:
A 板单独存在时电荷均匀分布.
(1).当B 板靠近A 板时,B 板将有感应电荷产生,有 σ1 =σ4 σ2 = -σ3
板间是匀强电场:E=σ2／ε0=Q ／2ε0S ∴U AB =Ed=Qd/2ε0S
(2).B 板接地时,A 板电荷重新分布 σ1 = σ4=0 , Q 全部分布在σ2面上 σ2= Q / S = - σ3
E = σ2 / ε0 = Q / ε0S ∴U AB =E d= Q d / ε0S
[例4]半径为r 1的导体球带有电荷+q , 球外有一个内外半径分别为r 2 、r 3的同心导体球壳，壳上带有电荷+Q,求电场分布, 球和球壳的电势U 1和U 2及它们的电势差△U; 用导线将球和球壳连接时场和电势怎样? 外球壳接地时怎样? 设外球壳离地面很远, 若内球接地, 电荷如何分布? U 2为多少？
解： 球壳内表面均匀分布电荷-q ，球壳外表面均匀分布电荷q+Q 以同心球面作为高斯面有
1r r < 01=E
vvv
21r r r <<
02
024r r q E πε=
32r r r << 03=E
3r r >
02
044r r Q q E πε+=
a.球的电势为
?∞?=1
1r r d E U ??∞?+?=3
21
42r r r r
d E r d E ?
?
∞
++=32
1
2
2
044r r r dr r Q
q dr r q πεπε
???
? ??++-=
321041r Q q r q r q πε b.球壳的电势为
?∞?=32r r d E U ?∞?=34r r d E
?∞+=320
4r
dr r Q q πε304r Q q πε+= c.电势差为
21U U U -=????
?
??-=
210114r r q πε (1).用导线连接球和球壳：球面上的电荷与球壳内表面电荷中和
0321===E E E
02
044r r Q q E πε+=
?∞
?==3421r r d E U U dr r Q
q r
?∞+=320
4πε 3
04r Q
q πε+=
(2).外球壳接地，即U 2=0
表面和球壳内表面上的电荷分布不变
0431===E E E
02
024r r
q E πε=
?
?=2
1
21r r r d E U )1
1(42
10r r q -=
πε 21U U U -=?∴1U =
(3).内球接地有U 1＝0
设内球表面带电荷q’，则球壳内表面带电荷-q’，球壳外表面带电荷(Q ＋q’)
3
02
01
014'4'4'r Q
q r q r q U πεπεπε++
-
=
=Q r r r r r r r r q 1
223131
2'--=
∴
因r 3 r 1 < r 3 r 2 , 所以 q’<0 球壳电势
3024'r Q q U πε+=
()()
1323210124r r r r r r r r Q -+-=πε
§9-3 静电场中的电介质
电介质：内部几乎没有可以自由运动电荷的物体，又称为绝缘体 一.电介质的分类
1.无极分子电介质：无外电场时分子的正负电荷中心重合 没有固有电矩的分子称为无极分子
2.有极分子电介质：无外电场时分子正负电荷中心不重合
3.具有固有电矩的分子称为有极分子 二.电介质的极化
1.无极分子的极化 *无极分子的极化是由于分子中的正负电荷中心在外电场作用下发生相对位移的结果 ----位移极化
2.有极分子的极化
*有极分子的极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果 ----转向极化 三.电极化强度 1.电极化强度
(1).无外场时：电介质中任一小体积元?V 内所有分子的电矩矢量和为零，即∑=0i p
(2).有外场时：电介质被极化，
∑≠0i p , 且外场越强，电介质极化程度越高，∑i p
越
大
(3).定义：单位体积内分子电矩的矢量和为电极化强度，即
V
p
P i
?=
∑
----反映了电介质的极化程度
诱导电偶极矩
(4).单位：库仑/米2 (C/m 2
)，与电荷面密度的单位相同 讨论：
a. P
是所选小体积元?V 内一点的电极化强度。当电介质中各处的电极化强度的大小和方
向均相同时，则称为均匀极化
b.极化(束缚)电荷也会激发电场，使电场的分布发生变化 2.极化强度与场强的实验系
电介质中某点处的电极化强度与该点处的合场强有如下的实验关系：
E P e 0εχ=
χe ：电介质的电极化率，无量纲。对各向同性的电介质，χe 为常数
四. 与束缚电荷面密度的关系
1.设在均匀介质中，截取一个长为l ，底面积为dS ，体积为dV 的小斜柱。斜柱的轴线与电极化强度的方向平行
2.等效电偶极子的总电矩为
∑?=l dq p i
l ds ?'=σ l ds dV ??=θcos
dV i
p P ∑=∴ θ
σcos '= θσcos P ='∴n P ?=n P =
----截面上束缚电荷面密度等于极化强度沿该截面外法线方向的分量 五.介质内部封闭曲面内的极化电荷
1.在介质内任取一闭合曲面S ，S 上任一小面元dS 上极化电荷面密度为σ’
dS q d σ'='∴dS P θcos =S d P
?=
S 外侧面上的极化电荷
?'='s
q d q 外
??=s
S d P
2.S 内包含与q’外等量异号的极化电荷
∑-='内
外S q q '??-=S
S d P
----任意闭合曲面内的极化电荷等于极化强度对该闭合曲面通量的负值 六.介质中的静电场
介质中某点的场强，是由外电场和极化电荷的电场叠加而成
E E E '+= 0
等效偶极子
以两块靠得很近的金属板为例
E E E '-=00
0εσεσ'-=
P P n =='σ E P e 0εχ=
e
E E χ+=∴10
令e r χε+=1----相对介电系数
r
E E ε0
=
∴
讨论：
1>r ε r E E ε0=∴0<
----极化电荷的电场将自由电荷的电场部分抵消的缘故 七.有介质时的高斯定理 电位移 1.由高斯定理有
?
∑=
?S
S q S d E 内
1ε ∑∑'+=内内
S S q q )(10
0ε
?∑?-=S
S S d P q
内
' ()∑?=?+∴内
S S
q S d P E 00
ε
2.定义：P E D
+=0ε----电位移
?∑=?∴S
S q S d D 内
自由电荷
----有介质时的高斯定理或D
的高斯定理
讨论：
a. 电位移通量只与闭合曲面所包围的自由电荷有关，但D
本身与自由电荷和极化电荷都有关
b.可用电位移线来形象地描述电位移
E 线与D
线的区别:
E
线:从自由正电荷或束缚正电荷出发，终止于负电荷.
D
线:从自由正电荷出发,终止于自由负电荷.
八. P E D
，，三矢量的关系
E P e 0εχ= P E D +=0ε
E E D e 00εχε+=∴E e )1(0χε+=E r εε0=
.定义：r εεε0=----介质的介电常数
E D ε=∴
说明：
D 是一个辅助物理量，没有明显的物理意义，但有介质时，计算D 通量比计算
E 通量
简便
以上讨论的是各向同性介质，P E D
，， 方向一致
[例4]半径为R 的金属球带有正电荷q 0，置于一均匀无限大的电介质中(相对介电常数为εr )，求球外的电场分布，极化电荷分布和极化电荷电量 解:
电场分布球对称性
取半径为r 并与金属球同心的球面S 为高斯面
?
=?S
r D S d D 24π
0q =
2
40r
q D π=
∴方向沿径向向外
或 0
024r r
q D π=
a.电介质中的电场分布为
ε
D E =r
D εε0 =02
00
4r r q r επε=
b.极化强度为
E P e
0εχ=0200
4)1(r r q r r επεεε-=02
041r r q r
r πεε-= c.球与介质交界处，介质表面的法向与该处极化强度的方向相反
n P ?='∴σP -=2
41R q r r πεε--=
d.极化电荷电量为
24R q πσ?'='011q r ??
?
??-=ε
----q’与q 0反号，而且数值小于q 0
[例5]两带等量异号电荷的导体板平行靠近放置,电荷面密度分别为+σ和-σ ，板间电压V 0=300V 。如保持两板电量不变，将板间的一半空间充以相对介电系数εr =4的电介质,则板间电压为多少？介质上下表面极化电荷面密度多大？ 解：设板面积为S ，板间距离为d a.未放电介质:板间场强大小和电压为
0εσ=E d E V 00=
b.充电介质:作底面积为?S 的高斯面
??∴S
S
d D
1S
d D
??=1下底dS D 1下底?=S
D ?=1S ?=1σ
11σ=∴D r
D E εε01
1=
r
εεσ01
=
同理，对右半部有
22σ=D 0
2
2εD E =
2
εσ=
两侧电势相等d E d E 21=
21E E =∴→r
εσσ1
2=
因导体板上总电量保持不变
S S S σσσ=+2
2
21 σσσ221=+∴
解得σεεσr
r
+=
121σ58=σ>
σεσr
+=
122σ52=σ< c.板间电场强度为
0221εσ=
=E E 052εσ=
52E = d E V 1=∴d E 05
2=30052?=V 120=
()1011E P r εε-= 0
056E ε=σ56
= n p ?='∴11σ?????-=-==上表面下表面56561
1σσP P
2
σ+
1σ+1
σ-'
1σ-'1σ+
§9-4 电容和电容器 一.孤立导体的电容
1.设孤立导体带电量为q ，电势为U
2.定义: C=q/U----孤立导体的电容
3.单位:法拉(F ),1F =1C /V 二.电容器
1.电容器：两个带有等值异号电荷的导体组成的系统
2.两个导体A 和B 放在真空中，所带电量分别为+q 和-q 组成电容器
3.定义B
A U U q
C -=
----电容器的电容
(1).平板电容器
设极板所带电荷为±q
εσ=
E S q r
εε0= l d E U U B
A
B A ??=-∴Ed =S
qd
r εε0=
则B A U U q C -=
d
S
r εε0=
(2).圆柱形电容器---两同轴圆柱面构成
设内外柱面带有电荷分别为+q 和-q 两柱面间、距轴线为r 处的场强大小为
r
E r επελ
02=
l d E U U B A
B A ??=-∴Edr B
A R R ?=r
dr r R R B A
.
20επελ?=A B r R R
ln 20επελ= B
A U U q
C -=
∴A
B
r R R
l ln 20επελλ=
A
B r R R l
ln 20επε=
(3).球形电容器---两同心球壳构成 设内外球壳分别带有电荷+q 和-q ，则
2
04r
q E r επε=
l d E U U B
A
B A
??=-∴Edr B
A R R ?=)11(
40B
A r
R R q -=
επε
B A U U q
C -=
∴A
B B A r R R R R -=επε04
讨论：
1.电容器的电容与极板所带电量无关,只与电容器的几何结构有关
2.充满介质的电容器，其电容比真空时的电容大εr 倍
3.计算电容器电容的步骤： a.设极板带有电荷±q
b.由电荷分布求出两极板间的场强分布
c.由场强分布求出两极板间的电势差
d.由电容的定义求得电容器的电容 三.电容器的串并联
1.并联: 各电容器上的电压相等
电容器组总电量q 为各电容所带电量之和
U q C =
∴U
q q q n
+++=
21 n C C C +++= 21∑==n
i i C 1
2.串联: 总电压为各电容器电压之和
各电容器的电量相等，即为电容器组的总电量q
U q
C =
∴n
U U U q +++= 21 n
C q C q C q q
///21 ++=
n C C C C 1
11121+
++=∴ ∑==n
i i
C 11 讨论:
1并联时等效电容等于各电容器电容之和，利用并联可获得较大的电容
2.串联时等效电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和，因而它比每一电容器的电容小,但电容器组的耐力能力提高
[例6]电容为C 的空气平板电容器，两极板间距离为d ，若在此电容器中插入一相对介电系数为εr 的纸片，这时电容器的电容变为C’,试证纸片厚度为
d C C C d r r '
-'-=
11εε
证:设极板面积为S
2
01d S
C ε=
1
02d S
C r εε=
3
03d S
C ε=
1
3
21111'1C C C C ++=
1
332213
21C C C C C C C C C C ++=
'∴
()
3210d d d S
r r ++=
εεε
132d d d d -=+
d d
C S
d r r )1(1
01'-
-=
∴εεεd C C r r ???
? ??
--=
'11εε d C C C r r '
-'-=
1εε得证
*另证
331221d E d E d E U ++=?30
1020d d d r εσεεσεσ++=
U q C ?=
∴'U
S
?=
σ ()
3210d d d S
r r ++=
εεε
同样可证
§9-5 电场的能量 一.带电体的能量
a 设物体带有电量q 时，相应电势为U
将电荷元dq 从无限远处移到该带电体上，外力需作功
)(∞-=U U dq dA Udq =
b 带电体具有的电势能
A W =Udq Q 0
?=
二.带电电容器的能量
a.将dq 由B 板移到A 板，外力需作功
)(b a U U dq dA -=dq C
q =
b 带电电容器的能量为
?
=q
dq C q W 0
C Q 221=2)(21B A U U C -=)(2
1B A U U Q -=
1
C 2
C 3
C '
C
三.电场的能量
1.以平板电容器为例：设极板面积为S ，两极板间距离为d ,板间充满介电常数为ε 的电介质
2)(21B A U U C W -=2)(21Ed d S ε=V E ?=22
1
ε 2单位体积的能量(电场能量密度)为
V W e =
ω221E ε=DE 2
1
= 3.任意电场中所储存的能量为
dV W e V ω?=DEdV V
2
1
?= 讨论：
电场具有能量是电场物质性的一种表现
[例7]真空中一个半径为R 的薄球壳，其上带有均匀分布的电荷Q ，求静电场的总能量 解：电场分布在球壳的外部空间
R r < 0=内E R r > 20
41r
Q E ?=
πε外 静电场的总能量为
?=V e dV w W ?=V dV E 2
021ε?∞?=R dr r r Q 222004)4(21ππεεR
Q 2081πε= [例8]空气平板电容器的极板面积为S ，极板间距为d ，其中插入一块厚度为d’的平行铜板。
现在将电容器充电到电势差为U ，切断电源后再将铜板抽出。求抽出铜板时外力所作的功 解：法1:电容储存能量的观点：
外力的功等于抽出铜板前后该电容器电能的增量 1. 抽出铜板前电容器电容为d d S
C '-=
'0ε
*极板上的电荷不变U C Q '=d
d SU
'-=0ε
'21'2C Q W =∴2021U d d S
'
-=ε
2. 抽出铜板后电容为d
S
C 0''ε=
''21''2
C Q W =∴2
2
0)
(21U d d Sd '-=ε '''W W A -=∴2
20)
(21U d d d S '-'=
ε 法2:电场是能量携带者的观点：
'
铜板抽出前后,空气中场强不变,即电场能量密度不变，但电场存在的空间体积增大
'''W W A -=)'''(V V e -=ω[])(2
1
20d d S Sd E '--=ε
d S E '=202
1
ε22
0)(21U d d d S '-'=ε
电介质中电场
第九章 导体和电介质中的静电场 §9-1静电场中的导体 一.导体的静电平衡条件 1.静电感应现象 a.静电感应：外电场的作用导致导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象 b.静电平衡状态：导体内部和表面上都没有电荷的定向移动状态 2.导体的静电平衡条件 (1).静电平衡条件： a.导体内部任何一点的场强为零 b.导体表面上任何一点的场强方向垂直于该点的表面 (2).等价条件： 静电平衡时，导体为等势体. 证:设a 和b 为静电平衡导体上任意两点 单位正电荷由a 移到b ，电场力的功为 b a b a U U l d E -=?? U ?= (1).a 、b 在导体内部： 0=E 0=?∴U (2).a 、b 在导体表面： l d E ⊥0=?∴l d E 即0=?U ----静电平衡的导体是等势体 二.静电平衡导体的电荷分布 1.导体处于静电平衡时，导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面上 证：在导体内任一点P 处取一任意小的高斯面S 静电平衡导体内0≡E ?=?∴S S d E 0 →0=∑内 S i q ----体内无净电荷 即电荷只能分布在导体表面上 2.有空腔的导体：设空腔导体带电荷Q 空腔内没有电荷时:导体内部和空腔内表面上都没有净电荷存在，电荷只分布在导体外表面 证：在导体内作一包围空腔的高斯面 S 导体内0≡E ?=?∴S S d E 0 导体的静电感应过程 静电平衡状态 + + + +
即 0=∑内 S i q ----S 内无净电荷存在 问题：会不会出现空腔内表面分布有等量 异号电荷的情况呢？ 空腔内有电荷q 时：空腔内表面感应出等值异号电量-q ，导体外表面的电量为导体原带电量Q 与感应电量q 的代数和 由高斯定理和电荷守恒定律可证 3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与 该处表面的电荷面密度成正比 证:过紧靠导体表面的P 点作垂直于导体 表面的小圆柱面，下底△S ’在导体内部 ??S S d E ???=S S d E S E ?=0 εσS ??= εσ= ∴E 4.静电平衡导体,表面曲率越大的地方,电荷面密度越大 以一特例说明: 设有两个相距很远的导体球，半径分别 为R 和r (R >r )，用一导线将两球相连 R Q U R 041πε= R R R 02 44πεσπ= εσR R = r q U r 041 πε=r r r 0244πεσπ= 0εσr r = r R R r =∴ σσ 三.导体静电平衡特性的应用 1.尖端放电 年美富兰克首先发明避雷针 2.静电屏蔽 静电屏蔽：隔绝电的相互作用,使内外互不影响的现象. a.对外电场的屏蔽 ++ ++ +
静电场中的导体和电介质习题详解
习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C
静电场中的导体和电介质作业
第6章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r /2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪一 种情况? [ ] (A)对球壳内外电场无影响 (B)球壳内外电场均改变 (C)球壳内电场改变, 球壳外电场不变 (D)球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ](A)表面上电荷密度较大处电势较高(B)表面上曲率较大处电势较高 (C)表面上每点的电势均相等(D)导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ](A)导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C)导体内的电势与导体表面的电势相等 (D)导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ](A)导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B)表面曲率较大处电势较高 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高 (D)表面上电荷密度较大处电势较高 5. 一点电荷q 放在一无限大导体平面附近, 相距d , 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) 2q (B)2 q -(C)q (D)q - 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q , 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q 偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A)内、外表面仍均匀分布(B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C)内、外表面都不均匀分布 (D)内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m , 小球半径为n , 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σm ／σn 为 [ ] (A)n m (B)m n (C)22n m (D)22m n 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q , 乙板带电Q ．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A)0(B)－q (C)2Q q +-(D)2 Q q + T6-1-1图 T6-1-5图 T6-1-8图
导体和电介质习题
第六章静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近，则导体B的电势将（） （A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定
分析与解不带电的导体B相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时，在导体B的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。 6 －2 将一带负电的物体Ｍ靠近一不带电的导体Ｎ，在Ｎ的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体Ｎ的左端接地（如图所示），则（） （A）Ｎ上的负电荷入地（B）Ｎ上的正电荷入地 （C）Ｎ上的所有电荷入地（D）Ｎ上所有的感应电荷入地
分析与解 导体Ｎ 接地表明导体Ｎ 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体Ｎ 在哪一端接地无关。因而正确答案为（A ）。 6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d q v E 04,0πε= = （B ）d q v d q E 02 04,4πεπε= = （C ）0,0==v E （D ）R q v d q E 02 04,4πεπε= =
分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。因而正确答案为（A）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （Ｅ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关
电磁波在介质中的传播规律
电磁波在介质中的传播规律 电磁波的传播是电磁场理论的重要组成部分。我们只考虑电磁波在各向同性均匀线性介质中传播，分别对电磁波在线性介质和非线性介质中的传播规律进行讨论。 1、电磁场的波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程，而我们讨论的介质是各向同性均匀线性的，即（0,j 0）的情形。麦克斯韦方程组的解既是空间的函数又是时间的函数，而我们只考虑随时间按正弦函数变化的解的形式。对于这种解，其形式可表示成一个与时间无关的复矢量和一个约定时因子ex） j t相乘，这里是角频率。在这种约定下，麦克斯韦方程组便可表示成1 (1) H j E （2） E 0 ⑶ H 0 ⑷ 对方程（1）两边同取旋度，并将式（2）代入便得 E 2E （5） 利用如下矢量拉普拉斯算子定义以及方程（3） (6) 方程（5）式变为 类似地，可得B所满足的方程为 k2B(9) 2E k2E 0
方程（7）和（9）式称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程，是电磁场的波动方程。
2、平面波解 一般的电磁波总可用傅里叶分析方法展开成一系列。单色平面波的叠加。所以，对 单色平面波的研究具有重要的理论和实际意义。假定波动方程（ 7）和（8）式的单色平 面波的复式量解为3 E E 0 exp j t k r (10) B B °ex3 j t k r (11) 式中E 0, B 0分别为E , B 振幅， 为圆频率， k 为波矢量（即电磁波的传播方向）。 exp j kx t 代表波动的相位因子。 为了描述均匀平面波的相位在空间的变化快慢，在此引入相速的概念，即平面波等 相位的传播速度。很显然等相位面由下面方程决定 1 t kr const 方程（12）两边对时间t 求导可得 dr v dt k 由式（8）可知 1 v ----- 将（10）和（11）式代入我们上面给出的麦克斯韦方程组可得 3 由（17）和（18 ）可以看出，介质中传播的电磁波是横波，电场与磁场都与传播方向垂直;(12) (13) (14) E 。 k B o B 0 k k E o E o k B o 0 (15) (16) (17) (18)
第八章 静电场中的导体和电介质
103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。
104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为
第五章 静电场中的电介质
第5章静电场中的电介质 ◆本章学习目标 理解：电介质的概念和分类；电介质对电场的影响；电介质的极化和极化电荷；D的高斯定理；电容器和电容的概念，电容器的能量。 ◆本章教学内容 1．电介质对电场的影响 2．电介质的极化 3．D的高斯定律 4．电容器和它的电容 5．电容器的能量 ◆本章重点 用D的高斯定理计算电介质中静电场的分布和电介质的极化电荷密度； 电容和电容器能量的计算。 ◆本章难点 电介质的极化机制、电位移矢量。
5. 1 电介质对电场的影响 如果介质是均匀的，极化的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。极化电荷不是自由电荷，不能自由流动（有时也称为束缚电荷），但极化电荷仍能产生一个附加电场使介质中的电场减小。 介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果。下面考虑一种比较简单而常见的情况，即各向同性介质均匀地充满电场的情况来定量地说明这种迭加的规律。所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的和场的电场强度E为原来真空中的电场强度的分之一，即 其中为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。对于“真空”， ，对于空气，近似有，对其它介质，。 加入介质以后场强的变化是由于介质中产生的极化电荷激发的附加电场参与迭加而形成的。在介质均匀地充满电场这种简单条件下，我们可以通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。以点电荷为例，真空中的点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为 充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。极化电荷是分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。这是一个很小的范围，从观察p看去，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为，它在p 点激发的电场应为 介质中的场强应是与迭加的结果
10静电场中的导体和电介质习题解答
第十章 静电场中的导体和电介质 一 选择题 1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( ) 2 02 00π4 . D ) (π4 . C π4 . B π4 .A R) (a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势 ??'±'±='= ' = 'q q q R R q V 0d π41π4d 00 εε 点电荷q 在球心处的电势为 a q V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势a q V V V 00π4ε= '+=。 所以选（A ） 2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( ) 2 . D . C 2 . B 2 .A εd E= εE= E E σσεσ εσ= = 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0 εσ= E 。 所以选（C ） 3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d 静电场中的电介质 （一）要求 1、了解电介质极化的微观机制，掌握极化强度矢量的物理意义 2、理解极化电荷的含义，掌握极化电荷、极化电荷面密度与极化强度矢量P 之间的关系 3、掌握有介质时场的讨论方法，会用介质中的高斯定理来计算静电场；明确E 、P 、D 的联系和区别 4、了解静电场的能量及能量密度 5、演示实验：介质对电容器电容的影响 （二）要点 1、电介质的极化 （1）电介质的电结构 （2）电介质的极化 2、极化强度矢量 （1）极化强度矢量 （2）极化电荷 （3）极化电荷体密度与面密度 3、有介质时的静电场方程 （1）电位移矢量 (2)介质中的高斯定理 (3)介质中的电场方程 *4、静电场的边值关系 5、静电场的能量和能量密度 (三)难点 求解介质中静电场的具体问题，如极化电荷的分布，介质中电场的分布等 § 3-1电介质的极化 一、介质中的电场强度 实验表明，电容器中填充介质后电容增大，增大程度由填充介质的相对介电常数￡决定。由于引入外电场后，电介质表面出现电荷，产生附加电场比方向与外电场方向相反，削 弱了电介质内部的外电场，这样 f f f 4 E=E^ + E f 但 E t丰E‘,辰工On 二、电介质的极化 在外电场作用下电介质表面出现电荷的现象叫做电介质的极化，在表面出现的这种电荷叫极化电荷（束缚电荷）。 由于极化电荷比自由电荷少得多，极化电场比感应电场也小得多，因此介质内部合场强不为零但要注意极化电荷与自由电荷、极化电场与感应电场的区别。 §3-2极化强度矢量 一、极化的微观机制1无极分子的位移极化 在外电场作用下，无极分子正负电荷“中心”发生相对位移而出现极化电荷的现象，称为位移极化。 2、有极分子的取向极化 在外电场作用下，有极分子的电偶极矩受到电场的力矩而转向外电 电磁场与微波技术实验报告 （二） 课程实验：电磁波在介质中传播规律 班级： 姓名： 指导老师： 实验日期： 电磁波在介质中的传播规律 一、实验目的： 1、用MATLAB 程序演示了电磁波在无损耗、较小损耗和较大损耗情况下的传播博规律； 2、结合图像探讨了电磁波在有耗介质中电场强度和磁场强度的能量变化情况； 3、学会使用Matlab 进行数值计算，并绘出相应的图形，运用MATLAB 对其进行可视化处理。 二、实验原理 1、电磁场的波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程，而我们讨论的介质是各向同性均匀线性的，即（0,0==j ρ）的情形。麦克斯韦方程组的解既是空间的函数又是时间的函数，而我们只考虑随时间按正弦函数变化的解的形式。对于这种解，其形式可表示成一个与时间无关的复矢量和一个约定时因子()t j ωex p 相乘，这里ω是角频率。在这种约定下，麦克斯韦方程组便可表示成[]1 ΗE ωμj -=?? (1) ΕΗωεj =?? (2) 0=??Ε (3) 0=??Η (4) 对方程（1）两边同取旋度，并将式(2)代入便得 ΕΕεμω2=???? （5） 利用如下矢量拉普拉斯算子定义以及方程（3） ()ΕΕΕ????-???=?2 （6） 方程（5）式变为[]2 022=+?ΕΕk （7） μεω=k （8） 类似地，可得Β所满足的方程为 022=+?ΒΒk （9） 方程（7）和（9）式称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，是电磁场的波动方程。 2、平面波解 一般的电磁波总可用傅里叶分析方法展开成一系列。单色平面波的叠加。所以，对单色平面波的研究具有重要的理论和实际意义。假定波动方程（7）和（8）式的单色平面波的复式量解为[]3 ()[]r k ΕΕ?-=t j ωex p 0 （10） ()[]r k ΒΒ?-=t j ωex p 0 （11） 式中0Ε,0Β分别为Ε,Β振幅，ω为圆频率，k 为波矢量（即电磁波的传播方向）。 ()[]t kx j ω-ex p 代表波动的相位因子。 为了描述均匀平面波的相位在空间的变化快慢，在此引入相速的概念，即平面波等相位的传播速度。很显然等相位面由下面方程决定[]1 const kr t =-ω （12） 方程（12）两边对时间t 求导可得 k dt dr v ω == (13) 由式（8）可知 εμ 1 = v （14） 将（10）和（11）式代入我们上面给出的麦克斯韦方程组可得[]3 思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球 A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有 ∑=0q 而导体的电势V ≠0。 图13-37 均匀带电球体的电场能 13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答：必须注意以下两点： （1）这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2）静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答：不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答：所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答：当施感电荷Q接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷Q有关，导体靠近Q的一端，将出现与 第 三 章 静电场中的电介质（6学时） 一、目的要求 1．掌握电介质极化机制，熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。 2．会求解极化强度和介质中的电场。 3．掌握有介质时的场方程。 4．理解电场能量、能量密度概念，会求电场的能量 。 二、教学内容与学时分配 1．电介质与偶极子（ 1学时） 2．电介质的极化（1学时） 3．极化电荷（1学时） 4．有电介质时的高斯定理（1学时） 5．有介质的场方程（1学时） 6．电场的能量（1学时） 三、本章思路 本章主要研究电介质在静电场中的特性，其基本思路是：电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。 四、重点难点 重点：有介质的静电场方程 难点：电介质的极化规律。 五、讲授要点 §3.1 电介质与偶极子 一、教学内容 1．电介质概述 2．电介质与偶极子 3．偶极子在外电场中受到的力矩 4．偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授 三、讲课提纲 1.电介质概述 电介质是绝缘材料，如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。 特点：分子中正负电荷结合紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。 当导体引入静电场中时，导体对静电场有很大的影响，因静电感应而出现的感应电荷 产生的静电场在导体内部将原场处处抵消，其体内00='+=E E E ，且表现出许多特性，如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等；如果将电介质引入电场中情况又如何呢？实验表明，电介质对电场也有影响，但不及导体的影响大。它不能将介质内 部的原场处处抵消，而只能削弱。介质内的电场00≠'+=E E E 。 2．电介质与偶极子 (1)电介质的电结构 电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由，而是被束缚在原子分子上，处于事缚状态。一般中性分子的正负电荷不止一个，且不集中于一点，但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响，这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。分子中电荷在远处一点激发的场近似等于全部正负电荷分别集中于各自的“重心”时激发的场，正负电荷“重心”重合在一起的称无极分子，如 H ,N ,CO 等。正负电荷“重心”不重合在一起的称有极分子，像SO ,H O,NH 等。这样一个分子等效为一个偶极子。 (2)偶极子 两个相距很近，带等量异号电量的电荷系统叫做偶极子 ①偶极子在外场中受到的力矩 均匀外场中，0=∑F 但受到一个力矩：θθθsin sin *2*sin *2*qLE L F L F T =+= 定义：L q P = 称为偶极子的偶极矩，上式可写为： E P T ?= 满足右手螺旋关系 Q 、L 可以不同。但只要其乘积qL 相同，力矩便相同。此力矩总是企图使偶极距转到 外电场的方向上去； 非均匀外场中，0≠∑F ∑≠0T 如摩擦事的笔头吸引纸屑，其实质就是纸屑在笔头电荷的非均匀电场中被极化，等效为偶极子，偶极子受到非均匀电场的作用力（指向场强增大的方向）而向笔头运动。 ②偶极子的场 中垂面上一点的场强：场点到的距离相等，产生的场强大小相等为： 但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方向分量 相等，故有： 延长线上一点的场强 向右，向左，故总场强大小为 偶极子在空间任一点的场强 4 412 20l r q E E + = =-+πε2322 )4(41 2l r ql COS E E πεθ+==+⊥20)2(41l r q E -= +πεE =-3 02220220//42]) 4 (241 )2(1 )2(1 [4r P l r qlr l r l r q E E E πεπεπε≈-=+--=-=-+ 图3-3 图3-4 +q -q 图3-1 图 3-2 实验二-电磁波在介质中的传播规律 电磁场与微波技术实验报告 （二） 课程实验：电磁波在介质中传播规律 班级： 姓名： 指导老师： 实验日期： 2015.11.21 电磁波在介质中的传播规律 一、实验目的： 1、用MATLAB 程序演示了电磁波在无损耗、较小损耗和较大损耗情况下的传播博规律； 2、结合图像探讨了电磁波在有耗介质中电场强度和磁场强度的能量变化情况； 3、学会使用Matlab 进行数值计算，并绘出相应的图形，运用MATLAB 对其进行可视化处理。 二、实验原理 1、电磁场的波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程，而我们讨论的介质是各向 同性均匀线性的，即（0,0==j ρ）的情形。麦克斯韦方程组的解既是空间的函数又是时间的函数，而我们只考虑随时间按正弦函数变化的解的形式。对于这种解，其形式可表示成一个与时间无关的复矢量和一个约定时因子()t j ωex p 相乘，这里ω是角频率。在这种约定下，麦克斯韦方程组便可表示成[]1 ΗE ωμj -=?? (1) ΕΗωεj =?? (2) 0=??Ε (3) 0=??Η (4) 对方程（1）两边同取旋度，并将式(2)代入便得 ΕΕεμω2=???? （5） 利用如下矢量拉普拉斯算子定义以及方程（3） ()ΕΕΕ????-???=?2 （6） 方程（5）式变为[]2 022=+?ΕΕk （7） μεω=k （8） 类似地，可得Β所满足的方程为 022=+?ΒΒk （9） 方程（7）和（9）式称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，是电磁场的波动方程。 2、平面波解 一般的电磁波总可用傅里叶分析方法展开成一系列。单色平面波的叠加。所以，对单色平面波的研究具有重要的理论和实际意义。假定波动方程（7）和（8）式的单色平面波的复式量解为[]3 ()[]r k ΕΕ?-=t j ωex p 0 （10） ()[]r k ΒΒ?-=t j ωex p 0 （11） 式中0Ε,0Β分别为Ε,Β振幅，ω为圆频率，k 为波矢量（即电磁波的传播方向）。 ()[]t kx j ω-ex p 代表波动的相位因子。 为了描述均匀平面波的相位在空间的变化快慢，在此引入相速的概念，即平面波等相位的传播速度。很显然等相位面由下面方程决定[]1 const kr t =-ω （12） 方程（12）两边对时间t 求导可得 k dt dr v ω== (13) 由式（8）可知 εμ1 =v （14） 将（10）和（11）式代入我们上面给出的麦克斯韦方程组可得[]3 一、填空题 ▲1．矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是散度一个单位体积内通过的通量。 2．散度在直角坐标系z A y A x A A div Z Y X ??+??+??=散度在圆柱坐标系z A A r r rA r A div Z r ??+??+??=??1)(1 ▲3，矢量函数的环量定义 ??=l l d A C ；旋度的定义MAX l S S l d A A rot ??=?→?lim 0； 二者的关系 ???=???l S l d A S d A )(；旋度的物理意义：最大环量密度和最大环量密度方向。 4．旋度在直角坐标系下的表达式)()()(y A x A e x A z A e z A y A e z y z z x y y Z x ??-??+??-??+??-?? ▲5．梯度的物理意义:函数最大变化率和最大变化率方向 ； 等值面、方向导数与梯度的关系是:方向导数是标量场中某一点沿某一方向等值面的变化率，梯度是方向导数的最大值。 6．用方向余弦cos α 、cos β、cos γ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达式γβαcos cos cos z y x l e e e e ++= ▲7．直角坐标系下方向导数l u ??的数学表达式 γβαcos cos cos z u y u x u ??+??+??；梯度γβαcos cos cos z y x e e e ++ ▲8．亥姆霍茨定理表述在有限区域的任一矢量场由它的散度，旋度以及边界条件唯一地确定； 说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度 ▲9．麦克斯韦方程组的积分表达式分别为 1.?=?S Q S d D ;2.S d t B l d E l S ????-=?;3.0=??S S d B ;4.?????+=?S l S d t D J l d H )( 其物理描述分别为1.电荷是产生电场的通量源 2.变换的磁场是产生电场的漩涡源 3.磁感应强度的散度为0，说明磁场不可能由通量源产生； 4.传导电流和位移电流产生磁场，他们是产生磁场的漩涡源。 ▲10．麦克斯韦方程组的微分表达式分别为 1.ρ=??D ;2.t B E ??-=??; 3.0=??B ; 4.t D J H ??+=?? 其物理描述分别为同第九题 11．时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场； 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为1.任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来描述 2.在线性条件下可以使用叠加原理 ▲12．坡印廷矢量的数学表达式 H E S ?=； 其物理意义 电磁能量在空间的能流密度； 表达式??S S d H E )(的物理意义单位时间内穿出闭合曲面S 的电磁能流大小 ▲13．电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚电荷的现象。 两种极化现象分别是 位移极化（无极分子的极化） ；转向极化（有极分子的极化）。 第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质 ～53 ～ 第十章 静电场中的导体和电介质 一、教材的安排与教学目的 1、教材安排 本章的教材安排，讲授顺序可概括为以下五个方面： （1）导体的静电平衡； （2）电介质的极化规律； （3）电位移矢量和有介质时的高斯定理； （4）电容和电容器； （5）电容器的储能和电场的能量。 2、教学目的 本章的教学目的是： （1）使学生确切理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡导体的基本性质； （2）使学生了解电介质极化的机构，了解极化规律；理解电位移矢量的定义和有介质时的高斯定理； （3）使学生正确理解电容概念，掌握计算电容器的方法。 （4）使学生掌握电容器储能公式，并通过电容器的储能了解电场的能量。 二、教学要求 1、掌握导体的静电平衡条件，明确导体与电场相互作用的大体图象； 2、了解电介质的极化规律，清楚对电极化强度矢量是如何定义的，明确极化强度由总电场决定，并且'=σθP cos ； 3、理解电位移矢量的定义，注意定义式 D E P =+ε0是普遍适用的，明确 D 是一个 辅助矢量； 4、掌握有介质时的高斯定理； 5、掌握电容和电容器的概念，掌握电容器电容的计算方法； 6、了解电容器的储能和电场能量 三、内容提要 1、导体的静电平衡条件 （1）导体的静电平衡条件是导体内部场强处处为零。所谓静电平衡，指的是带电体系中的电荷静止不动，因而电场分布不随时间而变化。导体的特点是体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动从而改变电荷的分布。电荷分布的改变又会影响到场的分布。这样互相影响，互相制约，最后达到静电平衡。 （2）从导体的静电平衡条件出发，可以得出三个推论 导体是个等势体，表面是个等势面； 导体表面外侧的场强方向处处垂直于表面，并且有导体内部无净电荷，即电荷体密度，电荷只分布在导体表面。 ；E =??? ??? =σερ00 2、电介质的极化规律 10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。试求： (1) 球壳内外表面上的电荷； (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势； (3) 球心O 点处的总电势。 习题10-1图 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。 (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 0d 4q q U a πε-= ?a q 04επ-= (3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= 04q r πε= 04q a πε- 04Q q b πε++ 01114()q r a b πε=-+04Q b πε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。 习题10-2图 解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为 ． 在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理， ()22 0cos 024P q E r b θσ επε⊥= +=+ ∴ () 2 /32 22/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ( ) 32 2 2d d d //Q S qbr r r b σ==-+ q Q a b O r 第六讲工程介质中电磁波的传播理论 电磁波是交变电场与磁场相互激发在空间传播的波动。工程介质中电磁波的传播依然满足麦克斯韦方程。为清除地理解雷达检测理论基础，需要对介质中的电磁场、电磁波的传播、波速、衰减、反射与折射的理论有一个基本的了解。 6.1电磁场与电磁波传播方程 岩土、混凝土、钢筋、铁板等为常见的工程介质，前两者电导较小，后两者为良导体。在这些介质中电磁波传播的麦克斯韦方程为：▽×E=-μHt’ ▽×H=εEt’+ζ E ▽·E=0 ▽·H=0 通常介质的介电常数ε、磁导率μ都是电磁波频率的函数。式中E为电场强度矢量，H为磁场强度矢量，ζ为介质的电导率。不失一般性，满足上述麦克斯韦方程的、沿X方向传播的频率为ω的平面电磁波，其电场强度与磁场强度的表达式为： E(x,t)=Eoe-αx+i(βx-ωt) H(x,t)=Hoe-αx+i(βx-ωt) 6.2电场、磁场与波矢量关系 电磁波是横波，电场强度E、磁场强度H和波矢量K三者互相垂直，组成右手螺旋关系。右手螺旋关系含义如下，四个手指并拢伸直 指向电场方向，然后四指回握90° 指向磁场方向，大拇平伸则指向波的传播方向K。电磁波的电厂、磁场、与波矢量的关系如下土所示。在波的传播过程中其空间方向是固定不变的，即使是发生了反射与折射，也只是传播方向K发生变化，电场与磁场的方向依然不变。在空气中电场与磁场是同向位的，两者同时达到极大和极小值，电场强度与磁场强度的比值刚好等于电磁波速。在工程介质中因为有传导电流能量损失，电场与磁场的相位再不同步，磁场落后与电场一个相位，电导率越高，落后的相位越大。 6.3 介质中的电磁波速与能量衰减特性 描述电磁波传播特性的波矢量k为复数：k=β+iα, β描述波传播的相位，称为相位常数；α描述波幅的衰减，称为衰减常数，它们是介质的性质。相位常数与衰减常数与介质电磁参数及频率的关系如下： β=ω（με）1/2[（（1+ζ2/ω2ε2）1/2+1）/2]1/2 α=ω（με）1/2[（（1+ζ2/ω2ε2）1/2-1）/2]1/2 根据介质的电磁性质，分三种情况对上式进行讨论。 对于低电导介质，满足ζ<10-7S/m，ζ/εω《1，此时相位常数、衰减常数和电磁波速V为： 1/2 β=ω（με） α=ζ（μ/ε）1/2 1/2 V=ω/β=（1/με） 大学物理第7章静电 场中的导体和电介质课后习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球 上电荷分布的影响。试证明：R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+= =??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π41 00εε+ ? 03π4π400=+'=R q R q εε静电场中的电介质
实验二电磁波在介质中的传播规律
第13章静电场中的导体和电介质
第三章静电场中的电介质
实验二-电磁波在介质中的传播规律
最新电磁场与电磁波必考重点填空题经典
静电场中的导体和电介质
第十章 静电场中的导体和电介质习题解答
第六讲 工程介质中电磁波的传播理论
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