初二期中复习最短路径角平分线全等三角形综合.docx

（―）最短路径

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直” 等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A, B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB最小。

（根据：两点之间线段最短?）

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使

从A、B到它的距离之和最短.

■

三、一点在两相交直线内部

例1：已知：如图A是锐角ZMON内部任意一点，在ZMON的两边0M, ON上各取

一点B, C,组成三角形，使三角形周长最小.

例2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO, BO）, A0桌面上摆满了桔子，0B桌面上摆满了糖果，坐在C处的学牛小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你葩助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

例4：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的—

最短路线。

四、综合应用

例1：如图，荆州古城河在CC，处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DL , EE7（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，问如何恰当地架桥可使ADD' E‘ EB的路程最短？

例2：

如图，在四边形ABCD中,zBAD=120°, zB=zD=90°

M、N ,使三角形AMN周长最小时r求zAMN+zANM的度数

(二)角平分线性质判定

1、角平分线的性质定理：

注意两点：(1)角平分线上的点到角两边的距离相等

经典例题透析

类型一：角平分线性质的应用

1、如图，AABC 中，ZC=90° , AD 平分ZBAC,点D 在BC 上，且BO24, CD:DB=3:51±J 求：D到AB的距

离。

思路点拨:点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。

举一反三：

【变式】如图，ZACB=90° ,BD平分ZABC交AC于D, DE丄AB于E, ED的延长线交BC的延长线于F.

求证：AE=CF

类型二：角平分线的判定

a

2、已知，如图，CE 丄AB.BD 丄AC,ZB 二ZC, BF 二CF 。求证：AF 为ZBAC 的平分线。厘

思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了 “垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件

在证明结论的必要性。

举一反三：

【变式】如图，己知AB=AC,AD=AE,DB 与CE 和交于0

(1) 若DB 丄AC,CE 丄AB.D,E 为垂足，试判断点O 的位置及OE 与OD 的大小关系，并证明你的结论。

(2) 若D, E 不是垂足，是否冇同样的结论？并证明你的结论。

类型三.角平分线的综合应用

希平分线’构造三角形

例题:如图所示，在厶ABC 屮，ZABC=3ZC, AD 是ZBAC 的平分线，BE 丄AD 于F 。

求证：BE = ^(AC-AB) 二.己知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线

如图所示，Z1=Z2, P 为BN 上的一点,并且PD 丄BC 于D, AB + BO2BD 。

求证：ZBAP+ZBCP=180° o

A

A

E

三.作垂线段

当题目的已知屮出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用冇两种：1、把已知角平分两个相等的小角；2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。

例1如图，己知：ZA=90°, AD〃BC, P是AB的中点，PD平分ZADC,求证：CP平分ZDCB。

分析：因为己知PD平分ZADC,所以我们过P点作PE丄CD,垂足为E,则PA=PE,由P是AB的中点，得PB=PE, 即CP平分ZDCB。

证明:作PE丄CD,垂足为E，

作图综合:

如图1所示，校园内有两条公路OA 、OB,在交叉路口附近有两块宣传牌C 、D,学校准备在这里安装一盏路灯, 要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并口到两条公路的距离也一样远。请你画出灯柱的位置Po

分析：线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的

2、直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！

直角三角形有关的全等问题屮，除了特用的HL 定理Z 外，在条件的寻找上首先就有了一组直角 相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到 其他的角相等。 例仁 图1，已知D0丄BC, OC=OA, 0B 二0D 问CD=43吗？

［变形2］：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2

是由它抽彖出的几何图形，

D

图1

（1） 请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）;

（2） 证明：CD1BE

［变形3］、如图2,在AABC 中，高AD 与BE 相交于点H,且AD=BD,

问△BHDMAACD,为什么？

［变形4］：如图3, 已知￡￡＞丄AB, EF 丄BC, BD=EF,问吗？说明理由。B, C, E 在同一条直线上，连结CD. （彩图为提示）

［变形5］：如图4, AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DB 的长度， 欢欢在D 处立上一竹竿CD,并保证CD 丄AD,然后在竿顶C 处垂下一根绳CE,与斜坡的交点为点

E,他调整好绳子CE 的长度，使得CE 二AD,此吋他测得DE 二2米，于是他认定DB 的高度也为2米,

例二：女口图 1,已知，AC 丄CE, AC=CE, ZABC=ZCDE=90° ,问 BD 二AB+ED 吗?

图3

你觉得对吗?请说明理由。 C

［分

析］:

（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；

（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系;

（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这儿组相等的边能否组合在一起：

如如图6,除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BDo

［变形1］：如图7,如果△ ABC^ACDE,请说明AC与CE的关系。

［注意］:两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）；位置关系（垂直，平行之类）

BC D

图5

图6

图

［变形2］：如图，E是正方形ABCD的边DC±的一点，过点A作FA丄AE交CB的延长线于点F,

求证：DE=BF

［分析］：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。 F B C

［变形3］：如图8,在厶ABC 中，ZBAC=90° , AB=AC, AE 是过点A 的直线，BD 丄AE, CE 丄AE,

如果CE=3, BD=7,请你求出DE 的长度。

［分析］:说明相等的边所在的三角形全等，

题中“ AB 二AC”，发现：AB 在 RtAABD 中，AC 在 RtACAE

中, 所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt △全等（如图9）

于是：已经存在了两组等量关系：AB 二AC,直角二直角， 再由多个垂

直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 「变形 4］：在AABC 中，ZACB= 90°, AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 AD 丄MN 于 D, BE±MN

图8 C

B

D

E

C A

［必备知识］:

如右图，由Z1=Z2,可得ZCBE=ZDBA；反之，也成立。

例三：已知在AABC 中，AB=AC,在AADE 中，AD=AE, KZ1=Z2,请问BD二CE 吗?［分析］这类题目的难点在于，需要将本來就存在于同一个三角形中的一组相等的边，

分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，

关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”

［变形2］：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD, CE,请说明它们相等。

图15

［变形3］：如图16—18,还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD, CE,

请说明它们相等

C

图17

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题

《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 一、截长补短法（和，差，倍，分） 截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换） 补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换） 例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD． 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O

四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等， 可试着连接垂直平分线上的点） 例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证：DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么

过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）

角平分线和全等三角形证明分类

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：初二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T 角平分线C专题精讲 授课日期时段 教学内容 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB。 （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） 如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） （3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 3. 角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用． 例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由． 【例题讲解】 1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP . 4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC. E D C B A E A B C D F

全等三角形章末重难点题型分类练习

专题 01 全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】 变式 1-1】（ 2018秋?绍兴期末）如图，△ ABC ≌△EDC ，BC ⊥CD ，点 A ，D ，E 在同一条直线上，∠ ACB ＝ 20°，则∠ ADC 的度数是（ ） A ．55° B ．60° C ． 65° D ． 70° 变式 1-2】（2018秋?厦门期末）如图，点 F ，C 在 BE 上，△ ABC ≌△ DEF ，AB 和 DE ，AC 和 DF 是对 应边， AC ，DF 交于点 M ，则∠ AMF 等于（ ） A ．2∠ B B ．2∠ACB C ．∠ A+∠ D D ．∠ B+∠ ACB 变式 1-3】（ 2018秋?桐梓县校级期中）如图，△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ，∠ ACB ＝ 90°，∠ B ＝ 50°，点 B ′ 在线段 AB 上， AC ， A ′ B ′交于点 O ，则∠ COA ′的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ． 70° D ． 80 ° 考点 1 利用全等三角形的性质求角】 例 1】（2019 春?临安区期中） 如图， △ACB ≌△A ′CB ′，∠ACB ＝70°，∠ACB ′＝100°，则∠ BCA 的度数为（ ） 40°

变式 2-1 】（2019 秋?潘集区期中）在△ ABC 与△ DEF 中，给出下列四组条件： 变式 2-2】（ 2018春?渝中区校级期中）如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，∠ A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，再 添一个条件仍不能证明△ ABC ≌△ DEF 的是（ ） A ．A B ＝DE B ．B C ＝EF C ．∠ ACB ＝∠ DFE D ． AC ＝ DF 变式 2-3】（2018 秋?鄂尔多斯期中）如图，已知 AB ＝AC ，AD ＝AE ，若要得到“△ ABD ≌△ ACE ”，必 须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ） A ．BD ＝CE B ．∠ ABD ＝∠ ACE C ．∠ BA D ＝∠ CA E D ．∠ BAC ＝∠ DAE 考点 3 全等三角形判定的应用】 例 3】（2019春?郓城县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点 A 、B 的距离，因无法直接量出 A 、B 两点的距离，请你设计一种方案，求出 A 、B 的距离，并说明理由． 变式 3-1】（2019春?峄城区期末）如图，点 C 、 E 分别在直线 AB 、DF 上，小华想知道∠ ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先 添加一个 （1）AB ＝DE ，AC ＝DF ， BC ＝EF （3）∠ B ＝∠ E ， BC ＝ EF ，∠ C ＝∠F 其中能使△ ABC ≌△ DEF 的 条件共有（ A ．1 组 B ．2 组 （2）AB ＝DE ，∠ B ＝∠ E ， BC ＝ EF （4）AB ＝ DE ，∠ B ＝∠E ，AC ＝DF ， ） 考点 2 全等三角形的判定条 C ．∠ C ＝∠ D ．∠ B ＝∠ B ．B C ＝E D A ． AB ＝

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

用角平分线构造全等三角形

善于构造 活用性质 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1．显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段） 例1 三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． 已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB ,IG ⊥AC ,IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH =IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH =IF ∴IG =IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 例2 已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ， PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线． D C B A E H I F G

【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，?故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．【证明】过P作PE⊥AC于E． ∵PA，PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN ∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上， 即BP是∠MBN的平分线． 2.构距离,造全等 有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题． 例3 △ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB?上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由． 解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求． 因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB． ∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE． 由“H L”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE． ∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB． 例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB． 求证：AD=CD+AB．

(完整版)全等三角形难题题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴 对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是 经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在Δ ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取 AE=AC， 连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。 已知：如图所示，BD为∠ ABC的平 分线，?PN⊥CD于N，判断PM与 PN的关系． AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于 M， 3. 如图所示，P为∠ AOB的平分线上一 点，若OC=4cm，求AO+BO的值． BD 2. PC⊥OA于C，?∠OAP+∠OBP=18°0 ，

4. 已知： 如 图 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ AEB=∠ABC 。 ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ，FD ∥BC 交 AC 于 D ，设 AB=5， AC=8，求 DC 的长。 5、如图所示，已知∠ 1=∠2，EF ⊥AD 于 P ，交 BC 延长线于 M ，求证： 2∠M= (∠ ACB- ∠B ) 6、如图，已知在△ ABC 中，∠ BAC 为直角， AB=AC ，D 为 AC 上一点， CE ⊥BD 于 E ． 1 (1) 若 BD 平分∠ ABC ，求证 CE=2BD ； (2) 若 D 为 AC 上一动点，∠AED 如何变化， 若变化，求它的变化范 围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。

(完整版)利用角平分线构造全等三角形

善于构造 活用性质 安徽 张雷 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段） 例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证 明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． 已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点 H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线． 【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，?故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证． 【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ． ∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上， D C A E H I F G

华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训

华师大版八年级上册数学《全等三角形》重难点专训 专训一：命题与定理 名师点金：命题贯穿于数学始终，是数学的基础知识，学习时，要会判断一句话是不是命题，能找出命题的条件和结论，会判断命题的真假，会用证明的方法去证明一个真命题． 命题的定义及结构 1．下列句子是命题的有() ①一个角的补角比这个角的余角大多少度？ ②垂线段最短，对吗？ ③等角的补角相等； ④两条直线相交只有一个交点； ⑤同旁内角互补． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．写出下列命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两直线平行； (2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直； (3)两点确定一条直线． 命题的真假 3．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请说明理由． (1)一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形； (2)如果a是有理数，那么a2＋1＞0； (3)如果AC＝BC，那么点C是AB的中点； (4)如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17.

命题的证明 类型1 证明真命题 4.如图所示，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，∠BMN 与∠DNM 的平分线相交于点G. 求证：MG ⊥NG. 请补全下面的证明过程： 证明：∵MG 平分∠BMN(____________)， ∴∠GMN ＝12∠BMN(____________________)． 同理∠GNM ＝12∠DNM. ∵AB ∥CD(____________)， ∴∠BMN ＋∠DNM ＝________(____________)， ∴∠GMN ＋∠GNM ＝________(____________)， ∵∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝________(________)， ∴∠G ＝________， ∴MG ⊥NG(____________)． 类型2 证明假命题 5．已知命题：“一个锐角与一个钝角的度数之和一定等于180°”，请你判断这个命题的真假，如果是假命题，请你用举反例的方法说明它是假命题． 专训二：全等三角形判定的三种类型 名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：S .S .S .，S .A .S .，A .S .A .，A .A .S .；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“H .L .”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题． 已知一边一角型 题型1 一次全等型

全等三角形中常用辅助线(经典)

三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

全等三角形与角平分线专题讲解

C E O D B A 2 1C E D B A 214 3 O A 全等三角形专题讲解 专题一 全等三角形判别方法的应用 专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”） 而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等． 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对． 分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90o， ∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ． 所以图中全等的三角形一共有4对． （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ． 要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE 即可； 根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ． 故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ． （3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系， 使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等． 例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．

全等三角形之辅助线(习题及答案)

全等三角形之辅助线（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】1 读题标注：2梳理思路： 要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等） 过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE = DE

巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ． 2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC = AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划： 过程规划：

3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的 中点．求证：BE=DF． 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°， 点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．

全等三角形的重难点

全等三角形的重难点 一、确定全等三角形的对应关系 在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角，是解决与全等三角形相关的问题的关键.全等三角形有许多对应的元素，怎样寻找这些对应元素呢？ 1.根据全等符号暗示的信息找对应 符号语言是数学思维的载体，教材中说，“记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”，此要求同学们在学习中要严格遵循，养成按对应顶点表示全等三角形的习惯，并且按“对应顶点记位置”的特点找全等三角形的对应边、对应角，达到无需看图也能迅速找出两个全等三角形的对应边和对应角的目的. 例1 已知△ABC≌△BAD，如果AB=8，BD=9，AD=11，那么AC= . 【分析】一般情况下，在用符号≌表示两个三角形全等时，我们是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，根据这个规则可知：对应位置上的字母就是表示对应顶点的字母，对应位置上的字母表示的线段就是对应边，表示的角就是对应角.由题设已知中所给△ABC≌△BAD符号表示可知：AC与BD是对应边（如图1），所以AC=BD=9. 例2 已知△ABC与△DEF全等，∠A=30°，∠B=50°，则∠D=（）. A.30° B.50° C.100° D.以上三种情况都有可能 【分析】注意本题与上例的区别，题目只说△ABC与△DEF全等，并没有给出对应法则（即没有用全等关系的符号）表示，所以会出现三种可能，选择D. 2.观察图形特征暗示的信息找对应 ①有公共边的，公共边是对应边； ②有公共角的，公共角是对应角； ③有对顶角的，对顶角是对应角； ④两个三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角的夹边是对应边； ⑤两个三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边的夹角是对应角； ⑥两个三角形中，一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边； ⑦两个三角形中，一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角. 二、灵活选择运用判定方法 三角形全等的证明有三条公理、一条推论以及直角三角形特有的斜边直角边公理.每个公理和推论都有自己的符号表示形式，如SAS、ASA、AAS、SSS、HL等，在学习中可以充分考虑已知条件和图形的结构特点，利用公理及推论的字母表示形式去寻找解题思路，培养解题能力.如：（1）已知条件中有两边对应相等时，找两边的夹角或第三边对应相等（SAS、SSS）；（2）已知条件中有两角对应相等时，找两角的夹边或任何一组等角的对边相等（ASA、AAS）；（3）已知条件中有一边和一角对应相等时，找夹等角的另一组边对应相等，或任何一组角对应相等（SAS、AAS）. 例3 如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为： .你得到的一对全等三角形是： . 【分析】本例是一道条件探索型试题，需从结论出发，执果索因，考虑要图中存在全等三角形，现已有哪些条件，逆推还需添加什么条件，同时本例又是一道开放性试题，答案不唯一，从图中也可以直观地看出可能有△ACE与△ADE，△ABC与△ABD，△BCE 与△BDE三对三角形全等. 若要△ACE≌△ADE，现已有AC=AD，又AE=AE（公共边），故还需添加CE=DE（从边的角度考虑用SSS）或∠CAE=∠DAE（从角的角度考虑，已有两边，考虑两边的夹角用

全等三角形中辅助线的添加解析

全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接……； （2）作平行线：过点……作……∥……； （3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； （4）作中线：取……中点……，连接……； （5）延长并截取线段：延长……使……等于……； （6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； （7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； （8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： （1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 （3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 （4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 （5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 （6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） △ABC中AD是BC边中线 方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

全等三角形重难点题型讲练(无答案)

全等三角形重难点题型讲练 ※题型讲练 【例1】已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE． 求证：AC=BD． 变式训练1： 1．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 【例2】如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM； （2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 变式训练2： 1．如图，在R t△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

【例3】已知：如图，△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O. (1)求∠BOC的度数；(2)求证：BE+CD=BC． 变式训练3： 1．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE． 【例4】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

全等三角形辅助线技巧

注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后， 还要注意一些较难的一些证明问题， 只要构造合适 的 全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法，供同学们参考. 1 ?截长补短法 例1.如图（1）已知：正方形 ABCD 中, 求证：AB+BE=AC 由已知△ AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45）, ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB,由已知 △ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,： / ACE=45o, ? CG=EG, ? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt △,有时可作出斜边的中线. 例 2. △ ABC 中，/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°，又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°, ???/ ADO=/ AQO ，又I/ DAO=/ QAO , OA=AO, ? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ，又T OD / BP, ? / PBO=/ DOB ，又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB , ? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP 解法（一） （补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC F

20全等三角形中的角平分线-学生版

全等三角形中的角平 分线 中考要求 知识点睛 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 Ｃ级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和 性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的，公共边常是对应边． （４）有公共角的，公共角常是对应角． （5）有对顶角的，对顶角常是对应角. （6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边(或对应角）,一对最短边(或最小角）是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： （1） 边角边定理(SA Ｓ)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (２) 角边角定理(A ＳＡ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （３） 边边边定理(S ＳS ）:三边对应相等的两个三角形全等. (４) 角角边定理(A ＡS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (５) 斜边、直角边定理（H Ｌ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 第十讲

例题精讲 奥数赛点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形, 3. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P 【例1】 如图，已知ABC ?的周长是21,OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于 D ，且3OD =,求ABC ?的面积． 【例2】 在ABC ?中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =,求证:AB AC =． 【例3】 如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠． A D O C B D C B A

全等三角形的性质和判定教案教学内容

全等三角形的性质和 判定教案

卓尔教育教师教学辅导教案编号： 授课教师日期时间 学生年级科目 课题全等三角形的性质和判定 教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 教学重难点 三角形判定的应用 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□ 建议：___________________________________________________ 教学过程 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°,